Andrzej Marciniak FIZYKA. Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu

Transkrypt

1 Andzej Maciniak FIZYKA Wykłady dla studentów kieunku infomatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu

2 Wykłady są pzeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku pzez studentów infomatyki Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu. Nie mogą być one powielane i ozpowszechniane ani w całości, ani we fagmentach za pomocą uządzeń elektonicznych, mechanicznych, kopiujących, nagywających i innych, w tym ównież nie mogą być umieszczane ani ozpowszechniane w postaci cyfowej zaówno w Intenecie, jak i w sieciach lokalnych.

3 I. POMIAR 1.1. Wpowadzenie Fizyka opiea się na pomiaach wielkości fizycznych. Niektóe z tych wielkości obano za wielkości podstawowe, któe definiujemy wykozystując ich wzoce. Inne wielkości fizyczne definiujemy za pomocą wielkości podstawowych oaz ich wzoców i jednostek. Jednostka to nazwa miay danej wielkości na pzykład jednostką długości jest met (oznaczenie: m). Jednostkę i jej wzozec można wybać dowolnie, ale obi się to tak, by wszyscy naukowcy zgadzali się, że jest to wybó ozsądny i użyteczny. Wielkości fizycznych jest tak wiele, że musimy je jakoś upoządkować. Okazuje się, że nie wszystkie są niezależne od siebie na pzykład pędkość to stosunek dogi do czasu. Można wybać na mocy umowy międzynaodowej niezbyt dużą liczbę wielkości fizycznych i tylko dla nich ustalić wzoce, a wszystkie inne wielkości fizyczne wyazić pzez te wielkości podstawowe i ich wzoce. 1. Międzynaodowy Układ Jednostek W 1971 oku na XIV Konfeencji Ogólnej ds. Mia i Wag dokonano wybou siedmiu podstawowych wielkości fizycznych, twoząc Międzynaodowy Układ Jednostek (zwany układem SI sk. fanc. Système intenational d unités). Układ ten został pzyjęty pzez wszystkie kaje świata z wyjątkiem Stanów Zjednoczonych, Libeii i Bimy. Obecnie układ ten zawiea jednostki podane w tabeli 1.1. Tabela 1.1. Jednostki podstawowe układu SI Wielkość fizyczna Nazwa jednostki Symbol jednostki długość met m masa kilogam kg czas sekunda s natężenie pądu elektycznego ampe A tempeatua kelwin K światłość kandela cd liczność mateii mol mol

4 4 I. Pomia Poszczególne jednostki podstawowe są obecnie zdefiniowane następująco:! met odległość, jaką pokonuje światło w póżni w czasie 1/ s (kiedyś met definiowano jako część długości miezonej wzdłuż południka payskiego od ównika do bieguna i na tej podstawie wykonano platynoiydowy wzozec meta, później jako pewną część południka ziemskiego, a następnie jako pewną długość fali pomieniowania w póżni odpowiadającego pzejściu między poziomami p 10 i 5d 5 atomu kyptonu 86 K),! kilogam masa walca o wysokości i śednicy podstawy 39 mm (milimetów) wykonanego ze stopu platyny (90 %) z iydem (10 %), któego główny wzozec jest pzechowywany w sejfie w Międzynaodowym Biuze Mia i Wag w Sèves koło Payża (dawniej za wzozec pzyjmowano jeden lit wody o tempeatuze czteech stopni Celsjusza pzy ciśnieniu nomalnym),! sekunda czas ówny okesom pomieniowania odpowiadającego pzejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 stuktuy nadsubtelnej stanu podstawowego S 1/ atomu cezu 133 Cs w spoczynku w tempeatuze 0 K (popzednio sekundę definiowano jako pewną część oku zwotnikowego),! ampe niezmieniający się pąd elektyczny, któy płynąc w dwóch ównoległych, postoliniowych, nieskończenie długich pzewodach o znikomo małych pzekojach kołowych, umieszczonych w póżni w odległości 1 m od siebie, spowodowałby wzajemne oddziaływanie na siebie z siłą N (Newtona) na każdy met długości pzewodu,! kelwin 1/73,16 część tempeatuy temodynamicznej punktu potójnego wody (stanu, w któym woda może istnieć jako ciało stałe, gaz i ciecz), pzy czym woda powinna mieć odpowiedni skład izotopowy, tj. 0, mola H na jeden mol 1 H, 0, mola 17 O na jeden mol 16 O i 0,00005 mola 18 O na jeden mol 16 O (tempeatua 0 K jest ówna tempeatuze!73,15 C),! kandela światłość, z jaką świeci w okeślonym kieunku źódło emitujące pomieniowanie monochomatyczne o częstotliwości 5,4@10 14 Hz (heca) i wydajności enegetycznej w tym kieunku ównej 1/683 W/s (wata na steadian, gdzie steadian oznacza niemianowaną jednostkę pochodną układu SI okeślającą miaę kąta byłowego, pzy czym 1 s = (180 /B) ); stasza definicja okeślała kandelę jako światłość 1/ m powiezchni ciała doskonale czanego w tempeatuze kzepnięcia platyny pod ciśnieniem 1 atmosfey fizycznej,! mol liczność mateii układu, zawieającego liczbę cząstek (np. atomów, cząsteczek, jonów, elektonów) ówną liczbie atomów zawatych w 0,01 kilogama izotopu węgla 1 C; w jednym molu znajduje się 6, (74)@10 3 cząstek (jest to tzw. liczba Avogada). Do zapisu jednostek badzo dużych i badzo małych stosujemy zapis w postaci iloczynu liczby z pzedziału od 0 do 10 i odpowiedniej potęgi liczby 10, np m = 1,3@10 9 m oaz 0, s = 7,89@10!7 s. W zapisie komputeowym wykładnik potęgi oznacza się zwykle liteą E, a do oddzielenia części całkowitej od ułamkowej stosuje się kopkę. Dla powyższych pzykładów zapisy byłyby następujące: 1.3E9 oaz 7.89E!7. Innym sposobem zapisu wielkości badzo dużych i badzo małych jest zastosowanie pzedostków podanych w tabeli 1., np. 1,3@10 6 W = 1,3 MW i 7,89@10!6 s = 7,89 :s.

