WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOSCI KRĄŻKA

Transkrypt

1 Ćwiczenie -7 WYZNACZANE OENTU BEZWŁADNOSC KRĄŻKA. Cel ćwiczenia: zapoznanie się z teoią momentu bezwładności. Wyznaczenie momentu bezwładności były względem osi obotu z siłą tacia i bez tej siły, wyznaczenie momentu sił tacia. : Pzyządy: kążek metalowy stanowiący badaną byłę sztywną, dwa ciężaki w kształcie walca (mały i duży), miaka centymetowa umieszczona na statywie, waga laboatoyjna, suwmiaka, stope.. Liteatua:. J. L. Kacpeski, Pacownia fizyczna.. A. Piekaa ecanika ogólna oz.v Dynamika były sztywnej. 3. nstukcja pacowniana 4, Wyznaczanie momentu bezwładności były metodą dgań skętnyc. V. Wpowadzenie Byłą sztywną nazywamy ciało, w któym odległość między dwoma dowolnie wybanymi punktami jest stała i nie zmienia się pod wpływem pzyłożonyc do niego sił zewnętznyc, jeśli tylko nie są one zbyt wielkie. Była sztywna jest szczególnym układem punktów mateialnyc, w któym odległości między punktami są stałe. omentem bezwładności były względem jakiejś dowolnej osi O nazywamy sumę iloczynów mas m małyc elementów objętości były pzez kwadaty ic odległości od tej osi: = m () i i i Gdy element masy m jest nieskończenie mały, czyli m dm, to wówczas moment bezwładności jest ówny = dm (a) m Wykozystując wzó (a) możemy obliczać momenty bezwładności był o postym, egulanym kształcie geometycznym, obacającyc się względem osi wyóżnionej pzez symetię były. Wielkość momentu bezwładności danej były jest zależna od tego, wokół jakiej osi następuje jej obót. oment bezwładności były złożonej z kilku elementów jest ówny sumie momentów bezwładności tyc elementów były względem tej samej osi, co wynika z definicji momentu bezwładności (np. moment bezwładności antli, któa składa się z dwóc kul o ównyc masac połączonyc pętem względem osi pzecodzącej pzez śodek pęta wynosi c = k + p, gdzie k, p są odpowiednio momentem bezwładności kuli i momentem bezwładności łączącego je pęta względem tej osi). oment bezwładności względem dowolnej osi wyznacza się często kozystając z twiedzenia Steinea, któe bzmi: oment bezwładności były względem dowolnej osi O jest ówny sumie momentu bezwładności o względem osi O pzecodzącej pzez śodek masy były i ównoległej do osi O oaz iloczynu masy m były i kwadatu odległości a między osiami:

2 Ćwiczenie -7 = o + m a () a Rys. Była o masie m posiadająca oś O pzecodzącą pzez śodek masy i dowolna oś O. O O W pzypadku nietypowego kształtu były obliczenie momentu bezwładności związane jest z kłopotliwymi obliczeniami. W takic pzypadkac moment bezwładności wyznacza się doświadczalnie wykozystując własności dgań skętnyc. W dynamice ucu obotowego posługujemy się pojęciem momentu siły. omentem siły F względem punktu O nazywamy iloczyn wektoowy pomienia wodzącego oaz siły F. Pomień ma początek w punkcie O a koniec w punkcie pzyłożenia siły: = F (3) Jego kieunek jest postopadły do płaszczyzny wyznaczonej pzez wekto F i pomień wodzący a watość jest ówna: = F sinα, gdzie α jest kątem między wektoami i F. oment siły względem osi obotu (w pzypadku ucu obotowego) jest ówny iloczynowi wektoowemu pomienia wodzącego epezentującego odległość punktu pzyłożenia siły od osi obotu i siły pzyłożonej. V. Pomia momentu siły tacia Byłą badaną w doświadczeniu jest kążek metalowy, któego kontuy scematycznie pokazuje ys.3. Na kążek może nawijać (odwijać) się sznuek z zawieszoną na końcu masą m. Pzypuśćmy, że opadanie masy m ozpoczęło się na wysokości (wysokość miezona jest względem wybanego poziomu o, któym może być położenie masy m w pzypadku całkowitego odwinięcia nici). Całkowita początkowa enegia układu w momencie ozpoczęcia ucu jest ówna enegii potencjalnej: E pocz. = mg (4) gdzie = o Podczas opadania badanej masy enegia potencjalna maleje, a ośnie enegia kinetyczna układu złożonego z ciężaka i kążka. Po odwinięciu nici enegia potencjalna osiąga watość 0, a enegia kinetyczna, związana z ucem postępowym opadającej masy i ucem obotowym kążka ma watość maksymalną: mv ω Ekońc = + (5) mv ω gdzie = E m jest enegią kinetyczną ucu postępowego masy m a = Ek enegią kinetyczną ucu obotowego kążka. O F Rys. oment siły ilustacja iloczynu wektoowego α = F.

