Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fizyka dla Infomatyki Stosowanej Jacek Golak Semest zimowy 06/07 Wykład n 3

2 Na popzednim wykładzie poznaliśmy pawa uchu i wiemy, jak opisać uch punktu mateialnego w inecjalnym układzie odniesienia. Zasady dynamiki Newtona obowiązują w każdym inecjalnym układzie odniesienia żaden taki układ nie jest wyóżniony. Wybó inecjalnego układu odniesienia jest zwykle kwestią wygody chcemy, by achunki były możliwie najpostsze. Teaz zajmiemy się opisem uchu w układzie nieinecjalnym. Układ nieinecjalny pousza się względem dowolnego układu inecjalnego z pzyspieszeniem óżnym od zea. Poblem ma duże znaczenie paktyczne. Wiemy bowiem, że Ziemia nie jest układem inecjalnym i dokładniejszy opis pewnych zjawisk wymaga uwzględnienia tego faktu. Naszym głównym celem jest sfomułowanie zasad dynamiki w dowolnym nieinecjalnym układzie odniesienia.

3 Rozważamy dwa układy odniesienia: inecjalny układ odniesienia U z układem współzędnych katezjańskich xyz o początku w punkcie O oaz nieinecjalny układ odniesienia U z układem współzędnych x y z o początku w punkcie O. Ruch punktu P chcemy opisać w tych dwóch układach. v a R d dv v a d d v Uwaga na pimy! Infinitezymalne (nieskończenie małe) pzesunięcie punktu mateialnego P względem układu U jest sumą dwóch pzesunięć: () pzesunięcia d punktu mateialnego P względem U oaz () zmiany położenia P względem U na skutek uchu układu U względem układu U.

4 Każde pzesunięcie U względem U jest sumą (a) tanslacyjnego pzesunięcia U względem U (b) pzesunięcia U względem U na skutek obotu U d d d () () d tanslacja obót zmiana położenia P względem układu U zmiana położenia P względem U na skutek uchu tanslacyjnego układu U względem U; nie zależy od zmiana położenia P względem U na skutek uchu obotowego układu U względem U; zależy od Cechą chaakteystyczną obotu U względem U jest istnienie postej (osi obotu) o tej własności, że początkowe i końcowe położenia każdego punktu układu U leżą w płaszczyźnie postopadłej do tej postej i w jednakowej od niej odległości. Stąd wynika, że pzez te dwa punkty można pzepowadzić okąg o śodku na osi obotu, leżący w płaszczyźnie do niej postopadłej.

5 l d d d d d d d obót obót ), sin( d d d d tanslacja Zastosujmy ten wzó do punkty O, gdzie = 0 oaz = R. Otzymujemy: R d d 0 d 0 d R tanslacja tanslacja

6 d d dr vt d dr d pędkość tanslacyjna pędkość kątowa Mamy już wzó na tansfomację pędkości! v v v t zmiana pędkości na skutek uchu obotowego pędkość w układzie inecjalnym U pędkość w układzie nieinecjalnym U zmiana pędkości na skutek uchu tanslacyjnego

7 Teaz chcemy znaleźć związek między pochodnymi w obu układach. W tym celu biezemy dowolny wekto b b b d db v d d v d d b t t To jest badzo ważny wzó, któy mówi jak pochodna dowolnego wektoa w układzie U wyaża się pzez pochodną w układzie U!

8 Mając do dyspozycji wzó db d b b, możemy wykonać dalsze óżniczkowania i znaleźć związek między pzyspieszeniami: v d v v v d v d v v t d vt d d d d d Uwaga: tu są jeszcze zwykłe pochodne (niepimowane) i dlatego na pzykład : a a d v! d v

9 Podstawiając, dostajemy d d d v v v d v d t a v a t a d v a a a t Ostatecznie

10 Wzó na tansfomację pzyspieszenia i jego składniki! pzyspieszenie na skutek uchu tanslacyjnego układu U względem U pzyspieszenie Coiolisa pzyspieszenie na skutek zmiany pędkości kątowej ω a a t a v d pzyspieszenie w układzie inecjalnym U pzyspieszenie w układzie nieinecjalnym U pzyspieszenie dośodkowe