5 1.3. Zamiana jednostek 5 Tabela 1.. Nazwy pzedostków jednostek SI Czynnik Pzedostek Symbol 10 4 jotta Y 10 1 zetta Z eksa E peta P 10 1 tea T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 hekto h 10 1 deka da 10!1 decy d 10! centy c 10!3 mili m 10!6 miko : 10!9 nano n 10!1 piko p 10!15 femto f 10!18 atto a 10!1 zepto z 10!4 jokto y 1.3. Zamiana jednostek Często musimy dokonać zamiany jednostek, w któych jest wyażona jakaś wielkość fizyczna. W tym celu mnożymy wynik pomiau pzez tzw. współczynnik pzeliczeniowy, czyli ówny jedności stosunek wielkości wyażonej w óżnych jednostkach. Na pzykład 1 minuta i 60 sekund to takie same odstępy czasu, a więc otzymujemy 1 min 60 s = 1 oaz = 1, 60 s 1 min pzy czym w powyższych zapisach nie można opuścić jednostek (liczba jednostek musi zawsze występować z jednostką). Wybane współczynniki pzeliczeniowe podano w tabeli 1.3. Zadania 1. Ziemia jest w pzybliżeniu kulą o pomieniu 6,37@10 6 m. Ile wynosi: a) obwód Ziemi w kilometach, b) pole powiezchni Ziemi w kilometach kwadatowych, c) objętość Ziemi wyażona w kilometach sześciennych?

6 6 I. Pomia Tabela 1.3. Wybane współczynniki zamiany jednostek Wielkość fizyczna Współczynniki pzeliczeniowe Masa i gęstość 1 kg = 1000 g = 6,0@10 6 u 1 u = 1,66@10!7 kg 1 kg/m 3 = 10!3 g/cm 3 Długość i objętość 1 m = 100 cm = 39,4 in = 3,8 ft 1 mila = 1,61 km = 580 ft 1 in =,54 cm 1 nm = 10!9 m = 10 D 1 pm = 10!1 m = 1000 fm 1 ok świetlny (y) = 9,46@10 15 m 1 m 3 = 1000 l = 35,3 ft 3 = 64 galony ameykańskie Czas 1 d = 4 h = s 1 ok (a) = 365,5 d = 3,16@10 7 s Miaa łukowa kąta 1 ad = 57,3 = 0,159 obotu B ad = 180 = 0,5 obotu Pędkość 1 m/s = 3,8 ft/s =,4 mili/h 1 km/h = 0,61 mili/h = 0,78 m/s Siła i ciśnienie 1 N = 105 dyn 1 Pa = 1 N/m = 10 dyn/cm 1 atm = 1,01@10 5 Pa = 76 cm Hg Enegia i moc 1 J = 10 7 egów = 0,39 cal 1 KWh = 3,6@10 6 J 1 cal = 4,19 J 1 ev = 1,60@10!19 J 1 KM = 746 W Tempeatua 0 K =!73,15 C =!459,67 F n C = (9/5)n + 3 F n F = 5(n! 3)/9 C Magnetyzm 1 T = 1 Wb/m = 104 Gs. a) Z ilu mikometów składa się 1 kilomet? b) Jaką częścią centymeta jest 1:m? c) Ile mikometów zawiea 1 jad (1 jad = 3 ft)? 3. Antaktyda ma kształt zbliżony do półkola o pomieniu 000 km. Śednia gubość jej pokywy lodowej wynosi 3000 m. Ile centymetów sześciennych lodu zawiea Antaktyda? 4. Pzez mniej więcej 10 lat po ewolucji fancuskiej ząd Fancji staał się wpowadzić podstawowe jednostki czasu opate na systemie dziesiętnym: tydzień miał zawieać 10 dni, doba 10 godzin, godzina 100 minut, a jedna minuta 100 sekund. Ile wynosi stosunek długości: a) fancuskiego tygodnia dziesiętnego do nomalnego tygodnia? b) fancuskiej sekundy dziesiętnej do nomalnej sekundy? 5. Masa Ziemi wynosi 5,98@10 4 kg. Śednia masa atomów, z któych składa się Ziemia jest ówna 40 u. Z ilu atomów składa się Ziemia? 6. Gęstość żelaza wynosi 7,87 g/cm 3, a masa atomu żelaza jest ówna 9,7@10!6 kg. Oblicz: a) objętość atomu żelaza,

7 1.3. Zamiana jednostek 7 b) odległość śodków sąsiednich atomów zakładając, że atomy są kuliste i stykają się ze swoimi sąsiadami. 7. Najszybciej osnącą znaną ośliną jest Hespeoyucca whiplei, pzyastająca o 3,7 m w ciągu 14 dni. Wyaź tę szybkość w mikometach na sekundę. 8. Jedna cząsteczka wody (H O) składa się z dwóch atomów wodou i jednego atomu tlenu. Masa atomu wodou wynosi w pzybliżeniu 1 u, a atomu tlenu 16 u. a) Wyaź masę cząsteczki wody w kilogamach. b) Ile cząsteczek wody zawieają wszystkie oceany Ziemi, któych całkowita masa wynosi około 1,4@10 1 kg? 9. W czasie całkowitego zaćmienia Słońca widać Słońce niemal dokładnie zasłonięte pzez Księżyc. Załóżmy, że odległość Ziemi od Słońca jest wówczas około 400 azy większa od odległości od Księżyca. a) Obliczyć stosunek śednicy Słońca do śednicy Księżyca. b) Ile wynosi stosunek objętości Słońca do objętości Księżyca? 10. Hekta, zdefiniowany jako 10 4 m, jest jednostką pola często stosowaną do pomiau powiezchni guntów. W kopalni odkywkowej węgla bunatnego, zajmującej obsza o powiezchni 75 hektaów, wydobywa się ocznie wastwę guntu o gubości 6 m. Oblicz objętość usuwanej w tym czasie ziemi, wyażając ją w kilometach sześciennych.

8 II. RUCH PROSTOLINIOWY.1. Pędkość śednia i chwilowa Położenie x cząstki (ciała) na osi x to współzędna punktu, w jakim się ono znajduje, któe jest wyznaczone względem początku osi. Położenie to może być dodatnie, ujemne lub ówne zeu. Pzemieszczenie )x cząstki to zmiana jej położenia, czyli x = x x1, gdzie x 1 oznacza położenie początkowe, a x końcowe. Pzemieszczenie jest wielkością wektoową i jest dodatnie, gdy cząstka pousza się w kieunku dodatnim osi x, a ujemne, gdy cząstka pousza się w kieunku ujemnym osi x. Gdy cząstka zmienia położenie z punktu x 1 w punkt x w pzedziale czasu )t = t! t 1, to jej pędkość śednia w tym pzedziale czasu wynosi x x x vs = t = 1, (.1) t t 1 pzy czym znak wielkości v s jest związany z kieunkiem uchu. Na wykesie funkcji x(t) pędkość śednia cząstki w pzedziale czasu )t jest nachyleniem (współczynnikiem kieunkowym) postej łączącej punkty na kzywej odpowiadającej chwili początkowej i końcowej (zob. ys..1). Rys..1. Wyznaczanie śedniej pędkości Zauważmy, że definicja pędkości śedniej nie zawiea dogi pzebytej pzez cząstkę. Uwzględnia się to w tzw. śedniej pędkości podóżnej:

