Moment pędu w geometrii Schwarzshilda

Transkrypt

1

2 Moent pędu w geoetii Schwazshilda Zasada aksyalnego stazenia się : Doga po jakiej pousza się cząstka swobodna poiędzy dwoa zdazeniai w czasopzestzeni jest taka aby czas ziezony w układzie cząstki był aksyalny. Rozważy cząstkę spadającą niekoniecznie adialnie na obiekt o asie M. M d d τ = 1 dt dϕ M 1 Dla segentu dogi A ay: wyazy nie- od τ A = Aφ + φ zależne gdzie A to śednia watość dla segentu dogi A. 1 / dτ A Aφ Aφ = = 1 / dφ τ A wyazy nie- od Aφ + φ zależne Zdazenia 1 i 3: ustalone,φ,t Zdazenie : ustalone,t znajdujey takie φ zdazenia aby czas własny cząstki wzdłuż całej dogi był aksyalny. M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-

3 Moent pędu w geoetii Schwazschilda Podobnie dla segentu dogi B dostajey: wyazy nie- od τ B = B ( Φ φ ) + φ zależne Całkowity czas ziezony w układzie cząstki:τ=τ A +τ B pzyjuje dla uchu swobodnego watość aksyalną: ( Φ φ) dτ dτ A dτb Aφ = + = + B = dφ dφ dφ τ A τb Wpowadzając oznaczenia: φ=φ A, Φ-φ=φ B dostajey: φ τ A A B B A φ = = const τ B 1 / ( Φ φ) ( Φ φ) τ B = B B 1 / = d dφ wyazy nie- od B φ + φ zależne dφ = const = d τ M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-3 τ B L

4 Ucieczka z okolic czanej dziuy Pzykład: Stycznie do sfey o poieniu = 1M została wystzelona akieta z pędkością v shell =.5. Ile wynoszą oent pędu i enegia satelity? Czy satelita oddali się do nieskończoności? L d Do obliczenia oentu pędu φ = dτ potzebujey czas własny: dt shell = γ dτ, shell L d d dx φ φ = = γ = γ = γ v = M dτ dt dt shell, shell, shell, shell, shell. shell shell E Do obliczenia enegii M dt = potzebujey czas t: 1 dτ 1 / dtshell = = = γ, shell =. τ shell τ E M dt M dt M d dt d Gdyby satelita był wystzelony adialnie na zewnątz wówczas oddaliłby się do nieskończoności gdzie iałby niezeową pędkość. Aby stwiedzić czy satelita wystzelony stycznie do sfey ównież oddali się do nieskończoności usiy zbadać jego obitę w geoetii Schwazschilda. M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-4 dt dt shell = 1 M 1 /

5 Efektywny potencjał w echanice Newtona Chcey opisać obitę cząstki o asie wokół czanej dziuy o asie M. 1 GM Wychodziy z zasady zachowania enegii: E = Ek + E p = v d dϕ d L Pędkość a składowe adialną i styczną: v = + = + dt dt dt Stosując jednostki geoetyczne ay: 1 d E M ( L ) = + dt potencjal efektywny V ( )/ Ogólny ozwiązanie tego ównania jest: d t = + const E V ( ) W szczególności okes dgań w uchu skończony dany jest pzez: T = ( E ) ( E ) 1 d E V ( ) gdzie 1, są ozwiązaniai ównania E=V() M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-5

6 Efektywny potencjał w geoetii Schwazschilda Kozystając z etyki Schwazschilda: M d d τ = 1 dt dϕ M 1 oaz wyażając dt i dϕ za poocą czasu własnego dτ: E M dt E M dt = d 1 = τ dτ 1 L dφ L 1 = dφ = dτ dτ znajdujey: d E M ( L / ) = + dτ 1 1 d E V = dτ M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-6 1

7 Efektywny potencjał w geoetii Schwazschilda Efektywny potencjał Schwazschilda pozwala na większe zbliżenie do czanej dziuy niż to wynika z ozważań klasycznych. Wokół czanej dziuy nie ogą istnieć stabilne obity kołowe o poieniach niejszych niż 6M. M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-7

