BRYŁA SZTYWNA. Umowy. Aby uprościć rozważania w tym dziale będziemy przyjmować następujące umowy:

Transkrypt

1 Niektóe powody aby poznać ten dział: BRYŁA SZTYWNA stanowi dobe uzupełnienie mechaniki punktu mateialnego, opisuje wiele sytuacji z życia codziennego, ma wiele powiązań z innymi działami fizyki (temodynamika, astofizyka), Umowy Aby upościć ozważania w tym dziale będziemy pzyjmować następujące umowy: uch obotowy będzie odbywał się tylko wokół jednej osi, ysunki będą płaskie (dwuwymiaowe), tam gdzie nie będzie to bezwzględnie koniecznie będziemy pomijali notację wektoową, w większości pzypadków analizując uch były sztywnej (szczególnie pzy wypowadzeniach) będziemy zastępować ją zbioem skończonej ilości połączonych sztywno se sobą punktów mateialnych, (w ogólności punktów tych jest nieskończenie wiele i pojawia się fomalizm achunku całkowego) Podstawowe pojęcia Kątem obotu nazywamy stosunek długości odcinka okęgu po któym pousza się ciało do pomienia tego okęgu, jest to tzw. natualna miaa kąta a jej jednostką jest adian i ma on następującą definicję: R α R l α = l R [α] = ad Jeden adian to kąt któy zostanie zatoczony gdy ciało, pouszając się po okęgu pzebędzie dogę ówną swojemu pomieniowi; kąt ten w stopniach ma miaę ówną około 57 o Obliczając ile wg powyższej definicji wynosi kąt pełny otzymamy pzepis, jak 1

2 pzeliczać stopnie na adiany i odwotnie: α = l R = 2ΠR R = 2Π 360o Pędkością kątową nazywamy stosunek kąta zatoczonego pzez obacającą się byłę sztywną do czasu w któym to nastąpiło: Gdzie α jest kątem w mieze łukowej. ω = α t Jeżeli pzedział czasu jest okesem t = T wówczas α = 2Π i pamiętając, że f = 1 T dostaniemy badzo użyteczny związek: ω = 2Π T = 2Πf Kozystając natomiast z definicji kąta obotu dostajemy zależność między pędkością kątową i liniową: ω = l R t = 1 l R t = 1 R v v = ωr Pzyspieszeniem kątowym nazywamy stosunek zmiany pędkości kątowej do czasu w któym owa zmiana nastąpiła: ǫ = ω t Kozystając z definicji pędkości kątowej otzymujemy zależność między pzyspieszeniem liniowym i kątowym: Wekto pędkości kątowej ǫ = v R t = 1 v R t = 1 R a a = ǫr Okazuje się, że zależność pomiędzy pędkością liniową a kątową jest iloczynem wektoowym. Zostało to pzedstawione na poniższym ysunku: 2

3 w v w v R R v = ω R Punkt mateialny matematyczny punkt epezentujący byłę sztywną w pzypadku gdy nie uwzględniamy jej uchu obotowego, Była sztywna ciało w któym odległość między dwoma dowolnymi punktami pozostaje stała nie zależnie od stanu uchu tego ciała, y 1 2 = const x Była sztywna jest ciałem o nieskończonym współczynniku speżystości; niemożliwa jest zmiana jego kształtu niezależnie od działających na nie sił. Śodek masy pojęcie okeślone zaówno dla były sztywnej jak i dla układu punktów mateialnych i okeślone następująco: y sm x Zgodnie z naszą umową dzielimy byłę sztywną na n części (kwadaciki na ysunku) do każdej z części powadzimy pomień ze śodka układu odniesienia sm = m m m n n = m 1 + m m n m i i m i Oczywiście możemy także obliczyć śodek masy dla układu ciał któe nie są ze sobą sztywno powiązane (np. Ziemia - Księżyc) i niejednokotnie okazuje się to 3