9 .1. Pędkość śednia i chwilowa 9 ss = całkowitadoga. t Wielkość ta nie uwzględnia kieunku uchu. Pędkość chwilowa (kótko: pędkość) v pouszającej się cząstki jest dana wzoem x dx v = lim =, t 0 t dt gdzie )x = x! x 1 i )t = t! t 1. Pędkość chwilową można wyznaczyć jako nachylenie kzywej x(t) dla tej chwili jest ona ówna nachyleniu postej stycznej do wykesu położenia cząstki w punkcie odpowiadającym tej chwili (zob. ys..). Pędkość jest wielkością wektoową, czyli ma kieunek... Pzyspieszenie i uch ze stałym pzyspieszeniem Pzyspieszenie śednie jest iloazem zmiany pędkości ciała )v i pzedziału czasu )t, w jakim ta zmiana zachodzi, czyli v v v as = 1 = t t t, (.) pzy czym znak tej wielkości wskazuje kieunek wektoa pzyspieszenia. Pzyspieszenie chwilowe (kótko:pzyspieszenie) ciała a jest pochodną piewszego zędu pędkości v(t) względem czasu i pochodną dugiego zędu położenia x(t) względem czasu: skąd 1 dv d x a = = dt dt. Na wykesie funkcji v(t) pzyspieszenie ciała a w każdej chwili jest nachyleniem kzywej v(t) w chwili t (zob. ys..). Duże watości pzyspieszenia podajemy w jednostkach g pzyspieszenia ziemskiego, któego watość w pzybliżeniu jest ówna 9,8 m/s. Dla pzykładu, podczas jazdy kolejką w wesołym miasteczku doznajemy pzyspieszenia do 3g. Gdy pzyspieszenie jest stałe, to oznaczając pędkość w chwili t = 0 pzez v 0, a w pewnej chwili t pzez v, możemy ównanie (.) napisać w postaci a = v v as = 0 t 0, W podobny sposób z ównania (.1) otzymujemy v = v0 + at. (.3) v s = x x0 t 0,

10 10 II. Ruch postoliniowy Rys... Wykes x(t), pędkości v(t) i pzyspieszenia a(t) dla windy wznoszącej się wzdłuż osi x czyli x = x0 + vst. (.4) Gdy pędkość zmienia się liniowo w czasie, to pędkość śednia jest ówna śedniej aytmetycznej na początku i na końcu, tj. vs = 1 ( v0 + v).

11 .. Pzyspieszenie i uch ze stałym pzyspieszeniem 11 Jeśli podstawimy do tego ównania pędkość v daną wzoem (.3), to otzymamy Wstawiając to do ównania (.4) mamy vs = v at. 1 x = x0 + v0t + at Równania (.3) i (.5) są podstawowymi ównaniami uchu ze stałym pzyspieszeniem. W ównaniu (.3) nie występuje pzemieszczenie x! x 0, a w ównaniu (.5) pędkość v. Jeśli z ównania (.3) wyznaczymy czas t, tj. v v t = 0 a i podstawimy tę wielkość do ównania (.5), to otzymamy x x v v = + v 0 0 a 1 v v + a a 0 0. (.5), skąd czyli ax ( x) = v( v v) + ( v v) = v v, v = v + a( x x ). (.6) 0 0 Jeśli z ównania (.3) wyznaczymy pzyspieszenie, czyli i podstawimy do ównania (.5), to otzymamy czyli x = x + v t v v Gdy z ównania (.3) wyznaczymy v 0, tj. v v a = 0 t to po podstawieniu do ównania (.5) otzymamy 1 t 1 t = x0 + v0t + v v0 t ( ), 0 1 x = x0 + v0 + v t ( ). (.7) v0 = v at, 1 x = x0 + ( v at) t + at,

12 1 czyli 1 x = x0 + vt at II. Ruch postoliniowy. (.8).3. Spadek swobodny Ważnym pzykładem uchu po linii postej ze stałym pzyspieszeniem jest uch ciała wznoszącego się lub spadającego swobodnie w pobliżu powiezchni Ziemi. Ruch taki jest opisany ównaniami uchu ze stałym pzyspieszeniem. Stosujemy umowę, że uch odbywa się wzdłuż osi pionowej skieowanej do góy i pzyspieszenie a oznaczamy pzez g, któe oznacza watość bezwzględną swobodnego spadku. W pobliżu Ziemi mamy g = 9,8 m/s. Pzykład Rzucamy małą piłkę pionowo do góy z początkową pędkością 1 m/s. Jak długo piłka będzie wznosić się do osiągnięcia największej wysokości? Podczas uchu piłka pousza się z pzyspieszeniem a =!g. Wiadomo, że w punkcie najwyższego wzniesienia piłki jej pędkość v musi być ówna 0. Znamy zatem pędkość v, pzyspieszenie a i pędkość początkową v 0 = 1 m/s. Z ównania (.3) mamy v v t = 0 0 = 1 a 98, m/s m/s = 1, s. Ile wynosi największa wysokość, na jaką wzniesie się piłka? Pzyjmijmy, że punkt wyzucenia piłki ma watość x 0 = 0. Z ównania (.6) otzymujemy v x = x + 0 v a 0 0 = + 1 ( m/ s) 0 m ( 98, ) m/ s Jak długo piłka będzie wznosić się do punktu leżącego 5 m nad punktem jej wyzucenia? Ponieważ znamy v 0, a =!g, x oaz x 0, więc możemy skozystać z ównania (.3). Mamy Pomijając jednostki, któe są zgodne, ównanie to możemy zapisać następująco: Jest to ównanie kwadatowe, któe ozwiązujemy w znany sposób: t = 73, m m= m+ ( m/s) t (, m/s ) t. 49, t 1t + 5= 0. = 1 4 4, 9 5 = 46, 6, 78, 1 6, , 78 = 053, s, t = 19, s. 49, 49, 1 Otzymaliśmy dwa ozwiązania, co nie powinno nas dziwić, bo pzecież piłka dwukotnie pzechodzi pzez podany punkt az wznosząc się, a dugi az spadając. #