11 Znając wzó na tansfomację pzyspieszenia, możemy podać pawo uchu w układzie nieinecjalnym d m m v m ma ma ma d m m v m ma ma ma t t W układzie inecjalnym Dlatego ównanie uchu otzymuje postać: d m m v m ma F a m t F ma ealna siła pseudosiła, siła pozona, siła bezwładności

12 Realna siła ma źódło w oddziaływaniach fundamentalnych. Siła bezwładności powstaje w układzie nieinecjalnym wyłącznie na skutek istnienia pzyspieszenia tego układu względem układu inecjalnego. Jest zawsze popocjonalna do masy ciała. Skutki siły bezwładności są jak najbadziej ealne i musimy ją uwzględnić w opisie uchu powadzonym w układzie nieinecjalnym ównania uchu w układzie nieinecjalnym uwzględniają siły bezwładności!

13 Pzykład I: nieuchoma skzynia w windzie d 0, 0, v 0, at Dla uchu jednostajnego windy 0 m R Układ związany z windą jest układem inecjalnym; na skzynię działają tylko ealne siły: siła ciężkości i siła eakcji podłoża ównoważą się. m g

14 Dla uchu windy z pzyspieszeniem skieowanym w góę d 0, 0, v 0, at 0! m R m g a t m a t Pzypadek, gdy winda pzyspiesza jadąc w góę lub hamuje, jadąc w dól. W obu sytuacjach siła bezwładności -ma t powiększa nacisk na podłogę windy. Aby w układzie związanym z windą skzynia była w spoczynku konieczna jest większa watość eakcji podłoża.

15 Dla uchu windy z pzyspieszeniem skieowanym w dół d 0, 0, v 0, at 0! m R m g a t m a t Pzypadek, gdy winda zwalnia jadąc w góę lub pzyspiesza, jadąc w dól. W obu sytuacjach siła bezwładności -ma t zmniejsza nacisk na podłogę windy. Aby w układzie związanym z windą skzynia była w spoczynku konieczna jest mniejsza watość eakcji podłoża.

16 Pzykład II, gdy uch względny jest czystym uchem obotowym Klocek spoczywający na obacającej się w płaszczyźnie poziomej taczy. Widok z góy: tacza obaca się pzeciwnie do uchu wskazówek zegaa, czyli pędkość kątowa jest skieowana w naszą stonę! O O m F ods d a t 0, 0, v 0, 0, 0 0 F ods m m m Aby klocek pozostawał w spoczynku w układzie nieinecjalnym, potzebna jest dodatkowa siła, na pzykład tacie.

17 Siła odśodkowa czy może dośodkowa? Pojęcia często mylone! N mg F dos Kulka o masie m zawieszona na nici o długości l wykonuje jednostajny uch obotowy w płaszczyźnie poziomej. Opiszmy tę sytuację najpiew w układzie inecjalnym związanym z Ziemią. W takim układzie na kulkę działają tylko dwie siły: siła napężenia nici N oaz siła ciężkości, mg. Ich wypadkowa musi pełnić olę siły dośodkowej, bo kulka pousza się uchem jednostajnym po okęgu. F dos N mg

18 Siła odśodkowa czy może dośodkowa c.d. F ods N mg Teaz opiszmy tę samą sytuację w układzie nieinecjalnym związanym z kulką. W takim układzie kulka znajduje się w spoczynku, więc działające na nią siły muszą się ównoważyć. Opócz ealnych sił (siły napężenia nici, N oaz siły ciężkości, mg) działa siła bezwładności czyli siła odśodkowa, pzy czym zachodzi: N mg F ods 0

19 Wóćmy do klocka na obacającej się taczy. Klocek może teaz pouszać się względem taczy. a t F ods d 0, 0, v 0, 0, m Siła odśodkowa jest taka sama jak popzednio. 0 O O m v Ze względu na to, że klocek pousza się w obacającym się układzie odniesienia, pojawia się dodatkowa siła, tzw. siła Coiolisa: F co m v F co F ods

20 Poświęcimy chwilę uwagi tej sile bezwładności, nazwanej od nazwiska fancuskiego matematyka i inżyniea z początku XIX wieku. F co m v Siła Coiolisa działa wyłącznie na obiekty znajdujące w uchu w układzie pouszającym się uchem obotowym. Gaspad-Gustave de Coiolis (79-843) Kieunek działania siły Coiolisa jest zawsze postopadły do kieunku wektoa pędkości pouszającego się ciała, tak więc siła ta powoduje odchylenie tou uchu ciała od linii postej. Jakie efekty powoduje siła Coiolisa?

