8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Transkrypt

1 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8.. Płaski stan napężenia Tacza układ, ustój ciągły jednoodny, w któym jeden wymia jest znacznie mniejszy od pozostałych, a obciążenie jest ównoległe do płaszczyzny dwóch ównoległych wymiaów. Tacza jest obustonnie wyznaczona pzez dwie płaszczyzny. Spłycenie gubości napężenie w płaszczyźnie postopadłej do obciążenia stycznego jest ówne zeu. Dla konstukcji taczowych tenso napężeń pzedstawia się następująco: =[ ] (8.) Płaski stan napężeń: =[ ] (8.) A związany z nim tenso odkształceń: =[ ] (8.3) Wato zauważyć, że ε 33 pzyjmuje watość niezeową: = E (8.4) W płaskim stanie napężenia możemy założyć występowanie dwóch pzemieszczeń u i u. Pzyjmujemy, że stan napężeń jest wyznaczony dla jednej z płaszczyzn o gubości ównej zeo (płaszczyzna śodkowa). Dla płaskiego stanu napężeń możemy pzyjąć: = (8.5)

2 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI Równania w pzemieszczeniach: u i ' ' i G p = i,gdzie ' =u i ' i i=,, '= ii (8.6) Równania w napężeniach: s'= p k, k,gdzie s' = ii i=, (8.7) Algoytm obliczeń (w płaskim stanie napężenia) w napężeniach: ) x = p k, k (8.8) ) =} ji, j i=, i=, (8.9) 3) = E = E = E = G (8.) Zapis maciezowy - płaski stan napężenia (I stan): 4) ij u i,u j (8.) [ D]= E [ (8.) ] { }=[ D] { } (8.3) { }=[ D]{ } (8.4) [ D] = [ E ] (8.5)

3 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski stan odkształcenia Płaski stan odkształcenia (II stan chaakteystyczny)- występuje wtedy, gdy jeden wymia jest znacznie większy od dwóch pozostałych. Obciążenie działa w płaszczyznach postopadłych do najdłuższego wymiau, np. mu opoowy, tama, gobla. 3 Wówczas zachodzą następujące zależności: Rys.8.. Mu opoowy =[ ],pzy czym u 3= stąd u 3 x 3 = = (8.6) =[ ] (8.7) = E [ ]= (8.8) σ 33 nie jest stałe dla całego pzekoju i wyaża się wzoem: Z ównania ównowagi Naviea = (8.9) 3 3 x 3 3 = (8.) Wiedząc, że 3 =, 3 = oaz p 3 = (8.)

4 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4 wnioskujemy, iż σ 33 jest stałe wzdłuż osi tzeciej: x 3 = (8.) Równanie ównowagi dla płaskiego stanu odkształcenia w pzemieszczeniach: u i ' i G p i= (8.3) oaz w napężeniach: s'= p k, k (8.4) Jeżeli na układ nie działają siły masowe to ównania dla płaskiego stanu napężenia i odkształcenia są identyczne. Algoytm ozwiązania pzedstawia się następująco: ) = p k,k (8.5) ) = = = (8.6) Zmianie ulegają związki fizyczne: 3) = E [ ] = E [ ] = G (8.7) W zapisie maciezowym: E [ D]= (8.8) [ ]

5 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5 [ D] = E [ ] (8.9) 8.3. Dwuwymiaowe zagadnienia teoii spężystości we współzędnych biegunowych Punkt we współzędnych postokątnych ma obaz postokąta: dy y x Rys.8.. Obaz punktu we współzędnych postokątnych a we współzędnych biegunowych jego obazem jest wycinek pieścienia: φ d Rys.8.3. Obaz punktu we współzędnych biegunowych Zależności między współzędnymi w układzie postokątnym i biegunowym są następujące: x=cos y=sin (8.3) Na plasteku o wymiaach d, zaznaczmy występujące napężenia:

6 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6 σ φ + jσ φ jφ t φ + jt φ jφ Φ O' R σ + t φ + jσ j jt φ j d d σ t φ t φ d płaszczyzna ujemna φ σ φ Rys.8.4. Plasteek jako obaz punktu Pzyjmijmy, że plasteek ma gubość =. Dodatnie napężenia skieowane są od płaszczyzny ozciągającej. Jednostkowe siły masowe Φ, R związano z dodatnimi kieunkami osi. Dokonujemy zutowania sił po kieunku R: P R = d d d d dcos d dsin d d d d d Rd d = (8.3) Pomijamy małe wyższego zędu otzymując ównanie: Wyliczmy teaz sumę momentów względem śodka plasteka: R= (8.3) M ' = d d d d d d = (8.33) Równanie to spełnione jest wtedy i tylko wtedy, gdy = (8.34) Jeśli w analogiczny sposób do zutowania sił na kieunek R dokonamy tym azem zutowania na kieunek Φ, otzymamy zależność:

7 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7 P = = (8.35)