Wykład 10. Reinhard Kulessa 1

Transkrypt

1 Wykład Podstawowe infomacje doświadczalne cd. 14. Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego pzewodnika z pądem Pawo Ampea w postaci óżniczkowej Potencjał wektoowy 14.3 Pola magnetyczne wybanych konfiguacji pzewodników Momenty magnetyczne atomów i jąde 14.4 Siły wynikające z pawa Loentza i Biota-Savata Reinhad Kulessa 1

2 Ziemia posiada ównież własne pole magnetyczne. Bieguny magnetyczne nie pokywają się z biegunami geogaficznymi. Magnetyczne Południe Geogaficzna Północ Ziemskie pole magnetyczne Ziemskie pole magnetyczne Magnetyczna Północ Geogaficzne Południe Reinhad Kulessa

3 Powiedzieliśmy, że pole magnetyczne wytwazane jest ównież pzez wszelkiego odzaju pądy elektyczne. Pole magnetyczne wpływa na pouszające się ładunki elektyczne, działając na nie siłą. Wpowadzone w tabelce na stonie 34 Wykładu 9 natężenie pola magnetycznego jest wielkością, któą uwzględnia się ze względów histoycznych podobnie jak wekto pzesunięcia w elektostatyce. Dugą wielkością chaakteyzującą pole magnetyczne jest wekto indukcji magnetycznej B. B H (14.) Okazało się, że właściwe pole magnetyczne opisane jest pzez wekto indukcji magnetycznej B, a wekto natężenia pola magnetycznego opisuje tą część pola, któa jest wytwazana Reinhad Kulessa 3

4 pzez makoskopowe pądy elektyczne o natężeniu, dipoli atomowych i pądów okężnych ośodka mateialnego. Jednostkami natężenia pola magnetycznego H, oaz indukcji magnetycznej B w układzie S są odpowiednio: [ ] 1 A m [ ] B 1 Tesla 1T V s m H W podanym kształcie ównanie (14.) oganicza się do póżni. Będziemy ównież ozważali zachowanie się tych pól w obecności mateii. Wóćmy w tej chwili do doświadczalnej ewidencji siły, któą pole indukcji magnetycznej wywiea na pouszające się ładunki. Reinhad Kulessa 4

5 Znane są następujące fakty doświadczalne dotyczące Oddziaływania pola indukcji magnetycznej na pouszające się elektony: a). Pouszające się elektony są odchylane, b). Działająca na ładunki siła F jest do kieunku wskazywanego pzez igłę magnetyczną, czyli do kieunku wektoa B, c). Siła F do pędkości ładunku v, d). Siła F v, e). Watość siły F q. Wszystkie te wyniki doświadczalne zebał Hendik Loentz( ) definiując siłę nazwaną obecnie siłą Loentza F q( v B) k (14.3) W układzie S stała popocjonalności (k * 1). Reinhad Kulessa 5

6 Równanie (14.3) jest ównocześnie definicją wektoa indukcji magnetycznej B pzez znane wielkości, siłę F, ładunek q, oaz pędkość v. W ogólnym pzypadku na cząstkę o ładunku q pouszającą się w jakimś układzie współzędnych działa siła: F qe + q( v B) (14.4) Zauważając, że pzewodnik z pądem zawiea pouszające się ładunki, możemy ozszezyć pawo Loentza (14.3) dl B df dq( v B) dq v dq dt v dt dl Reinhad Kulessa 6

7 Otzymujemy wyażenie na siłę działającą na element pzewodu dl, pzez któy płynie pąd. Jest to siła Biota Savata. df ( dl B) (14.5) Analogicznie do stumienia pola elektycznego możemy zdefiniować stumień wektoa indukcji magnetycznej. da B Φ B B A da (14.6) Ze względu na to, że linie pola indukcji magnetycznej są zamknięte zgodnie z pawem Gaussa zachodzi: Reinhad Kulessa 7

8 A B da (14.7) Rezultat ten jest niezależny od tego, czy powiezchnia A zawiea pzewodniki, izolatoy, ładunki, natężenia pądu, czy magnesy. Powiezchnia A z y S N x B Ponieważ nie istnieją monopole magnetyczne, stumień pola indukcji magnetycznej pzez powiezchnie A musi być ówny zeo. Reinhad Kulessa 8

9 W opaciu o twiedzenie Ostogadzkiego-Gaussa możemy napisać; A B da τ div B dτ (14.8) Równanie to jest spełnione dla każdej objętości τ, a więc ównież dla objętości dτ. Otzymujemy więc; div B (14.9) Równanie (14.9) opisuje fundamentalną własność pola indukcji magnetycznej. Jest to pole bezźódłowe. Linie pola B nie mają ani początku ani końca. Twozą one więc wiy. Dla natężenia pola elektycznego zgodnie z ównaniem (5.7) div E ρ ε Reinhad Kulessa 9

