PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi być sin α +, a z wymienionych kątów waunek ten spełnia tylko α π 6 Zadanie 4 ( pkt) D Zadanie 5 ( pkt) Niech m oznacza małą liteę, D dużą liteę, C cyfę Są dwie możliwości: albo będą dwie cyfy, albo jedna Policzmy kody z dwiema cyfami Rozmieszczenie dwóch cyf, jednej małej i jednej dużej litey może być na pzykład taki: CCmD Takie ozmieszczenie może być zealizowane na 4! sposobów, a óżnych ozmieszczeń jest, a więc kodów dwucyfowych jest !!! Kody z jedną cyfą mogą mieć dwie małe litey, na pzykład ozmieszczone CmmD, a takich ozmieszczeń jest, lub dwie duże litey, na pzykład CmDD, a tych ozmieszczeń jest też Każde z tych ozmieszczeń daje , a więc azem kodów jednocyfowych jest Razem mamy kodów Zadanie 6 ( pkt) 4 5 (x ) 5 + (x ) 5 (x + x )((x ) 4 (x ) (x ) + (x ) (x ) (x ) (x ) + (x ) 4 ) (x + x )((x ) 4 + (x ) (x ) + (x ) 4 (x ) (x ) ((x ) (x ) + (x ) (x ) )) (x + x )(((x ) + (x ) ) (x x ) x x ((x ) + (x ) )) (x + x )(((x + x ) x x ) (x x ) x x ((x + x ) x x )) ze wzoów Viète a x + x i x x (( ) ( )) (9 0) Zadanie 7 ( pkt) ; ) ; 5

2 Póbny egzamin matualny z matematyki Poziom ozszezony Zadanie 8 ( pkt) a) cos x 4 5, b) 9 a) Z tójkąta ACB i twiedzenia cosinusów dla boku AC mamy AC cos 60 5, a z twiedzenia cosinusów dla tójkąta ACD i kąta x ADC mamy cos x b) sin x 5, a więc P P P x ABCD ADC ACB 6 5 sin 4 sin 60 9 Zadanie 9 ( pkt) W(0) 4 5, W(7) 8 NWD(4 5, 8) 4 NWD(5, ) 4 W(n) (n 4)(n 6)(n )(n 5) (n )(n 4)(n 5)(n 6) Jest to iloczyn 4 kolejnych liczb całkowitych Wśód nich musi być liczba podzielna pzez i liczba podzielna pzez 4 oaz musi być liczba podzielna pzez To daje podzielność pzez 4 Uwaga Pewne wątpliwości może budzić W() W(4) W(5) W(6) 0, ale 0 jest podzielne bez eszty pzez każdą liczbę natualną Zadanie 0 ( pkt) a) 50, b) Zadanie ( pkt) a), b) 970 0,0000 Zadanie ( pkt) a) Odległość postej l od śodka okęgu o jest, a więc tyle, ile ma pomień okęgu o, a jednocześnie odległość postej l od śodka okęgu o jest ówna, czyli jest ówna pomieniowi tego okęgu (Odległość postej od punktu liczymy według wzou z tablic na odległość punktu od postej) To dowodzi, że posta l jest styczna do obu okęgów b) Podobnie, choć o wiele pościej, zauważa się, że poste x i y są styczne do obu okęgów, a widać to zwłaszcza po zobieniu ysunku X x 4x y + 0 x + 4y 9 0 y x + y 0 Y