8 Pecesja peyheliu Mekuego Peyheliu (apheliu) punkt na obicie ciała niebieskiego kążącego wokół Słońca znajdujący się w iejscu największego zbliżenia (oddalenia) tego ciała od Słońca. (W pzypadku obiektów kążących wokół Ziei ówiy o peygeu i apogeu) Mekuy: (peiheliu = k; apheliu = k) wielka oś elipsy obaca się o.159 stopnia (574 ) na stulecie, echanika Newtona (wpływ innych planet) wyjaśnia obót o 531, OTW potzebna do wyjaśnienia pozostałych 43 Planeta Obót peyheliu [ac sec/ok] Ś. poień obity [j.a.] Okes obiegu [lata] Mekuy 4.98 ± Wenus ± Zieia ± Mas ± M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-8

9 Pzybliżenie oscylatoa haonicznego Pzybliżenie: Ruch satelity po obicie eliptycznej taktujey jako złożenie uchu po okęgu o śedni poieniu i dgań haonicznych w kieunku adialny wokół tej śedniej obity kołowej (gdzie pzypada iniu potencjału). V 1 d ( V / ) = ω ω = Częstość kołowa ω w uchu haoniczny: d Pzybliżenie uchu haonicznego w pzypadku dowolnego potencjału polega na ozwinięciu w szeeg Tayloa wokół położenia ównowagi (śednia obita) do wyazów dugiego zędu: ( ) V 1 V V = V ( ) + ( ) + ( ) + = = Częstość kołowa w pzybliżeniu uchu haonicznego dane jest pzez: ω = d ( V / ) d ( V / ) gdzie d d = jest ozwiązanie ówania = = M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-9

10 Ruch Mekuego w pzybliżeniu Newtona Znajdziey częstości kołowe uchu dgającego (w pzybliżeniu haoniczny) i kołowego (po obicie) Mekuego. Częstość ω uchu dgającego: ( L ) ( ) ( L ) 1 d E M V M = + = + dt d ( V / ) M ( L / ) d ( V / ) M d = d = = 3 = ( L / ) d ( V / ) M 3( L / ) d ( V / ) M = + ω = = d d Częstość ω φ uchu kołowego po obicie: L dφ L1 M = = ω φ ω φ = = dτ 3 Ponieważ ω φ = ω więc uch odbywa się po zakniętej elipsie. M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-1 1/ =

11 Obita Mekuego w opisie OTW Chcey zastosować odel Newtona analizy uchu Mekuego do pzypadku elatywistycznego (OTW): Częstość ω uchu dgającego: 1 d 1 E 1 M ( L / ) 1 E U = + = dτ 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) U 1 M L / 1 M L M L = 1 + = d ( U / ) M ( L / ) 3M ( L / ) = d d ( U / ) ( / ) M = L = d 3M = ( / ) 3( / ) 1 ( / ) M ( 6M ) = + ω = d ( 3M ) d U M L M L M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-11 Ganica klasyczna M (śedni poień obity Mekuego = )

12 Pecesja peyheliu Mekuego w OTW Częstość ω φ uchu kołowego po obicie: L dφ ( L / ) M = = ωφ ω φ = = 4 dτ M ( ) 3 Różnica częstości kołowych dana jest w pzybliżeniu pzez: 6M 3M ω ω = ω ω ω ω ω ω ω = ω ( ) φ 3 ( M ) φ φ φ φ φ 3 Lub w jednostkach kątowych: calkowity kąt calkowity kąt calkowity kąt 3M ϕ = zakeslony w fazowy w uchu = zakeslony w uchu obitalny adialny uchu obitalny Dane liczbowe: T T Zieia Mekuy 7 = s 6 = s = ϕ = 41.7 ac sec/stulecie (watość dokładna 4.98 ac sec/stulecie) M. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 9-1