4 użyteczne (okazuje się np. że nie jest to do końca pawda, że Ziemia kąży wokół Słońca; w zeczywistości oba ciała kążą wokół wspólnego śodka masy, któy jednak ze względu na ogomną óżnicę między masą Słońca i Ziemi znajduje się pawie dokładnie w śodku Słońca) Obliczmy dla pzykładu śodek masy sztywno połączonych ze sobą tzech kulek, co zostało pzedstawione na ysunku: M m m M = 2kg, m = 1kg, = 1m Najważniejszą spawą w tego typu zadaniach jest wybó typu i początku układu odniesienia. W naszym wypadku będzie to oś liczbowa, a w jej początku niech znajdzie się masa M, wówczas zgodnie z definicją i po uwzględnieniu, że zagadnienie jest jednowymiaowe, mamy: x sm = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3 Uwzględniając, że m 1 = M, 1 = 0 (bo leży ona w początku układu współzędnych), m 2 = m 3 = m, 2 =, 3 = 2 mamy: x sm = m + m2 M + m + m = 3m M + 2m = = 3 5 m Zatem śodek masy tego układu znajduje się w odległości 3 5m od masy M Śodek ciężkości na daną byłę sztywną w polu gawitacyjnym działa oczywiście siła gawitacji i to na każdy jej punkt. Możemy zatem wyznaczyć wypadkową siłę gawitacji i MIESCE w któym jest pzyłożona to śodek ciężkości. W jednoodnym polu gawitacyjnym dla był sztywnych o stałej gęstości śodek ciężkości pokywa się ze śodkiem masy. Sodek ciężkości NIE jest okeślony dla układu punktów mateialnych Rodzaje uchu były sztywnej: 1. postępowy, 2. obotowy, 4

5 3. złożony, Ad.1 W uchu tym każdy punkt były sztywnej pousza się po toze o takim samym kształcie (w danym momencie każdy punkt ma jednakową pędkość liniową) i dlatego pzypadek ten jest ównoważny uchowi punktu mateialnego (dowolny punkt były sztywnej pouszza się pzecież tak samo) Ad.2 Ruchem obotowym były sztywnej nazywamy taki uch w któym każdy jaj punkt pousza się dookoła pewnej osi zwanej osią obotu (w danym momencie ma taką samą pędkość kątową). Jeżeli oś obotu pzechodzi pzez byłę sztywną to punkty na niej leżące pozostają w spoczynku. uch postepowy uch obotowy Ad.3 Ruch mieszany jest złożeniem (supepozycją) uchu postępowego i obotowego. Pzykładem takiego uchu jest tocząca się bez poślizgu kulka. Okazuje się ponadto że dowolny uch złożony były sztywnej da się jednoznacznie ozłożyć na uch postępowy i uch obotowy wokół ustalonej osi i dzięki temu wystaczy analizować jedynie uch obotowy. Wyóżniamy następujące odzaje uchu obotowego: jednostajny w któym pędkość kątowa jest stała niejednostajny w któym pędkość kątowa nie jest stała jednostajnie zmienny, w któym pzyspieszenie kątowe jest stałe, 5

6 pzyspieszony, opóźniony, niejednostajnie zmienny, w któym pzyspieszenie kątowe nie jest stałe Piewsza zasada dynamiki dla były sztywnej Okeśla ona kiedy była sztywna jest w spoczynku lub obaca się uchem jednostajnym; są to tzw. waunki ównowagi dla były sztywnej. Można je sfomułować następująco: Była sztywna pozostaje w spoczynku lub pousza się uchem jednostajnym, gdy wypadkowa sił i momentów sił jest ówna zeo. waunek jednostajności uchu postępowego: F w = F i = 0 waunek jednostajności uchu obotowego: M w = M i = 0 Duga zasada dynamiki dla były sztywnej + moment bezwładności Okeśla ona jak zachowuje się była sztywna gdy działa na nią niezównoważony moment siły. Dla jej wypowadzenia podzielmy ozważaną byłę sztywną na n części i zastosujmy II zasadę dynamiki dla punktu mateialnego w odniesieniu do każdej z części (metoda ta okaże się uniwesalna pzy wypowadzaniu większości wzoów dla były sztywnej) Na element masy m i działa siła F i w wyniku czego R i m i a i uzyskuje on pzyspieszenie chwilowe a i. Dla obliczenia tego pzyspieszenie stosujemy F i 6 dugą zasadę dynamiki