21 Kieunki wiatów stałych na obu półkulach W szczególności masy powietza znad ównika po oddaniu wilgoci pzemieszczają się w kieunku biegunów. Ulegając działaniu siły Coiolisa odchylają się na półkuli północnej na wschód, a na półkuli południowej na zachód.

22 Wiowanie wiatów w cyklonie Siły Coiolisa decydują także o kieunku wiowania cyklonów. Siły Coiolisa na półkuli północnej odchylają wiejące pomieniście wiaty w pawo, co w ezultacie nadaje masom powietza uch wiowy o oientacji lewoskętnej.

23 Ciało upuszczone z dużej wysokości nie spada pionowo na Ziemię!

24 Gdzie jeszcze można zaobsewować na Ziemi działanie siły Coiolisa? Toy pocisków Podmywanie pawych bzegów zek na półkuli północnej Szybsze ścieanie się pawych szyn kolejowych na półkuli północnej i inne, ale najbadziej znane jest Wahadło Foucaulta wahadło posiadające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny uchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Benada Léona Foucaulta, któy zademonstował je publicznie w 85 oku w payskim Obsewatoium Astonomicznym, a potem w Panteonie w Payżu. Wahadło Foucaulta w Panteonie (źódło: Wikipedia)

25 Dla obsewatoa na biegunie związanego z wiującą Ziemią płaszczyzna dgań kęciłaby się, a okes jej obotu byłby ówny okesowi obotu Ziemi.

26 Stwiedzono, że poza biegunem okes obotu płaszczyzny wahań będzie zależał od szeokości geogaficznej: T ( = T bieg / sin ()= ( 3h 56m 04.09s ) / sin () Miejsce L[m] M[kg] Pantheon, Payż 67 8 Oegon Convention Cente inpotland Museum of Science and Industy, Chicago National Museum of Ameican Histoy, Washington, DC 05 Wieża Radziejowskiego, Fombok 8 47 ONZ, Nowy Jok 3 9 Instytut Fizyki, Touń 6 9 Kościół św. Piota i Pawła, Kaków 46,5 5

27 W kościele Św. Piota i Pawła w Kakowie odbywają się pokazy wahadła Foucaulta. Kozystałem z ysunków ze stony

28 Kakowskie wahadło Foucaulta: póba modelowania Φ=50 stopni (szeokość geogaficzna północna) L=46.5 m m=5 kg y z O x za płaszczyznę ysunku

29 Jakie dodatkowe założenia wato wziąć pod uwagę. Ruch odbywa się w płaszczyźnie x y ; ze względu na dużą długość linki wahadła w stosunku do jego wychylenia popzecznego, można pzyjąć z =const. a t =0 3. ω=const 4. Zmiany wektoa są badzo małe w stosunku na pzykład do pomienia Ziemi; dlatego tzeci składnik w nawiasie można uznać za efektywną popawkę do lokalnego pzyspieszenia ziemskiego ma F ma t m v m d m Na placu boju zostają ealne siły (siła gawitacji i napężenie linki) oaz siła Coiolisa. Wóćmy na chwilę do zwykłego wahadła matematycznego.

30 Wahadło matematyczne ozpatywane w biegunowym układzie współzędnych. Rozkładamy siłę ciężkości na składową adialną i tanswesalną. Składowa adialna F jest ównoważona pzez siłę napężenia linki (więzy!), więc w kieunku adialnym nic ciekawego się nie dzieje! O x x F m mg ˆ ˆ y F mg F F F ˆ F F F ˆ F F mg cos mg sin

31 Dlatego wystaczy zapisać ównanie uchu dla składowej tanswesalnej ma ma mg N m l ml mg const g l N sin 0 mg sin mg sin Biezemy składową tanswesalną obu ston To dokładne ównanie dla wahadła matematycznego nie ma analitycznego ozwiązania!!