10 Równanie (14.9) mówi nam, że nie ma ozdzielonych ładunków magnetycznych. Z bezźódłowości pola indukcji magnetycznej, któą inaczej nazywamy solenoidalnością wynika, że pole to chaakteyzuje się pewnym potencjałem wektoowym A. Zakładamy, że potencjał ten też jest bezźódłowy, oaz że znika w nieskończoności. Definiujemy go następującym wzoem. B ot A (14.1) Zgodnie z twiedzeniem Stokes a możemy zdefiniować stumień indukcji pola magnetycznego jako kążenie(cykulację) potencjału wektoowego A. Φ B da ot Α da Α dl B (14.11) A A Reinhad Kulessa 1 Γ

11 14. Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego Rozważmy element pzewodnika o długości dl, pzekoju A, w któym płynie pąd, któego nośniki o ładunku q i o liczbie N w jednostce objętości, mają śednią pędkość v. Gęstość pądu jnqv, a natężenie pądu ma watość Aj. Zakładamy, że ładunki pouszają się ównolegle do pzewodnika. P dl θ A Jeśli w pzewodniku znajduje się n nośników,to wytwazają one pole Reinhad Kulessa 11

12 db n q 4π v 4π ( nqv ) Wiemy, że n N dτ N A dl,wobec tego n qv N Adl q v ( Nqv) A dl j Adl Ponieważ zachodzi, że nqvdl, stąd; dl db 4π dl (14.1) Jest to pawo Biota-Savata. Reinhad Kulessa 1

13 14..1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego pzewodnika z pądem. dl ϕ /sinϕ P Chcemy znaleźć pole indukcji w punkcie P oddalonym o od pzewodnika. dl db 3 4 π Pzyjmując, że pzewodnik leży na osi x, mamy x/ ctg ϕ dx dl - /sin ϕ dϕ /sinϕ x Reinhad Kulessa 13

14 Reinhad Kulessa 14 Po podstawieniach otzymamy: ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ π ϕ π d d dl db sin 1 4 sin sin 1 4 sin Wekto indukcji w odległości od pzewodnika wynosi więc: 4 ) sin ( 4 ) ( d B o π ϕ ϕ π π

15 Policzyliśmy watość wektoa indukcji. Jaki zaś będzie jego kieunek? Musi on być postopadły zaówno do dl jak i. Ze względu na symetię cylindyczną i fakt, że div B, (muszą to być zamknięte linie), jedyną możliwością są koncentyczne okęgi wokół pzewodnika. Stosuje się śuby egułę pawej tak jak na ysunku powyżej. B( ) Γ dγ 1. Policzmy cykulację wektoa B po podanym okęgu. B dγ B( ) π Γ Reinhad Kulessa 15

16 Wynik ten nie zależy od watości. Watość indukcji B( ) jest więc ówna: B( ) π 4π.. Policzmy cykulację dla dowolnej kzywej pzestzennej. Rozkładamy element kzywej dγ. na składowe db, dz i d. Do cykulacji pzyczynek będzie pochodził tylko od elementu db, gdyż dz i d są d postopadłe do B. Położenie pętli nie odgywa więc żadnej oli. B dγ Γ dz db dγ Reinhad Kulessa 16 Γ

17 Pętla Γ może obejmować wiele pzepływających pądów. Zawsze wtedy jest słuszny wzó: 1 3 ν B d Γ N Γ ν 1 wewn ν (14.11) Γ Wzó (14.11) pzedstawia pawo Ampea. Z pawa Ampea wynika, że pądy poza pętlą nie dają żadnego pzyczynku do liczonej cykulacji. Należy ównież pzyjąć negatywną watość dla pądu N, pamiętając o stosowaniu eguły pawej śuby. N Reinhad Kulessa 17

18 Poniżej pzedstawione są dwa pzykłady dla innych konfiguacji pzewodników. 1 Γ Γ n B dγ ( ( + ) B dγ n 1 Γ Γ Reinhad Kulessa 18

19 14.. Pawo Ampea w postaci óżniczkowej Zdefiniujmy sobie dowolne pole wektoów gęstości pądu j(). Rozważmy pewną powiezchnię A oganiczoną pętlą Γ. Należy pzy tym zaznaczyć, że dla pętli Γ istnieje dowolnie wiele powiezchni A. Obliczając natężenie pądu pzepływającego pzez tą powiezchnię, Γ A mamy: j() Γ B dγ j da A dγ da Stosując znane nam pawo Stokes a, możemy całkę kzywoliniową zamienić na całkę powiezchniową. Reinhad Kulessa 19