13 .3. Spadek swobodny 13 Zadania 1. Samochód jedzie z pędkością 90 km/h. Jaką dogę pzebył samochód, gdy kieowca zamknął oczy na 0,5 s?. Samochód jadący po postej dodze pzebył 40 km z pędkością 30 km/h, a następne 40 km, w tym samym kieunku, pzebył z pędkością 60 km/h. a) Ile wynosi śednia pędkość samochodu w czasie 80-kilometowej podóży (pzyjmujemy, że samochód pousza się w dodatnim kieunku osi x)? b) Ile wynosi śednia watość bezwzględna pędkości pojazdu? 3. Dwa pociągi jadą napzeciwko siebie po postym toze z pędkością 30 km/h każdy. Ptak ozwijający w locie pędkość 60 km/h wylatuje z lokomotywy jednego z pociągów, gdy są one odległe od siebie o 60 km i leci w stonę dugiego pociągu. Doleciawszy do niego ptak zawaca i leci z powotem do piewszego pociągu itd. Jaką całkowitą dogę pzeleci ptak aż do zdezenia się pociągów ze sobą? 4. Dwaj zawodnicy uzyskali w biegu na 1 km czasy: min 7,95 s (zawodnik n 1 na toze n 1) i min 8,15 s (zawodnik n na toze n ). Okazało się jednak, że długość L tou n mogła być nieco większa niż długość L 1 tou n 1. Jak duża może być óżnica L! L 1, aby wciąż można było stwiedzić, że zawodnik n 1 biegł szybciej? 5. W scenaiuszu filmu pzewidziana jest scena, w któej dwa samochody, czewony i zielony, jadą w pzeciwnych kieunkach autostadą (zob. ys..3), a w chwili mijania się pojazdów kieowca czewonego samochodu ma zucić dugiemu kieowcy pakunek z pzemycanym towaem. Aby nakęcić z bliska moment pzekazania pakunku, tzeba ustawić jedną z kame w pobliżu miejsca, w któym pojazdy miną się. W chwili, gdy pada okzyk Akcja! samochody są odległe od siebie o 00 m, czewony usza z miejsca ze stałym pzyspieszeniem 6,1 m/s, a zielony już jedzie ze stałą pędkością 60 km/h, któej nie zmienia. W jakiej odległości od początkowego położenia czewonego samochodu nastąpi pzekazanie ładunku? Rys..3. Początkowe położenia samochodów zbliżających się do siebie 6. Położenie cząstki opisano wzoem x = 4! 1t + 3t, gdzie czas t jest podany w sekundach, a położenie x w metach. a) Ile wynosi pędkość cząstki w chwili t = 1 s? b) Czy w tej chwili pousza się ona w dodatnim, czy ujemnym kieunku osi x? c) Ile wynosi watość bezwzględna jej pędkości w tej chwili? d) Czy w następnych chwilach watość bezwzględna jej pędkości jest większa, czy mniejsza?

14 14 II. Ruch postoliniowy e) Czy w jakiejkolwiek chwili pędkość cząstki jest ówna zeu? Jeśli tak, to ile wynosi wtedy wielkość t? f) Czy istnieje chwila późniejsza niż t = 3 s, w któej cząstka pouszałaby się w ujemnym kieunku osi x? Jeśli tak, to ile wynosi wtedy wielkość t? 7. Cząstka ma w pewnej chwili pędkość o watości bezwzględnej 18 m/s skieowaną w dodatnim kieunku osi x. W chwili późniejszej o,4 s watość bezwzględna jej pędkości wynosi 30 m/s, lecz cząstka pousza się wówczas w kieunku pzeciwnym. Jaka jest watość bezwzględna i kieunek śedniego pzyspieszenia cząstki w ciągu tych,4 s? 8. Pojazd elektyczny znajduje się początkowo w spoczynku, a potem zaczyna się pouszać uchem jednostajnie pzyspieszonym po linii postej z pzyspieszeniem ównym m/s. Po osiągnięciu pędkości 0 m/s pojazd zaczyna zwalniać ze stałym pzyspieszeniem 1 m/s i w końcu zatzymuje się. a) Jak długo pojazd znajdował się w uchu? b) Jaką pzebył dogę w tym czasie? 9. Wysokość szybu pewnej windy wynosi 190 m. Maksymalna pędkość kabiny jest ówna 305 m/min. Pzyspieszenie windy w obydwu kieunkach jazdy ma watość 1, m/s. a) Na jakiej dodze uszająca z miejca winda osiąga maksymalną pędkość jazdy? b) Jak długo twa pełny, 190-metowy pzejazd windy bez zatzymania po dodze, licząc od chwili zatzymania na dole do chwili zatzymania na góze? 10. a) Z jaką pędkością tzeba zucić piłkę z ziemi pionowo w góę, aby jej maksymalne wzniesienie wyniosło 50 m? b) Jak długo będzie ona w powietzu? 11. Na budowie spadający klucz hydauliczny udezył w ziemię z pędkością 4 m/s. a) Na jakiej wysokości wypadł on komuś z ęki? b) Jak długo spadał? 1. Balon na ogzane powietze wznosi się z pędkością 1 m/s. Gdy znajduje się on na wysokości 80 m, za butę wypada pewien pakunek. a) Po jakim czasie pakunek spadnie na ziemię? b) Z jaką pędkością udezy on w ziemię?

15 III. WEKTORY 3.1. Wektoy i ich składowe Skalay mają tylko watość (pzykładem może być tempeatua) i spełniają pawa zwykłej algeby. Wektoy mają watość oaz kieunek (pzykładem może być pzemieszczenie) i spełniajpawa algeby wektoowej. Wektoy można dodawać. Aby dodać geometycznie dwa wektoy a i b należy naysować je w tej samej skali i umieścić początek wektoa b w miejscu, gdzie znaj- duje się koniec wektoa a. Wekto łączący początek wektoa a z końcem wektoa b jest ich sumą (zob. ys. 3.1). Rys Dodawanie wektoów Aby odjąć wekto b od wektoa a, zmieniamy kieunek wektoa b na pzeciwny, po czym dodajemy wektoy b i a. Dodawanie wektoów jest pzemienne i łączne (zob. ys. 3. i 3.3), co oznacza, że a + b = b + a oaz ( a + b ) + c = a + ( b + c ). W pzestzeni dwuwymiaowej składowe a x i a y wektoa a w układzie współzędnych Oxy wyznaczamy pzez zutowanie wektoa na osie tego układu. Składowe są więc okeślone pzez następujące wzoy (zob. ys. 3.4): a = acos θ, a = asin θ, x gdzie oznacza kąt między dodatnim kieunkiem osi x i kieunkiem wektoa składowe wektoa, to możemy wyznaczyć jego długość i kieunek ze wzoów y a. Jeśli znamy

16 16 III. Wektoy ay a = ax + a y, tgθ =. a x Rys. 3.. Pzemienność dodawania wektoów Rys Łączność dodawania wektoów Rys Składowe wektoa