3 Ćwiczenie -7 oś o Rys.3 Scemat układu do pomiau momentu bezwładności były z uwzględnieniem tacia ϕ Enegie E pocz i E konc (początkowa i końcowa) byłyby sobie ówne, gdyby nie tacie, powodujące zużycie części enegii mecanicznej na ogzanie kążka, nici, powietza itp. Pzy dalszej analizie zaniedbamy opó powietza, tacie nici o kążek, a także ogzewanie nici pzy ozciąganiu, uważając ją za nieważką i nieozciągliwą i oganiczymy się do ozpatzenia tacia kążka o oś. Kolejnym uposzczeniem będzie pzyjęcie założenia, że moment sił tacia nie zależy od pędkości. Z zasady zacowania enegii i pacy wynika wówczas ównanie: mv ω mg= + + ϕ (6) gdzie ϕ jest pacą wykonaną pzez kążek pzeciwko siłom tacia, ϕ oznacza całkowity kąt, o jaki obócił się kążek podczas pzebywania pzez masę m dogi. Oczywiście ϕ = πn, gdzie n oznacza liczbę obotów kążka. Podobnie oczywisty jest związek: = πn = (7) Po osiągnięciu pzez masę m najniższego poziomu, ole ulegają niejako odwóceniu i teaz kążek wykonuje pacę, pokonując tacie i podnosząc masę m aż do wysokości <. Ułóżmy znowu bilans enegii, pamiętając o tym, że dotycczasowy stan końcowy stał się teaz stanem początkowym. Enegia masy m nie ulega zmianie (zmienił się tylko zwot pędkości): mv ω + = mg+ ϕ (8) Pomiędzy wysokością i całkowitym kątem obotu ϕ istnieje związek analogiczny do (7): = ϕ (9) Wykozystanie ównań (6) (9) pozwala na wyznaczenie momentu sił tacia: = mg (0) + V. Pomia momentu bezwładności kążka V. Pomia momentu bezwładności kążka z uwzględnieniem siły tacia W celu wyznaczenia momentu bezwładności były ozpatzmy ównanie ucu masy m (ys. 4): m a = P N = mg N () gdzie a jest pzyspieszeniem masy m, ównym pzyspieszeniu liniowemu punktu styczności nici i walca, N jest siłą z jaką nić działa na pouszającą się masę. asa m napina nić siłą N (napężenie nici) i mamy N = N (z zasady Newtona). Napężenie nici wynosi więc: N= mg ma= m(g a) (a) Pzyspieszenie liniowe a związane jest z pzyspieszeniem kątowym ε znaną zależnością: a =ε () 3

4 Ćwiczenie -7 W punkcie styczności walca z nicią pzyłożona jest siła N, któej moment jest ówny N. Pamiętając, że opócz tego momentu, działa jeszcze moment sił tacia, możemy zapisać ównanie ucu kążka w postaci: a T N N P= mg Z tego ównania można znaleźć moment bezwładności: ε = N (3) [ m(g a) ] N = = (4) ε a Pzyspieszenie liniowe a znajdujemy mieząc czas, w któym masa m pzebywa ucem jednostajne pzyspieszonym dogę : at = a= t (5) Z ównań (0), (4) i (5) znajdujemy końcowe wyażenie na moment bezwładności: Rys.4 Siły występujące podczas ucu układu kążek masa. gt = m + (6) V. Pomia momentu bezwładności kążka metodą oscylacji Zaniedbanie sił tacia pozwala na obliczenie momentu bezwładności altenatywną metodą, obciążoną jednak błędem systematycznym. Tym azem masa m umieszczona jest na obwodzie badanego kążka (ys.5 ). Powoduje to pojawienie się położenia ównowagi twałej. Wycylenie kążka o mały kąt ϕ z położenia ównowagi zapoczątkuje dgania opisywane ównaniem: oś kążka D R d ϕ ( + ) = mgr sinϕ mgrϕ (7) dt m b Rys.5 Scemat układu do pomiau momentu bezwładności były z pominięciem tacia Jeżeli ównanie (7) zapiszemy w ównoważnej postaci: oznacza tutaj moment bezwładności dodatkowej masy m, miezony względem osi obotu kążka, R jest odległością osi obotu kążka od osi zamocowania dodatkowej masy m. Wykozystując zasadę Steinea można obliczyć moment bezwładności (dodatkowa masa ma fomę walca o pomieniu ): m = + mr = m + R (8) d ϕ mgr + ϕ= 0 dt + (9) 4