32 Dla małych wychyleń zachodzi: sin g l tan więc dostajemy ównanie dla wychyleń kątowych y l albo na (małe) popzeczne wychylenia, y g 0 l T 0 0 y 0 0, l g Okes dgań wahadła matematycznego nie zależy (dla małych wychyleń!) od wychylenia maksymalnego

33 Wacamy teaz do wahadła Foucaulta, któe będziemy ozpatywać pzy małych wychyleniach w kieunku popzecznym. Opuszczam teaz pimy (potzebuję je dla pochodnych), chociaż jesteśmy wciąż w układzie nieinecjalnym! ),, ( ),, ( 4 ), sin, cos (0, 0 z y x z y x h v Jak dla wahadła matematycznego tu już jest uwzględniona siła gawitacji oaz eakcja więzów (napężenie linki wahadła).

34 Pzy upaszczających założeniach dotyczących stałej watości z(t), ównania uchu pzyjmują postać: x y 0 0 x y y 0, x 0, Układ spzężonych ównań óżniczkowych; Mathematica ma poblem z uzyskaniem analitycznego ozwiązania! 0 g l 4h T 0 sin T l g 0s 4h sin 3h dwie óżne skale czasowe

35 Rozwiązanie ogólne zależy od czteech dowolnych stałych: Waunki początkowe: dają konketne watości stałych A, B, C i D. ), ) cos(( ) ) sin(( ) ) cos(( ) ) sin(( ), ) sin(( ) ) cos(( ) ) sin(( ) ) cos(( t D t C t B t A y t D t C t B t A x 0. 0) (, 0) (, 0) (, 0) ( y x v t y y t y v t x x t x

36 Polecam notebook z ozwiązaniem ównania uchu i animacjami dla wahadła Foucaulta

37 Ciało upuszczone z dużej wysokości nie spada pionowo na Ziemię!

38 Ta sama sytuacja, jak dla wahadła Foucaulta: teaz póba modelowania spadku swobodnego z wysokości h z uwzględnieniem siły Coiolisa Φ=50 stopni (szeokość geogaficzna północna dla Kakowa), h= 50 m Skala na ysunku jest zupełnie pzesadzona; w szczególności żadnych efektów związanych z zakzywieniem powiezchni Ziemi nie będziemy uwzględniać! y z O h x za płaszczyznę ysunku

39 Jakie dodatkowe założenia wato wziąć pod uwagę. a t =0. ω=const 3. Zmiany wektoa są badzo małe w stosunku na pzykład do pomienia Ziemi; dlatego tzeci składnik w nawiasie można uznać za efektywną popawkę do lokalnego pzyspieszenia ziemskiego ma F ma t m v m d m Na placu boju zostają tylko siła gawitacji (ealna siła) oaz siła bezwładności Coiolisa. m a mg m v m g (0, 0, mg ) (0, cos, sin )

40 Opuszczam teaz pimy (potzebuję je dla pochodnych), chociaż jesteśmy wciąż w układzie nieinecjalnym! Równania uchu pzyjmują postać: x ( y y x z g sin sin, x z cos), cos Waunki początkowe są w tym pzypadku szczególnie poste: x( t 0) 0, x ( t 0) 0, y( t 0) 0, y ( t 0) 0, z( t 0) h, z ( t 0) 0.

41 Mathematica nie ma poblemu z uzyskaniem analitycznego ozwiązania, któe od azu uwzględnia waunki początkowe!. ) )cos( ( 8 )cos cos( 8 8, 8 ) cos( ) sin(, 4 ) sin( cos t g t g g t h g z t t g y t t g x Pzypominam, że to ozwiązanie ma sens pzy założeniu, że powiezchnia Ziemi jest płaska, a siła gawitacji pozostaje stała!

42

43 Zaniedbywalne odchylenie w kieunku y (północ-południe)

44 Ruch w kieunku z jest paktycznie taki sam, jak w pzypadku bez siły Coiolisa

45 Polecam notebook z ozwiązaniem ównania uchu dla spadku swobodnego z uwzględnieniem siły Coiolisa