17 3.3. Mnożenie wektoów Dodawanie wektoów W pawoskętnym pzestzennym układzie współzędnych 1) wektoy jednostkowe $ i, $ j i k $ mają długość ówną jedności i są skieowane w dodatnich kieunkach osi x, y i z. Dowolny wekto a można za ich pomocą zapisać jako a = a $ x i + a $ y j + az k $, gdzie elementy a $ xi, a $ yj i a $ zk są wektoowymi składowymi wektoa a, a watości a x, a y i a z są składowymi skalanymi tego wektoa. Aby dodać dwa wektoy a i b, należy dodać odpowiadające sobie ich składowe, czyli obli- czyć = a + b, = a + b, = a + b. x x x y y y z z z Powstały w ten sposób wekto jest ich sumą. W podobny sposób wykonuje się też odejmowanie wektoów. Obliczenie óżnicy wektoów a b można spowadzić do dodawania wektoów a + ( b) Mnożenie wektoów Mnożenie wektoów można wykonać na tzy sposoby: mnożenie wektoa pzez skala oaz mnożenie wektoa pzez wekto, w wyniku któego możemy otzymać skala (nazywany iloczynem skalanym) lub wekto (nazywany iloczynem wektoowym). W wyniku pomnożenia wektoa a pzez skala s otzymujemy nowy wekto, któego długość jest ówna sa, a kieunek jest zgodny z kieunkiem wektoa a, gdy s > 0, a pzeciwny, gdy s < 0. Aby podzielić wekto a pzez skala s, wykonujemy mnożenie pzez skala 1/s. Iloczyn skalany wektoów a i b oznaczamy pzez a b. Jest on zdefiniowany następująco: a b = abcos ϕ, (3.1) gdzie a oznacza moduł (długość) wektoa a, b moduł wektoa b, a n oznacza kąt między we- ktoami a i b. Są dwa kąty spełniające ównanie (3.1): n oaz 360! n, gdyż cosinusy obu kątów są takie same. Iloczyn skalany jest pzemienny, czyli a b = b a. Jeśli wyazimy obydwa wektoy pzez wektoy jednostkowe, to ich iloczyn skalany możemy zapisać w postaci a b = ( a $ i + a $ j + a k $ ) ( b $ i + b $ j + b k $ ). x y z x y z 1) O tym, czy układ katezjański układ współzędnych jest układem pawo- czy lewoskętnym, decyduje eguła pawej dłoni: katezjański układ współzędnych nazywamy układem pawoskętnym, jeżeli po skieowaniu palców pawej dłoni w dodatnim kieunku osi x, po ich zgięciu (zamknięciu dłoni) wskażą one dodatni kieunek osi y, a kciuk wskaże dodatni kieunek osi z.

18 18 III. Wektoy Kozystając z ozdzielności mnożenia względem dodawania możemy pawą stonę tego wzou wyazić w postaci iloczynów skalanych każdego wektoa składowego piewszego wektoa i każdego wektoa składowego dugiego. Otzymamy a b = axbx + ayby + azbz. Iloczynem wektoowym wektoów a i b, któy oznaczamy jako a b, nazywamy wekto c o długości c= absin ϕ, gdzie n oznacza mniejszy z kątów między wektoami a i b. Kieunek wektoa c jest posto- padły do płaszczyzny, w któej leżą wektoy a i b. Można go wyznaczyć kozystając z eguły pawej dłoni. W tym celu pzesuwamy wektoy a i b tak, by miały wspólny początek (nie zmieniając ich kieunków) i wyobażamy sobie linię pzechodząca pzez ten punkt i postopadłą do płaszczyzny twozonej pzez te wektoy. Jeżeli otoczymy tę linię pawą dłonią tak, aby kieunek palców pokazywał łuk od wektoa a do wektoa b, to kciuk wskaże nam kieunek wek toa c. Kolejność wektoów w iloczynie wektoowym jest istotna. Nie jest on pzemienny. Mamy b a = ( a b). Jeśli zapiszemy iloczyn wektoowy za pomocą wektoów jednostkowych, czyli a b = ( a $ i + a $ j + a k $ ) ( b $ i + b $ j + b k $ ), x y z x y z wykonamy mnożenie i skozystamy z faktu, że iloczyn wektoowy każdego wektoa jednostkowego pzez siebie jest ówny zeu, a iloczyn wektoowy dwu óżnych wektoów jednostkowych jest ówny tzeciemu wektoowi jednostkowemu, to otzymamy a b = ( a b b a ) $ i + ( a b b a ) $ j+ ( a b b a ) k $. y z y z z x z x x y x y Zadania 1. Wekto a leży w płaszczyźnie xy. Jego kieunek twozy kąt 50 z dodatnim kieunkiem osi x (licząc w kieunku pzeciwnym do kieunku uchu wskazówek zegaa), a jego długość wynosi 7,3 m. Jaka jest jego składowa: a) x, b) y?. Składowa x wektoa a wynosi!5 m, a jego składowa y jest ówna 40 m. a) Ile wynosi długość wektoa a? b) Jaki kąt twozy kieunek wektoa a z dodatnim kieunkiem osi x? 3. Dane są dwa wektoy: a = ( 4m)i $ ( 3m) $ j + ( 1m)k$ i b = ( 1m)i $ + ( 1m) $ j + ( 4m)k $. Wyazić za pomocą wektoów jednostkowych: a) wekto a + b, b) wekto a b, c) wekto c, taki że a b + c = Tzy wektoy a, b i c mają długość 50 m każdy i leżą w płaszczyźnie xy. Ich kieunki twozą z dodatnim kieunkiem osi x kąty odpowiednio 30, 195 i 315. Wyznaczyć:

19 3.3. Mnożenie wektoów 19 a) długość wektoa a + b + c, b) kąt utwozony pzez ten wekto z osią x, c) długość wektoa a b + c, d) kąt utwozony pzez ten wekto z osią x. 5. Wektoy i s leżą w płaszczyźnie xy, ich długości wynoszą 4,5 oaz 7,3 jednostki, a ich kieunki twozą kąty 30 i 85 z dodatnim kieunkiem osi x (licząc w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa). Wyznaczyć: a) s, b) s. 6. Dane są tzy wektoy: a = 3$ i + 3$ j k $, b = $ i + 4$ j + k $, c = $ i + $ j + k $. Obliczyć: a) a ( b c), b) a ( b+ c ), c) a ( b + c).

