Lista zadań nr 1 - Wektory

Transkrypt

1 Lista zadań n 1 - Wektoy Zad. 1 Dane są dwa wektoy: a = 3i + 4 j + 5k, b = i + k. Obliczyć: a) długość każdego wektoa, b) iloczyn skalany a b, c) kąt zawaty między wektoami,, d) iloczyn wektoowy a b e) pzedstawić gaficznie działanie a + boaz a b. Zad. 2 Znaleźć wekto jednostkowy nˆ, któy jest postopadły jednocześnie do wektoa a = (3, 6, 8) i do osi OX. Zad. 3 Wektoy a i b spełniają elacje: a+b=11 î ĵ+5k; a-3b=-5 î +11ĵ+5k. Wyznaczyć wektoy a oaz b. Czy wektoy te są do siebie postopadłe? 1

2 Lista zadań n 2 - Statyka Składanie pędkości (pędkość śednia, pędkość względna) Zad. 4 Biegacz pzebiegł połowę tasy z pędkością biegł cały czas ze stałą pędkością v = 12 km h, to czas potzebny na pzebycie całej tasy nie zmieniłby się. Oblicz watość pędkości v 2. v 1 = 18km h, a dugą połowę z inną pędkością v 2. Gdyby Zad.5 Pędkość łódki względem wody wynosi v. Jak należy skieować łódź, aby pzepłynąć zekę w kieunku postopadłym do bzegu? Woda w zece płynie z pędkością u. Siła wypadkowa działająca na układ Rysunek 1 Rysunek 2 Rysunek 3 Zad.6 (Rysunek 1) Działająca pionowo siła eakcji podłoża pochodząca od nacisku stopy biegacza wynosi 2000 N. Siła tacia wynosi 600 N. Jaka jest siła wypadkowa działająca na stopę biegacza? Zad 7. (Rysunek 2) Lina, na któej wisi alpinista o masie m =80 kg została pzymocowana: (a) do pojedynczego punktu asekuacyjnego, (b) do dwóch symetycznie ozstawionych punktów twoząc kąt α ( jak na ysunku). Jaka siła działa na każdy z punktów w obu pzypadkach? 2

3 Zad 8. Jakie będzie wskazanie ciężau człowieka stojącego na wadze wewnątz windy, gdy jego masa wynosi m=80kg, gdy winda pousza się: (a) w góę z pzyspieszeniem a, (b) z dół z pzyspieszeniem a, (c) pouszając się zaczyna hamować z opóźnieniem a, (d) pousza się w dół z pzyspieszeniem a = g. Zad 9. Balon o masie M opada w dół z pędkością v. Jaką masę balastu należy z niego wyzucić, aby zaczął się on wznosić z tą samą pędkością? Na balon działa siła wypou powietza W. Wskazówka: na balon działa siła ciężkości, siła wypou powietza i siła opou ośodka popocjonalna do pędkości. Zad.10* Samolot wznosi się ze stałą pędkością V pzy stały koncie α. Samolot jest śledzony pzez wieżą kontolną umieszczoną w punkcie A (Rysunek 3). Wyznacz pędkość adialną V R oaz pędkość kątową V q w funkcji kąta śledzenia Θ. 3

4 Lista zadań n 3 - Dynamika (a) Dynamika punktu (siła stała ma=f= =const.) Zad. 11 Policzyć, jaką dogę s pzebędzie ciało o masie m pouszające się po powiezchni gładkiej (bak tacia), gdy pousza się ono z pzyspieszeniem (a) a = 10m/s 2,(b) a=0 po t=10s. Zad.12 Mając statyczną linę o długości l=60 m jak spawdzić czy wystaczy nam ona do bezpiecznego opuszczenia się na dno studni? Czy założony punkt asekuacyjny o wytzymałości 6 kn wytzyma, gdy jednocześnie na linie znajdzie się czteech speleologów? Zad. 13 Ciało zucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu pędkość początkową v 0 = 5m/ /s. Ciało udezyło o ziemię z pędkością v k = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało zucone? Ile sekund twał uch ciała? Jaką pędkość v 1 miało to ciało w chwili, gdy pzebyło dogę s 1 = H/6? Zad.14 Kula pistoletowa wystzelona poziomo pzebiła dwie pionowo ustawione katki papieu, umieszczone w odległościach l = 20 1 m i l = 30 2 m od wynosi h = 5 cm. Oblicz pędkość początkową kuli. pistoletu. Różnica wysokości, na jakich znajdują się otwoy w katkach 4

5 Zad.15. Rowezysta (waz z oweem) o masie m = 80 kg w punkcie wybicia ze skoczni o kącie α = 45 o względem powiezchni ziemi skapy położonej na wysokości H od powiezchni wody osiągnął pędkość początkową V o = 30 km/h. Oblicz: - czas lotu owezysty do chwili kontaktu z wodą - jego maksymalny zasięg, - maksymalną wysokość, na jakiej ciało się znajdzie podczas lotu, - pędkość końcową, -oaz wyznacz to uchu obiektu. Zad 16. Ciało o masie m =80kg zsuwa się po pochylni o nachyleniu α = 45 o. Policz siłę nacisku ciała na powiezchnię ówni oaz jego pzyspieszenie. Zad 17. Ciało o masie m =80kg zsuwa się po pochylni o nachyleniu α = 45 o oaz współczynniku tacia pomiędzy ównią, a ciałem wynosi k = 0.5. Dodatkowo pzeciwnie do kieunku uchu wieje wiat działają na ciało siłą F = 2kN. Policz siłę nacisku ciała na powiezchnię ówni oaz jego pzyspieszenie. Zad 18. Na nieważkim bloczku zawieszone są za pomocą liny dwie masy m 1 i m 2. Po ich puszczeniu zaczynają się pouszać z pzyspieszeniem a ślizgając się powiezchni bloku, któy nie obaca się. Oblicz to pzyspieszenie. Znajdź napężenie liny. [Jest to tak zwana maszyna Atwooda]. Zad 19. Jaka będzie watość siły P potzebna na wciągnięcie ciała o ciężaze W = 1 kn w pzedstawionych na ysunku poniżej pzypadkach. Założyć bak tacia na bloczkach. (b) Dynamika punktu (siła zależna od czasu ma=f(t)) Zad. 21 Na cząstkę o masie m działa siła zależna od czasu opisana w następujący sposób: 5