7 F i = m i a i Mnożąc obie stony ównania pzez R i oaz kozystając z definicji pzyspieszenia kątowego (a = εr) i momentu siły mamy: F i R i = m i a i R i M i = m i εr 2 i Watość pzyspieszenia kątowego nie zależy od wybou ozważanego punktu (każdy punkt ma to samo pzyspieszenie bo była jest sztywna ). Otzymany wzó jest słuszny dla dowolnego punktu obacającej się były sztywnej; wypadkowy moment siły to oczywiście suma poszczególnych momentów sił: M = M i = m i εr 2 i = ε m i R 2 i Oznaczając pzez I = n m ir 2 i dynamiki: otzymujemy ostateczną postać II zasady M = εi Występująca w powyższym wzoze wielkość I nazywa się momentem bezwładności były sztywnej. Jest to wielkość fizyczna będąca odpowiednikiem masy dla punku mateialnego i okeślająca ozkład masy (a co za tym idzie i kształt) były sztywnej. Zależy ona także oczywiście od wybou osi obotów i z tych powodów w ogólności jest to wielkość tensoowa a jej epezentacją jest maciez (kwadatowa tablica liczb). Z uwagi na tudności z momentem bezwładności, niemożliwe do pokonania na poziomie szkoły śedniej celowo zezygnowano z notacji wektoowej pzy wypowadzaniu wzoów. Dla ciał o egulanym kształcie możliwe jest obliczenie watości momentów bezwładności pzy wykozystaniu achunku całkowego i dla pzykładu mamy: punkt mateialny odległy o od osi obotu: I = m 2 ( i odl. od osi ob.) 7

8 układ n punków mateialnych: I = n m i 2 i cienka obęcz względem osi symetii postopadłej do podstawy: I = m 2 walec względem osi symetii postopadłej do podstawy: I = 1 2 m2 cienka sfea względem osi pzechodzącej pzez jej śodek: I = 2 3 m2 kula względem osi pzechodzącej pzez jej śodek: I = 2 5 m2 cienki pęt względem osi symetii postopadłej do niego: I = 1 12 m2 Na poziomie szkoły śedniej możemy obliczyć jedynie moment bezwładności dla punktu mateialnego, układu punktów i cienkiej obęczy, W pzypadku punktu mateialnego lub układu punktów mateialnych spawa jest tywialna; po postu w definicji momentu bezwładnościi = m i 2 i występuje suma któa w pzypaku policzalnej ilości punkótw mateialnych zawiea okeśloną ilość składników; w szczególności dla jednego punktu mateialnego jest to po postu jeden składnik, czyli: m 2 W pzypadku obęczy spawa jest niewiele tudeniejsza; dzielimy obęcz na n części i okazuje się wówczas że każda z części jest w tej samej odległości od osi obotu, co badzo mocno upaszcza obliczenia... i m i I = m i 2 i = m i 2 = I = m 2 m i... ponieważ można wyciągnąc pomień pzed nawias a następnie widzimy, że suma wszystkich elemantów m i to po postu masa obęczy. Użytecznym, dla obliczania momentów bezwładności jest twiedzenie Steinea. Pozwala ono na oblczenie momentu bezwładności względem osi ównoległej do osi pzechodzącej pzez śodek masy danego ciała: 8

9 L 1 L d 2 I sm I I = I sm + md 2 Pożytecznym w pokazaniu jak stosuje się twiedzenie Steinea jest obliczenie momentu bezwładności kuli ale względem osi stycznej do jej powiezchni. Jej odległość od osi pzechodzącej pzez śodek masy kuli (czyli oczywiście pzez jej śodek) jest ówna jej pomieniowi, zatem: I = I sm + md 2 = 2 5 m2 + m 2 = 7 5 m2 Moment pędu; zasada zachowania momentu pędu Jak wiadomo pęd jest to iloczyn masy ciała i jego pędkości: p = m v [p] = kg m s a jego kieunek i zwot pokywa się z kieunkiem i zwotem pędkości Odpowiednikiem pędu w uchu obotowym jest moment pędu; dla pouszającego się po okęgu punktu mateialnego kest on okeślony następująco: L L = p p L = psin (, p) W pzypadku były sztywnej moment pędu wyliczamy następoująco: 9