20 IV. RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH 4.1. Położenie i pzemieszczenie Położenie ciała (cząstki) względem początku układu współzędnych wyznacza wekto jego położenia, któy w zapisie za pomocą wektoów jednostkowych wyaża się jako = x$ i + y$ j + z k $. W tym wzoze x$ i, y$ j i zk$ to składowe wektoowe wektoa położenia, a wielkości x, y i z to jego składowe skalane. Wekto położenia można pzedstawić podając jego długość oaz jeden lub dwa kąty wyznaczające jego kieunek, lub też podając jego składowe wektoowe albo skalane. Jeżeli ciało pousza się, to jego wekto położenia zmienia się z wektoa 1 w wekto, tak że pzemieszczenie ciała można pzedstawić jako = 1, co można też zapisać następująco: = ( x x ) $ + ( y y ) $ + ( z z ) $ 1 i 1 j 1 k = x$ i + y$ j+ zk$. We wzoze tym współzędne (x 1, y 1, z 1 ) odpowiadają wektoowi położenia (x, y, z) wektoowi położenia. 1, a współzędne 4.. Pędkość śednia i chwilowa Jeśli w pzedziale czasu )t pzemieszczenie cząstki wynosi, w tym pzedziale czasu wynosi vs = t. Ganicę, do któej dąży pędkością) v: to jej pędkość śednia v s, gdy )t dąży do zea, nazywamy pędkością chwilową (lub kótko: d v =, dt co można też zapisać za pomocą wektoów jednostkowych jako

21 4.4. Rzut ukośny 1 v = v $ i + v $ j + v k $, x y z gdzie v x = dx/dt, v y = dy/dt i v z = dz/dt. Kieunek pędkości chwilowej v cząstki jest zgodny z kieunkiem stycznej do tou cząstki w punkcie, w któym ona znajduje się Pzyspieszenie śednie i chwilowe Jeśli w pzedziale czasu )t pędkość cząstki zmienia się z pędkości v 1 w pędkość v, to jej śednie pzyspieszenie w tym pzedziale wynosi v v v as = 1 = t t. Ganicę, do któej dąży pzyspieszenie śednie a s, gdy )t dąży do zea, nazywamy pzyspie- szeniem chwilowym (lub kótko: pzyspieszeniem) a: dv a =. dt Pzyspieszenie to w zapisie za pomocą wektoów jednostkowych można pzedstawić następująco: a = a $ x i + a $ y j + az k $, gdzie a x = dv x /dt, a y = dv y /dt i a z = dv z /dt oznaczają składowe pzyspieszenia a (są one pochod- nymi składowych pędkości v) Rzut ukośny W zucie ukośnym ciało zostaje wyzucone w powietze z pędkością początkową o watości bezwzględnej v 0 pod kątem 0 względem dodatniego kieunku osi x (zob. ys. 3.1). W uchu ciała pzyspieszenie w poziomie jest ówne zeu, a pzyspieszenie w pionie wynosi!g (jest skieowane w dół). Pędkość początkową możemy pzedstawić jako v0 = v $ 0x i + v $ 0y j, gdzie składowe v 0x i v 0y możemy wyznaczyć, o ile znamy kąt 0 utwozony pzez wekto v z do- datnim kieunkiem osi x. Mamy v = v cos θ, v = v sin θ. 0x 0 0 0y 0 0 Podczas tego uchu w dwóch wymiaach wekto położenia cząstki i wekto jej pędkości v zmieniają się w sposób ciągły, ale wekto pzyspieszenia a jest stały i zawsze skieowany pio- nowo w dół. Cząstka nie doznaje żadnego pzyspieszenia w kieunku poziomym. W zucie ukośnym uchy cząstki w kieunku poziomym i w kieunku pionowym można taktować jako niezależne żaden z nich nie ma wpływu na dugi. Dzięki temu zagadnienie

22 IV. Ruch w dwóch i tzech wymiaach uchu w dwóch wymiaach można ozbić na dwa postsze zagadnienia jednowymiaowe: uch cząstki w kieunku poziomym (w któym pzyspieszenie wynosi zeo) oaz jej uch w kieunku pionowym (ze stałym pzyspieszeniem skieowanym w dół). Rys Rzut ukośny

23 4.4. Rzut ukośny 3 Pzemieszczenie cząstki w poziomie od jej początkowego położenia x 0 do końcowego x jest opisane ównaniem (.5), w któym należy pzyjąć a = 0, czyli x = x + v t 0 0 x. Ponieważ v = v cos θ, 0x 0 0 więc mamy x = x + ( v cos θ ) t. (4.1) pzy czym skozystaliśmy tu z podanego bliżej zapisu poziomej składowej pędkości dobnie z ównań (.3) i (.6) dostajemy następujące ównania: Pov 0 y. Ruch w pionie jest taki sam, jak uch ciała w zucie pionowym. Możemy ponownie zastosować ównanie (.5), w któym podstawiamy a =!g i zamieniamy współzędną x na y. Otzymujemy 1 1 y = y0 + v0yt gt = y0 + ( v0 sin θ 0) t gt, (4.) v v sinθ gt (4.3) y = 0 0 oaz y v = ( v sin θ ) g( y y ). (4.4) Z ys. 4.1 oaz z ównania (4.3) widać, że składowa pionowa pędkości jest dokładnie taka sama, jak pzy zucie pionowym. Na początku jest ona skieowana do góy, a potem jej watość maleje do zea i jest ówna zeu w chwili, gdy cząstka ma największą wysokość. Następnie kieunek składowej pionowej pędkości zmienia się na pzeciwny, a jej watość ośnie waz z upływem czasu. Z ównań (4.1) i (4.) można wyznaczyć ównanie tou cząstki. Z piewszego z tych ównań mamy x x t = 0 v0 cosθ 0 i po podstawieniu do dugiego ównania otzymujemy x x0 1 x x0 y = y0 + ( v0sin θ ( ) 0) g v cosθ ( v cos θ ) Jeśli dla postoty pzyjmiemy w tym ównaniu x 0 = 0 i y 0 = 0, to pzyjmie ono postać y = ( tgθ ) x 0 gx ( v cos θ ) 0 0. (4.5) Jest to ównanie tou pzedstawionego na ys Równanie (4.5) ma postać y = ax + bx, gdzie wielkości a i b są stałymi. Jest to zatem ównanie paaboli. Zasięgiem poziomym R w zucie ukośnym nazywamy odległość, któą pzebyła cząstka w poziomie do chwili jej powotu na wysokość początkową. Aby wyznaczyć zasięg R, wstawmy R = x! x 0 do ównania (4.1) oaz y! y 0 = 0 do ównania (4.). Otzymujemy R= ( v cos θ ) t (4.6) 0 0

24 4 IV. Ruch w dwóch i tzech wymiaach oaz Jeżeli z ównania (4.6) wyznaczymy t: R t = v0 cosθ 0 i podstawimy do ównania (4.7), to otzymamy 1 0 = ( v0 sin θ 0) t gt. (4.7) R 1 R 0 = ( v0 sin θ 0) g v cos θ ( v cos θ ) , skąd po dobnych pzekształceniach mamy v0 v0 R = sinθ0 cosθ0 = sin θ 0. (4.8) g g Z ównania tego nie otzymamy odległości pzebytej pzez ciało w poziomie, jeśli położenie końcowe ciała nie znajduje się na tej samej wysokości, co jego położenie początkowe. Wato zauważyć, że zasięg R w ównaniu (4.8) osiąga największą watość, gdy sin 0 = 1, co oznacza, że 0 = 90, czyli 0 = 45. Pzykład Samolot atowniczy leci z pędkością 198 km/h (=55 m/s) na stałej wysokości 500 m. Ku punktowi znajdującemu się bezpośednio nad ozbitkiem zmagającym się z falami. Pilot chce wypuścić kapsułę atowniczą tak, aby wpadła do wody możliwie najbliżej ozbitka. Rys. 4.. To kapsuły atowniczej Należy wyznaczyć kąt N, pod jakim pilot widzi ozbitka w chwili najbadziej odpowiedniej do zwolnienia kapsuły.