6 F = t 2 î + t ĵ Policz minimalną dogę, jaką pokona cząstka po czasie t=10 s pzyjmując układ współzędnych (x, y, z, t) w miejscu ozpoczęcia się uchu oaz pzedstaw to uchu cząstki. Zad.22 Na cząstkę o masie m=1kg działa siła zależna od czasu opisana w następujący sposób: F = sin(t) t 2 î + e t ĵ. Policz, jaka będzie pędkość cząstki po 10 s, gdy waunki początkowe dla tego zagadnienia są następujące: R o (t=0)=(2, 3, 5) [m] oaz V o (t=0)= (10, 20, 30) [km/h]. UWAGA: Całkowanie pzez części Zad. 23. Na cząstkę o masie m działa siła zależna od czasu opisana w następujący sposób: F = (t 2, t, cos(t)) Jak zależeć od czasu będzie wekto wodzący tej cząstki. Zad. 24. Punkt mateialny pousza się w płaszczyźnie xy, pzy czym jego uch opisany jest ównania x = at y=btct 2, gdzie a=50cm/s, b=200cm/s, c=25cm/s2. Znaleźć po upływie czasu t=3s: a) watość pędkości i pzyśpieszenia punktu; b) kąt między wektoami pędkości i pzyśpieszenia. Zad. 25. Ciało o masie m w chwili t=0 znajduje się w punkcie x 0 = 0 i ma pędkość V 0 = 0. W chwili t=0 zaczyna działać na nie siła zależna od czasu: F(t) = Asin(ωt). Znaleźć uch ciała. UWAGA: Całkowanie funkcji złożonej Zad. 26. Ruch można pzybliżyć ównaniami paametycznymi: x(t) = cos(bt 2 ) y(t) = Asin(Bt 2 ), gdzie A oaz B to stałe paamety. Znajdź ównania uchu dla tego zagadnienia (V(t), a(t), F(t)). Zad. 27. Ruch można pzybliżyć ównaniami paametycznymi: x(t)=v o t cos(α) ; y(t)=v o t sin(α)-g t 2 /2 Wyznaczyć współzędne wektoa pędkości oaz pzyspieszenia styczne i nomalne w dowolnej chwili czasu. Zad. 28. Ruch punktu mateialnego w biegunowym układzie odniesienia opisują ównania: R=bt, φ =c/t, gdzie c=const. Znajdź to uchu, pędkość i pzyspieszenie punktu, jako funkcję czasu. (c) Dynamika punktu (siła zależna od pędkości ma=f(v)) Zad. 29 Na samochód o masie m działa siła hamująca uch, popocjonalna do pędkości F=-kV, gdzie k jest stałą. Znajdź: (a) zależność pędkości ciała od czasu, (b) jaką dogę pzebędzie ciało do chwili zatzymania się. Pędkość początkowa ciała V 0. 6

7 Zad.30 Na samochód o masie m działa siła hamująca F=-kV 3, gdzie k jest stałą. Znajdź: (a) zależność pędkości ciała od czasu, (b) jaką dogę pzebędzie ciało do chwili zatzymania się. Pędkość początkowa ciała V 0. Zad 31. Kulka z pistoletu o masie m została wystzelona z kaabinu pionowo w dół z wysokości H nad poziomem basenu z pędkością V 0. Jaką będzie miała pędkość po 2s od zanuzenia w wodzie, pzy założeniu, że działa na nią siła opou ośodka popocjonalna do jej pędkości. Zad.32*. Znaleźć ównania uchu oaz ównania tou cząstki o masie m oaz ładunku elektycznym q pouszającej się w stałym jednoodnym polu magnetycznym o indukcji B. Siła jaka działa na taką cząstkę wyaża się następującym wzoem: F = qv x B. Dane początkowe V 0 0, R 0 =0. Zaniedbać działanie na cząstkę siły gawitacji. UWAGA: pomocne może być skozystanie z właściwości liczb zespolonych oaz wzoów Eulea cos, 1 Re(z)=a (część zeczywista liczby z) Im(z)=b (część uojona liczby z) Wzoy Eulea Zad.33*. Skoczek pzy wejściu w póg miał pędkość V 01. Podczas lotu działają na niego dodatkowo zależna od pędkości siła opou powietza F 0 = -kv 3 skieowana pzeciwnie do jego pędkości oaz stała siła wiatu F W. Wyznacz zależność pędkości lotu skoczka od czasu oaz zasięg jego skoku. Jakie paamety znacząco okeślają ten zasięg? UWAGA: Całkowanie pzez podstawienie dy dt = f ( by + c) podstawić u = by + c a następnie 7