5 Ćwiczenie -7 to można w nim łatwo ozpoznać ównanie ucu amonicznego o częstości kołowej: π mgr ω = = (0) T + Wykozystując wzó (8), znajdujemy moment bezwładności kążka: V. Pomiay a) Piewsza część ćwiczenia. mgrt grt = = m R () 4π 4π. Wyznaczyć masę odważnika m (mniejszy walec).. Wyznaczyć pomień walca, na któy nawija się nić, mieząc jego śednicę d. 3. Okeślić poziom o i poziom. Ustalić odległość = o (maksymalny pzyost długości odwiniętej nici miezony od momentu ozpoczęcia opadania masy m). 4. Zmiezyć kilkakotnie odległość ( = o ) i wyznaczyć watość śednią. 5. Zmiezyć kilkakotnie czas t opadania masy m z wysokości i wyznaczyć watość śednią t. Wyniki zebać w tabeli : Tabela masa m [kg] śednica walca d pomień walca = d/ odległość = o [cm] czas opadania t [s] odległość = o [cm] b) Duga część ćwiczenia.. Wyznaczyć masę odważnika m (większy walec).. Zmiezyć śednicę d dodatkowego większego walca i obliczyć jego pomień. 3. Wyznaczyć odległość R (odległość osi obotu kążka od osi zamocowania dodatkowej masy m). W tym celu zmiezyć śednicę kążka D (dużą suwmiaką) i odległość b odległość osi zamocowania dodatkowej masy m od zewnętznej kawędzi kążka (ys. 5). Odległość R znajdujemy jako: R = D b 4. Zmiezyć czas t 0 wanięć kążka i znaleźć okes T. Wyniki zebać w tabeli : masa m większego walca [kg] śednica walca d pomień walca = d / śednica kążka D odległość b odległość R = D/ b Tabela czas t 0 wanięć [s] okes T t/0 [s] 5

6 Ćwiczenie -7 V. Opacowanie i acunek błędów. Obliczyć w opaciu o wzó (0) moment siły tacia.. Kozystając z metody óżniczki zupełnej można wyznaczyć niepewność momentu ze wzou: m = m 3. Obliczyć ze wzou (4) moment bezwładności kążka. 4. Zastosowanie metody óżniczki zupełnej do wyznaczenia niepewności pomiaowej w tym pzypadku jest zbyt czasocłonne (wzó jest dość złożony). ożna oszacować maksymalną niepewność wyznaczonego momentu bezwładności ze wzou: max min = gdzie max min ( t+ t) ( ) g ( ) = m + ( t t) ( + ) g ( ) + = m + Największy wpływ na niepewność wyznaczenia mają niepewności pomiaowe t i ( = = ). Pominięto wpływ niepewności m i. 5. Obliczyć moment bezwładności kążka ze wzou () (metoda oscylacji). W tym pzypadku, w związku z pominięciem tacia, oczekujemy systematycznego zawyżenia wyniku. 6. Oszacować maksymalną niepewność wyznaczonego metodą oscylacji momentu bezwładności podobnie jak w punkcie 4: max min = gdzie g(r+ R)(T+ T) max = m (R+ R) 4π g(r R)(T T) max = m (R R) 4π Największy wpływ na niepewność wyznaczenia mają niepewności pomiaowe t i R, a niewielki niepewności m i i dlatego pominięto je pzy szacowaniu watości max i min. 6