20 B dγ otb da j da Γ A A Równanie to jest słuszne dla każdej powiezchni epezentowanej pzez wekto da, pzez któą pzepływa wekto gęstości pądu j. Jest więc ównież słuszna dla samej powiezchni da. Możemy więc napisać: ot B j (14.1) Sfomułowaliśmy pawo Ampea w postaci óżniczkowej dla wektoa indukcji magnetycznej B. W ównaniu (14.1) wekto gęstości pądu j może być wywołany pzez każdy odzaj pouszającego się ładunku, gdyż każdy odzaj pądu powoduje powstanie pola magnetycznego. Reinhad Kulessa

21 j j + j + j. pzew molek pol Pzy czym j pzew σ E, j molek pochodzi od uchu elektonów w atomach, a j pol ma swoje źódło w pzesunięciu ładunku w dielektykach na wskutek włączenia pola E. Widzimy tu wyaźnie, że zachodzi koelacja pomiędzy wektoami E i B. Równanie (14.1) mówi ównież, że pole B nie może być pochodną skalanego potencjału U, gdyż ot(gadu). Nie jest więc ono polem zachowawczym. Reinhad Kulessa 1

22 14..3 Potencjał wektoowy Wpowadźmy zdefiniowany w ównaniu (14.1) potencjał wektoowy do pawa Ampea. otb ot( ota) j o Pamiętamy, że ot( ot A) gad div A div gad A( A ) Wekto A jest wektoem solenoidalnym, wobec tego div A. Z dwóch ostatnich ównań otzymujemy więc: A j (14.13) Reinhad Kulessa

23 Każda składowa tego ównania jest odpowiednikiem ównania Poissona dla potencjału skalanego, któe miało ozwiązanie (5.1). V 1 ρ ( ξ ) dτ ( ) 4πε ξ τ Analogicznego ozwiązania powinniśmy poszukać dla potencjału wektoowego. Dla potencjału wektoowego otzymamy; 4π τ j dτ ξ A (14.14) Potencjał wektoowy A możemy wykozystywać zamiast indukcji magnetycznej B, gdyż A ma kieunek pądu. Równanie to możemy też podać dla pądów powiezchniowych, liniowych i pojedynczych ładunków. Reinhad Kulessa 3

24 14.3 Pola magnetyczne wybanych konfiguacji pzewodników W zależności od geometii pzewodnika do wyznaczania wektoa indukcji stosujemy pawo Ampea lub Biota- Savata. Rozważmy kilka takich konfiguacji. A). Długa cewka o małej śednicy (d<l). Γ d n zwoi Całka po kontuze Γ Bl N. Więc B N l Reinhad Kulessa 4

25 B). Cewka tooidalna d Γ Γ B d Γ N Γ B π N Γ B N π Γ ' Na zewnątz zwoi tooidu B, bo Bd ' '' Γ Bd Γ Γ '' Reinhad Kulessa 5

26 C). Pole pętli kołowej ds a dϕ a dϕ z θ db z db Zauważmy, że zielony tójkąt jest postopadły do pętli kołowej a +z Zgodnie z pawem Biota-Savata db ds. oaz db. Element pądu (ds, ) wytwaza pole db. db ds a dϕ 4π 4π z + a Reinhad Kulessa 6

27 Reinhad Kulessa 7,cos cos a z a a db db z + θ θ Po podstawieniu tych watości i całkowaniu po całej pętli mamy: π π ϕ π π ) ( 4 ) ( 4 3 / 3 / + + a z a a z d a B z Możemy teaz ozważyć pzypadki ganiczne. a a B z z 4 π π 3 4 z a B a z z π π >>

28 Widzimy więc, że w tym pzypadku B z ~1/z 3. Otzymaliśmy więc taka samą zależność jak w pzypadku elektycznego momentu dipolowego. Wyażenie na B z dla z >> a możemy ównież napisać następująco: 1 Bz p 3 M, 4π z gdzie p M S (14.15) p M definiuje nam dipolowy moment magnetyczny pętli z pądem. S jest wektoem okeślającym powiezchnię pętli z pądem. S Reinhad Kulessa 8

29 Momenty magnetyczne atomów i jąde Rozważmy atom wodou, w któym wokół dodatnio naładowanego potonu kąży elekton o masie m e. L v + p M z Pąd któy płynie jest ówny: ev, π a moment magnetyczny elektonu wynosi: p ev 1 π M π ev Reinhad Kulessa 9

30 Kążący po obicie elekton posiada moment pędu ówny: L m v e Możemy więc magnetyczny moment dipolowy napisać jako: p M gl (14.16) g -e/m e nosi nazwę czynnika giomagnetycznego i wynosi g C kg -1. Jeśli policzymy w opaciu o wzó (14.16) moment magnetyczny wodou w stanie podstawowym zdefiniujemy magneton Boha B ( ±.36) 1-4 A m. Jąda atomowe, któe składają się z neutonów i potonów, ównież posiadają momenty magnetyczne, któych jednostką jest magneton jądowy. J (5.584 ±.) 1-7 A m. Reinhad Kulessa 3