3 Póbny egzamin matualny z matematyki Poziom ozszezony Równanie czwatej postej może być znalezione z waunku, że jest to posta symetyczna do postej y względem postej łączącej śodki obu okęgów Śodki obu okęgów to (, ) i (6, 4) Posta pzechodząca pzez te dwa punkty ma ównanie: y x + Pzecina ona postą y w punkcie (0, ) Posta symetyczna ma współczynnik kieunkowy a (ze wzou na tangens sumy kątów) + a 4 i pzechodzi pzez punkt (0, ), a więc y 4 x + Równanie tej postej w postaci ogólnej może być zapisane jako 4x y + 0 (Uwaga Znalezienie ównania postej l jest tochę tudniejszym zadaniem Zapewne ciekawszym) Zadanie ( pkt) Jest tylko jeden taki tapez Boki i 7 są ównoległe w odległości od siebie Pole jest wtedy 4 68 Zadanie 4 ( pkt) Pole P piewszego odcinka koła to P ( α sin α ) Pole dugiego odcinka koła znajduje się tym samym sposobem, ale pomień tzeba zamienić cos α na OR cos a Wobec tego P ( α sin α ) Ciąg pól odcinków twozy ciąg geometyczny o iloazie cos a <, skąd pole nieskończonej liczby odcinków kół jest ówna P α sinα ( α sin α) cos α sin α Zadanie 5 (4 pkt) a) W czwoościanie foemnym cosinus kąta a nachylenia kawędzi bocznej do podstawy jest taki jak stosunek dwóch tzecich wysokości tójkąta ównobocznego o boku a do jego boku a, czyli cosα a a 6, skąd sinα Obliczenie objętości V ABCD ostosłupa ABCD: pole podstawy to sinα, a więc objętość V ABCD , a wysokość to Objętość V AB C D ostosłupa AB C D : Pole podstawy jest ówne 60 sin, a wysokość sinα, a więc objętość to V AB' CD ' ' b) B D + cos B C + cos C D + cos 60 5

4 4 Póbny egzamin matualny z matematyki Poziom ozszezony Tak więc tzeba obliczyć pole podstawy B C D, czyli tójkąta ównoamiennego o bokach, 7, 7, jest ono ówne 5 4, a zatem poszukiwana wysokość H A 6 5 Zadanie 6 (4 pkt) a) 40, b) 7 : Zadanie 7 (4 pkt) π( + l) π, skąd l Ze względu na geometyczną intepetację zmiennych l i musi być spełniona nieówność 0 < < l, któa oznacza, że 0 < < i spowadza się do nieówności 0 < < Objętość V można wyazić za pomocą tylko : V H l π π π π Tu można zauważyć, że maksimum funkcji V jest dla tego samego co maksimum funkcji V, szuka się więc maksimum funkcji V Jest to najczęściej stosowany sposób Spóbujmy też nieco innego sposobu, bo można obliczyć pochodną V, licząc pochodną V : 4 ( V ) π π VV ' π π π π V 0, gdy, pzy czym pochodna jest dodatnia dla 0 < < i ujemna dla < < Tak więc l, a H Pzekój osiowy takiego stożka jest tójkątem ównoamiennym o podstawie i amieniu Ostatecznie V π π Zadanie 8 (4 pkt) a) Niech punktem pzecięcia postej AE pzez płaszczyznę B C D będzie A Odcinek A D jest ównoległy do B C, więc A musi być o 4 niżej niż D, zatem w punkcie A b) Tzeba obliczyć pole ównoległoboku AB C D Wszystkie jego boki są ówne 5, więc jest to omb Jego kótsza pzekątna to 5 + 6, a dłuższa Zatem pole tego ombu to

5 Póbny egzamin matualny z matematyki Poziom ozszezony 5 c) Nazwijmy ten kąt a Wtedy cos a jest stosunkiem zutu pola ombu AB C D na płaszczyznę ABCD do pola ombu AB C D, a więc cosα 48 d) Jest to połowa objętości postopadłościanu o bokach, 4 i 7, czyli 4 Zadanie 9 (4 pkt) a) a + b (80 a) + (80 b) 80 (a + b) + 80 g + 80 Podobnie dla pozostałych dwóch pzypadków otzymamy pzez zamianę oznaczeń b) Uogólnijmy w natualny sposób oznaczenia z ysunku b) dla dowolnego n, 4, 5, Oznaczmy szukaną wielkość a + a + a + + a n x Na mocy punktu a) mamy x (a + a ) + (a + a ) + (a + a 4 ) + + (a n + a ) a a a a n + 80 (n ) 80 + n 80 (n ) 80 A więc x (n ) 80 (n ) , a jest to właśnie suma kątów wewnętznych powiększona o 80