10 i p i Kozystając z definicji pędu mamy: m i Rozważmy byłę sztywną obacającą się dookoła ustalonej osi obotu wówczas dowolny element masy m i posiada pęd p i p i = m i v i Mnożąc obie stony powyższego ównania pzez i i kozystając z zależności między pędkością liniową a kątową (v = ω) dostaniemy: i p i = m i i ω i L i = ωm i 2 i Całkowity moment pędu to oczywiście suma poszczególnych momentów pędu, zatem: L = L i = ωm i 2 i = ω m i 2 i Kozystając z definicji momentu bezwładności dostajemy szukany wzó na moment pędu były sztywnej: L = Iω Badzo pouczającym jest w tym miejscu wypowadzić zasadę zachowania momentu pędu; w tym celu zobaczmy od czego zależy zmiana momentu pędu: L t = t ( ) Iω = I t ω + ω t I powyższy wzó jest konsekwencją achunku óżniczkowego i nie będziemy go uzasadniać natomiast otzymany ezultat jest badzo pouczający. Po piewsze skoo moment bezwładności zależy od ozkładu masy i wybou osi obotu to dla ustalonej osi obotu będzie on stały (była pzecież jest sztywna i pzy obocie nie odkształca się) a więc I t = 0. Po dugie można skozystać z definicji pzyspieszenia kątowego ω t = ε i z 10

11 dugiej zasady dynamiki dla były sztywnej. L t = ω t I = εi = M Dostaliśmy, że zmiana momentu pędu jest ówna momentowi sił zewnętznych działającemu na byłę sztywną, a w pzypadku gdy moment ten jest ówny zeo to: L t = 0 L = const Co stanowi teść zasady zachowania momentu pędu, któa jest oczywiście odpowiednikiem zasady zachowania pędu dla punktu mateialnego Enegia kinetyczna uchu obotowego Aby wpawić byłą sztywną w uch obotowy tzeba wykonać pacę, a zatem obacająca się była sztywna posiada enegię; jest to enegia kinetyczna uchu obotowego lub po postu enegia obotowa. W celu wyznaczenia tej enegii ozważmy obacającą się byłę sztywną: i E i m i Każdy element masy na któe podzieliliśmy byłę sztywną pousza się a więc posiada enegię kinetyczną Enegia kinetyczna dowolnego punktu obacającej się były sztywnej wynosi: E i = 1 2 m iv 2 i Kozystając z zależności między pędkością liniową a kątową (v = ω) mamy: E i = 1 2 m iω 2 2 i Całkowita enegia kinetyczna uchu obotowego były sztywnej jest sumą enegii kinetycznych wszystkich jego punktów, zatem: E k = E i = 1 2 m iω 2 2 i = 1 2 ω2 11 m i 2 i

12 I kozystając z definicji momentu bezwładności dostajemy szukany wzó: E k = 1 2 Iω2 Pouczającym jest pokazania zależniości pomiędzy wielkościami fizycznymi opisującymi punkt mateialny a byłę sztywną; pokazuje to poniższa tabela: Punkt mateialny Była sztywna Pzemieszczenie () Kąt obotu (α) Pędkość (v = t ) Pędkość kątowa (ω = α t ) Pzyspieszenie (a = v t ) Pzyspieszenie kątowe (ε = ω t ) Masa (m) Moment bezwładności (I = m i 2 i ) Siła (F ) Moment siły (M = F ) Moment pędu (L = p) II zas. dyn. (F = ma) Moment pędu (L = Iω) II zas. dyn (M = Iε) Enegia (E = mv2 Iω2 2 ) Enegia (E = 2 ) Ponadto w pzypadku, gdy mamy do czynienia z obacającym się po okęgu o pomieniu punktem mateialnym i potaktujemy go jako byłę sztywną to podstawiając jego moment bezwładności (I = m 2 ) otzymamy identyczny moment pędu, II zasadę dynamiki i wzó na enegię kinetyczną jak dla punktu mateialnego 12