31 14.4 Siły wynikające z pawa Loentza i Biota-Savata A). Ładunek w jednoodnym polu indukcji magnetycznej cykloton. Zakładamy, że B v, oaz że ładunek pousza się w póżni. B Nie ma więc zdezeń wpływających na uch ładunku. F L F o v Siła Loentza F L qvb. Siła ta jest postopadła do pędkości, więc nie wykonuje pacy. Oznacza To, że d F L v (1/ mv ) v dt Jedyny to po któym może się pouszać ładunek pzy stałej sile postopadłej do pędkości jest okąg. const Reinhad Kulessa 31

32 Pomień tego okęgu znajdziemy z waunku ównowagi sił, siły Loentza z siłą odśodkową. qvb mv mv (14.17) qb Pomień ten dla stałego B i ładunku q zależy tylko od pędu cząstki. Wyażenie B nazywamy sztywnością magnetyczną. Częstość obiegu obity zwana częstością cyklotonową jest ówna: qb ω (14.18) v Częstość obiegu nie zależy od tak długo, jak długo pomień nie zmienia się elatywistyczna masa. m Reinhad Kulessa 3

33 B). Efekt Halla Załóżmy, że mamy cienką (małe b) płytkę pzewodzącą w polu indukcji magnetycznej, tak jak na poniższym ysunku. b z V H a v D F L e B Elektony pzewodnictwa, któe pouszają się ze śednią pędkością dyfu v D, są odchylane w kieunku z. Reinhad Kulessa 33

34 Waz z upływającym czasem wzasta óżnica potencjałów pomiędzy góną a dolną częścią pzewodnika. Pojawia się więc siła wynikająca z tej óżnicy potencjałów. Jest ona skieowana pzeciwnie do siły Loentza. Wyównanie się tych dwóch sił powadzi do stanu ównowagi. ev D B F L F E V e a Z teoii pzewodnictwa elekonowego pamiętamy, że v D j ne ne a b Otzymujemy więc na óżnicę potencjałów geneowaną w efekcie Halla V H B 1 (14.19) ne b H Reinhad Kulessa 34

35 C). Siła działająca pomiędzy ównoległymi pzewodnikami F F W miejscu, gdzie znajduje się pzewodnik watość indukcji magnetycznej jest ówna B( ) 4π 1 1 F F df dl B( ) Reinhad Kulessa 35

36 Poniżej mamy pzedstawiony widok linii indukcji wokół pzewodników. 1 x F F Rysunki:D. Kaspzak@auckland.ac.nz Silne pole B 1 F F Słabe pole B Reinhad Kulessa 36

37 Siła działająca na element długości pzewodnika wynosi zgodnie z pawem Faaday a: df 1 dl B dl. 4π Siła działająca na jednostkę długości pzewodnika wynosi; F 4π ' df 1 (14.19) dl Na podstawie ównania (14.19) stwiedzamy, że gdy w obydwu pzewodnikach odległych od siebie o 1 m płynie pąd o natężeniu 1A, działa pomiędzy nimi siła 1-7 N/m Reinhad Kulessa 37

38 D). Moment obotowy pętli z pądem F + a 1/b M D. b sinϕ B + Umieszczamy amkę z pądem o natężeniu w polu indukcji magnetycznej skieowanej F - postopadle do pokazanej oś osi amki. Na odcinki ównoległe do osi amki działa siła Loentza. Dwie działające siły twozą paę sił z momentem obotowym M D. Reinhad Kulessa 38 A ϕ B

39 Siła działa na odcinki amki ównoległe do osi obotu i jest ona ówna: F a B ±. Moment obotowy M D staa się ustawić powiezchnię amki A ównolegle do wektoa indukcji magnetycznej B. M F b ab ϕ B ( ± ) D sinϕ sin loczyn ab sin ϕ B można pzedstawić jako A B. Ponieważ M D A i B możemy napisać: M D A B p B (14.) Równanie to jest słuszne dla każdej pętli, gdyż zawsze możemy ją ozłożyć na odcinki postopadłe i ównoległe do osi obotu. M Reinhad Kulessa 39

40 Ostatni pzykład ma badzo szeokie zastosowania m.in. w pzyządach pomiaowych z uchomą szpulą, silnikach pądu stałego, oaz pzy magnetyzowaniu mateii. Oddziaływanie pomiędzy pouszającymi się ładunkami a wektoem indukcji magnetycznej ma ównież zastosowanie w tzw. Kole Balow a oaz w pompach elektomagnetycznych. Reinhad Kulessa 4