25 4.5. Ruch jednostajny po okęgu 5 Z ysunku widać, że kąt N jest ówny gdzie x oznacza współzędną poziomą ozbitka (ówną współzędnej kapsuły w chwili upadku do wody), a h oznacza wysokość samolotu nad wodą. Wysokość samolotu jest podana. Aby znaleźć współzędną x możemy skozystać z ównania (4.1), pzyjmując w nim x 0 = 0 (bo początek układu znajduje się w punkcie wyzucenia kapsuły), v 0 = 55 m/s (bo kapsuła zostaje upuszczona, a nie wystzelona, co oznacza, że jej pędkość początkowa jest ówna pędkości samolotu) oaz 0 = 0 (bo taki jest kąt w stosunku do dodatniego kieunku osi x). Mamy zatem x = 0m+ ( 55m/ s)(cos 0 ) t. (4.10) Aby znaleźć czas t, ozważmy uch kapsuły w pionie. Podstawiając odpowiednie watości do ównania (4.) mamy Rozwiązując to ównanie względem t otzymujemy t = 10,1 s i po podstawieniu do ównania (4.10) mamy x = 555,5 m. Zatem z ównania (4.9) dostajemy Jaka będzie pędkość v φ = actg x h, (4.9) = m m ( m/ s)(sin ) t (, m/ s ) t. 555, 5 m φ = actg = m kapsuły w chwili, gdy wpadnie ona do wody? Ruch kapsuły w poziomie jest niezależny od uchu w pionie podczas jej lotu, czyli nie zależą od siebie składowe pozioma i pionowa jej pędkości. Składowa pozioma pędkości v x jest cały czas ówna jej watości początkowej v 0x = v 0 cos 0, ponieważ uch w poziomie odbywa się bez pzyspieszenia. Składowa pionowa pędkości v y ulega zmianie w stosunku do jej watości początkowej v 0y = v 0 sin 0, gdyż uch kapsuły w pionie jest pzyspieszony. W chwili, gdy kapsuła wpada do wody mamy v 0x = 55 m/s. Z ównania (4.3) wyznaczamy watość składowej pionowej w chwili upadku kapsuły do wody: vy = v0 sin θ 0 gt = ( 55 m/ s)(sin 0 ) ( 9, 8 m/ s )( 10, 1s) = 99 m/ s. Wobec tego w chwili upadku do wody kapsuła ma pędkość v = ( 55 m/ s) $ i ( 99 m/ s) $ j. # 4.5. Ruch jednostajny po okęgu Jeśli ciało pousza się po okęgu o pomieniu z pędkością o stałej watości bezwzględnej v, to jego uch nazywamy uchem jednostajnym po okęgu, w któym pzyspieszenie ciała a ma też stałą watość bezwzględną ówną a = v. (4.11)

26 6 IV. Ruch w dwóch i tzech wymiaach Wekto pzyspieszenia a jest skieowany w każdej chwili do śodka okęgu, po któym u- sza się ciało i dlatego nazywa się pzyspieszeniem dośodkowym. Czas, w jakim ciało pzebywa cały okąg, wynosi T = π. v Czas T nosi nazwę okesu tego uchu. Rys Jednostajny uch cząstki po okęgu w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa W celu wypowadzenia wzou (4.11) i okeślenia kieunku pzyspieszenia w uchu jednostajnym po okęgu pzeanalizujmy ys Na ysunku tym cząstka p pousza się ze stałą pęd-

27 4.6. Ruch względny w jednym i dwóch wymiaach 7 kością v po okęgu o pomieniu. W chwili, gdy wykonano ysunek, współzędne tej cząstki wynosiły x p i y p. Pędkość v pouszającej się cząstki jest zawsze styczna do jej tou w punkcie, w któym cząstka właśnie znajduje się. Oznacza to, że wekto v jest postopadły do pomienia w punkcie, w któym znajduje się cząstka. Kąt utwozony pzez wekto v z pionem w punkcie p. Jest więc ówny kątowi utwozonemu pzez pomień z osią x. Składowe wektoa v pokazano na ys. 4.3 b). Kozystając z nich możemy pędkość v pzed- stawić następująco: v = v $ i + v $ j= ( v sin θ ) $ i + ( v cos θ ) $ j. x Z tójkąta postokątnego na ys. 4.3 a) widać, że sin = y p / oaz cos = x p /, co daje v Aby wyznaczyć pzyspieszenie a cząstki p, należy to ównanie zóżniczkować względem czasu. Ponieważ watości pędkości v oaz pomienia nie zależą od czasu, więc otzymujemy dv v dy p v dx p a = = $ + dt dt i $ j. dt Szybkość dy p /dt zmiany wielkości y p jest ówna składowej pędkości v y i podobnie dx p /dt = v x. Z ys. 4.3 b) widać, że v x =!v sin, a v y = v cos. Po podstawieniu tych związków do ównania otzymujemy a = Wekto ten i jego składowe są pokazane na ys. 4.3 c). Mamy pzy tym y = v vy vx p $ + i $ j. v v v a = ax + ay = (cos θ) + (sin θ) = 1 =, co należało dowieść. Kieunek wektoa a jest wyznaczony pzez kąt N z ys. 4.3 c): p v + cos θ $ i sin θ $ j. a θ tgφ = = y ( v / )sin = tgθ, a x ( v / )cosθ co oznacza, że N =, czyli że wekto a jest skieowany wzdłuż pomienia z ys. 4.3 a), w kieunku śodka okęgu, co także należało wykazać Ruch względny w jednym i dwóch wymiaach Gdy dwa układy odniesienia A i B pouszają się względem siebie ze stałą pędkością, to pędkość ciała C miezona pzez obsewatoa w układzie A jest na ogól inna niż pędkość tego ciała miezona pzez obsewatoa w układzie B. Jeśli oznaczymy pzez wekto położenia począt- BA

28 8 IV. Ruch w dwóch i tzech wymiaach ku układu B względem początku układu A, a wektoy położenia cząstki C w układzie A pzez CA, a w układzie B pzez CB, to możemy napisać = +. CA CB BA Różniczkując obie stony tego ównania względem czasu, otzymujemy związek między pędkościami vca i vcb cząstki C względem każdego z obsewatoów: v = v + v. CA CB BA Następnie, óżniczkując to ównanie względem czasu, otzymujemy związek między pzyspieszeniami aca i acb cząstki C względem każdego z obsewatoów. Ponieważ pędkość v BA jest stała, więc jej pochodna względem czasu jest ówna zeu. Mamy zatem a = a. CA Otzymaliśmy zatem następującą zasadę: obsewatozy w óżnych układach odniesienia, pouszających się względem siebie ze stałą pędkością, ejestują takie samo pzyspieszenie pouszającej się cząstki. CB Zadania 1. Wekto położenia elektonu wynosi = ( 5m)i $ ( 3m) $ j + ( m)k $. Wyznaczyć długość wektoa.. Pozyton doznaje pzemieszczenia o = $ 3$ + 6$ i j k i zatzymuje się w punkcie o wektoze położenia = 3 $ j 4 k $, pzy czym wszystkie dane liczbowe są wyażone w metach. Podać wekto początkowego położenia pozytonu. 3. Pociąg jedzie z pędkością o stałej watości ównej 60 km/h na wschód pzez 40 min, potem w kieunku 50 na wschód od kieunku północnego pzez 0 min, a jeszcze potem na zachód pzez 50 min. Wyznaczyć pędkość śednią pociągu podczas tej podóży podając a) jej watość bezwzględną, b) kąt. 4. Wekto położenia jonu (w metach) wynosi w pewnej chwili = 5$ 6$ + $ i j k, a 10 s póź- niej = $ i + 8$ j k $. Wyznaczyć pędkość śednią jonu w czasie tych 10 s, wyażając ją za pomocą jednostek wektoowych. 5. Położenie cząstki pouszającej się w płaszczyźnie xy jest dane wyażeniem 3 = ( t t) $ 4 5 i + ( 6 7t ) $ j, pzy czym położenie jest wyażone w metach, a czas t w sekundach. Obliczyć w chwili t = s: a), b) v, c) a, wyażając te wektoy za pomocą wektoów jednostkowych. d) Jaki kąt twozy styczna do tou cząstki w chwili t = s z dodatnim kieunkiem osi x?

29 4.6. Ruch względny w jednym i dwóch wymiaach 9 6. Cząstka pousza się tak, że zależność jej położenia (w metach) od czasu (w sekundach) jest następująca: = $ i + 4 t $ j + t k $. Podać wyażenia opisujące zależność od czasu a) pędkości, b) pzyspieszenia tej cząstki. 7. Cząstka stauje z punktu będącego początkiem układu współzędnych z pędkością początkową v = ( $ 3i) m / s i stałym pzyspieszeniem a = ( $, $ i 05j) m/ s. Wyznaczyć: a) pędkość b) wekto położenia cząstki w chwili, gdy współzędna x jest największa. 8. Lotkę zucono poziomo z pędkością początkową o watości 10 m/s w kieunku punktu P na taczy. Po 0,19 s lotu tafiła ona w punkt Q na obzeżu taczy, leżący poniżej punktu P. a) Jaka jest odległość punktów P i Q? b) Z jakiej odległości od taczy została zucona ta lotka? 9. Pocisk, wystzelony poziomo z działa umieszczonego na wysokości 45 m nad poziomym teenem, wylatuje z lufy z pędkością 50 m/s. a) Jak długo będzie twał lot pocisku? b) W jakiej odległości w poziomie od działa (punktu wystzelenia) pocisk spadnie na ziemię? c) Ile będzie wynosiła watość składowej pionowej pędkości pocisku w chwili jego spadku na ziemię? 10. Samolot lecący z pędkością 90 km/h nukuje pod kątem = 30 do poziomu i wypuszcza pocisk w celu zmylenia adau niepzyjaciela. Odległość w poziomie od punktu wyzucenia pocisku do punktu jego spadku na ziemię wynosi d = 700 m. a) Jak długo twał lot pocisku? b) Na jakiej wysokości nad ziemią pocisk ten został wypuszczony? 11. Piłkaz wykopuje piłkę z powiezchni boiska z pędkością początkową o watości 19,5 m/s pod kątem 45 do poziomu. Inny zawodnik, stojący w odległości 55 m od miejsca wykopu w kieunku lotu piłki, usza w tej samej chwili na jej spotkanie. Z jaką śednią pędkością powinien on biec, aby dotzeć do piłki tuż pzed jej upadkiem na boisko? 1. Atakując w wyskoku, siatkaz udeza piłkę nad głową i staa się tafić na połowę pzeciwnika. Dobó kąta udezenia nie jest łatwy. Załóżmy, że piłkę udezono na wysokości,30 m nad pakietem, nadając jej pędkość początkową 0 m/s skieowaną pod kątem 18 w dół do poziomu. O ile dalej wylądowałaby piłka na boisku pzeciwnika, gdyby wspomniany kąt wynosił 8? 13. Satelita Ziemi kąży po obicie kołowej na wysokości h = 00 km nad powiezchnią Ziemi. Pzyspieszenie ziemskie g na tej wysokości wynosi 9, m/s. Ile wynosi pędkość v satelity na tej obicie? 14. Satelita obiega Ziemię po obicie kołowej na wysokości 640 km nad powiezchnią Ziemi. Okes obiegu wynosi 98 min. Wyznaczyć: a) watość pędkości, b) watość pzyspieszenia dośodkowego tego satelity. 15. Kauzela obaca się wokół osi pionowej ze stałą pędkością kątową. Pasaże znajdujący się na obzeżu kauzeli pousza się z pędkością liniową o stałej watości 3,66 m/s, a jego pzyspieszenie dośodkowe a ma watość 1,83 m/s. Wekto wyznacza położenie pasażea względem osi obotu kauzeli.

30 30 IV. Ruch w dwóch i tzech wymiaach a) Jaka jest długość wektoa? Jaki jest kieunek tego wektoa, gdy wekto b) na wschód, c) na południe? a jest skieowany 16. Diabelski młyn ma pomień 15 m i wykonuje 5 obotów na minutę wokół osi poziomej. a) Ile wynosi okes jego uchu? Jaka jest b) długość, c) kieunek pzyspieszenia dośodkowego pasażeki, gdy jest ona na największej wysokości nad ziemią? Jaka jest d) długość, e) kieunek pzyspieszenia dośodkowego pasażeki, gdy jest ona na najmniejszej wysokości nad ziemią? 17. Śnieg pada pionowo ze stałą pędkością 8 m/s. Z punktu widzenia kieowcy samochodu jadącego po postej i poziomej dodze z pędkością 50 km/h płatki śniegu spadają na ziemię ukośnie. Pod jakim kątem do pionu spadają według kieowcy płatki śniegu? 18. Dwa statki A i B wychodzą jednocześnie z potu. Statek A płynie na północ z pędkością 4 węzłów, a statek B płynie z pędkością 8 węzłów w kieunku 40 na zachód od kieunku południowego (1 węzeł jest ówny 1 mili moskiej na godzinę). Jaka jest: a) watość, b) kieunek pędkości statku A względem statku B?