Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III

Transkrypt

1 Modelowanie pzepływu cieczy pzez ośodki poowate Wykład III 6 Ogólne zasady ozwiązywania ównań hydodynamicznego modelu pzepływu. Metody ozwiązania ównania Laplace a. Wpowadzenie wielkości potencjału pędkości pzepływu zbliża ozważanie pzepływu do ogólnej teoii pola potencjalnego, co pozwala na wykozystanie szeegu zagadnień bzegowych ozwiązanych pzez badaczy w zakesie teoii pola. Należy podkeślić, że ogólna teoia pola potencjalnego obejmuje teoie dotyczące na pzykład pola elektycznego czy magnetycznego. Rozważmy na początku metody ozwiązywania ównania pzepływu cieczy nieściśliwej pzez nieściśliwy szkielet ośodka poowatego Równanie uchu cieczy pzez ośodek poowaty jest ównaniem óżniczkowym cząstkowym dugiego zędu zwanym ównaniem Laplace a. Jest to ównanie zaliczające się do gupy ównań eliptycznych. W ogólnym pzypadku ównanie Laplace a jest szczególnym pzypadkiem ównania Helmholtza: c Φ + Φ = 0, (3.) gdy stała c = 0 W pacy [Tajdosa-Wóbla, 965] zostały pzedstawione szczegółowo własności tego typu ównań, twiedzenia oaz dowody jednoznaczności ozwiązań. Aby zozumieć dalszy ciąg ozważań powadzących do ozwiązania konketnych zagadnień bzegowych konieczne jest zapoznanie się z teoią ozwiązywania ównania Laplace a. Z teoii tej dowiadujemy się pzede wszystkim, że funkcję ciągłą w obszaze, spełniającą ównanie Laplace a nazywamy funkcją hamoniczną. Można wykazać, że funkcja hamoniczna w obszaze jest w tym obszaze funkcją klasy C, tzn. że w każdym punkcie obszau ma ciągłe dugie pochodne. Pzykładem funkcji hamonicznej w pzestzeni tójwymiaowej w układzie postokątnym katezjańskim jest funkcja liniowa x y z Ax By Cz D Φ = (3.) (,, ) Ogomne jest bogactwo ozwiązań ównania Laplace a. Mają one tę inteesującą własność, że można je otzymać, dokonując pewnych działań nad pewnym ozwiązaniem, zwanym ozwiązaniem podstawowym. Z analizy wektoowej wiadomo, że Laplasjan funkcji w tójwymiaowej pzestzeni można pzedstawić w układzie sfeycznym (biegunowym pzestzennym) w sposób następujący: Φ Φ Φ Φ = sinθ + +. (3.3) sin θ ϕ sinθ θ θ kozystajmy z tożsamości, któą można bezpośednio uzyskać pzez wykonanie działań w obu jej stonach: Φ ( Φ ) =. (3.4) Poszukajmy ozwiązania ównania Laplace a, zależnego od zmiennych, ϕ, θ. W pzypadku zagadnień osiowo symetycznych pochodna cząstkowa szukanej funkcji Φ względem zmiennej stanie się pochodną zwyczajną, zaś pozostałe pochodne cząstkowe będą ówne zeu. Kozystając z zależności (3.3) i (3.4) ównanie Φ = 0 zapiszemy w postaci:

2 d Φ ( d Φ ) = 0. (3.5) Całkowanie powadzi kolejno do: d ( Φ ) C d =, (3.6) C C Φ = +. (3.7) Całką ogólną (pzy założeniu, że 0 ) jest C C Φ = +. (3.8) Kładąc C = 0 i = C otzymujemy ozwiązanie podstawowe ównania Laplace a w pzestzeni Φ = ( 0). (3.9) Gdybyśmy wpowadzili układ biegunowy, w któym punktowi 0 odpowiadałby dowolnie ustalony x, y z postokątnego układu katezjańskiego, uzyskalibyśmy ozwiązanie (3.9) z tym, że punkt P0 ( 0 0, 0 ) jako odległość zmiennego punktu P P( x, y, z) = od punktu P 0 wyaziłaby się związkiem: x x y y z z = + +. (3.0) Poszukujemy ozwiązania podstawowego ównania Laplace a dla pzypadku płaskiego. W układzie biegunowym na płaszczyźnie Laplasjan daje się zapisać w postaci: Φ Φ Φ = + Φ ϕ. (3.) Wobec tego ozwiązanie ównania Laplace a, zależne tylko od, znajdziemy całkując ównanie óżniczkowe: d d d Φd = 0 ( 0). (3.) Mamy kolejno d Φ C d =, (3.3) C C Φ = ln +. (3.4) Kładąc C = 0 i C = otzymujemy ozwiązanie ównania Laplace a na płaszczyznach, któe nazywać będziemy ozwiązaniami podstawowymi:

3 Φ = ln ( 0). (3.5) Ponieważ ozwiązaniem ównania Laplace a jest funkcja hamoniczna powinniśmy znać kilka podstawowych własności funkcji hamonicznych w pzestzeni: o całka pochodnej nomalnej funkcji ( P) domknięciu Ω = Ω + Φ hamonicznej w obszaze Ω, a ciągłej w jego bana po bzegu obszau jest ówna zeu d n = 0 Φ, (3.6) o funkcja hamoniczna w każdym punkcie obszau pzybiea watość ówną śedniej aytmetycznej swoich watości na każdej sfeze, leżącej w obszaze o śodku w tym punkcie i o dowolnym pomieniu P Φ = R Φ d 4π K, (3.7) P R (, ) o funkcja hamoniczna niestała w obszaze w żadnym punkcie obszau nie osiąga swego kesu gónego ani dolnego (zasada ekstemum), o funkcja hamoniczna w obszaze Ω, a ciągła w jego domknięciu Ω = Ω + jest oganiczona swoimi ekstemalnymi watościami. Metodyka ozwiązywania ównania Fouiea. Równanie Fouiea óżni się tym od ównania Laplace a, że w ównaniu tym opócz opeatoa Laplace a występuje piewsza pochodna po czasie funkcji poszukiwanego ozwiązania. W paktyce, w celu ozwiązania metodami analitycznymi tego ównania stosujemy najczęściej pzekształcenie całkowe Laplace a, któe umożliwia nam pozbycie się pochodnej po czasie, a zagadnienie po pzejściu do pzestzeni Laplace a spowadza się do ozwiązania ównania Helmholtza. Równanie to, jak pokazaliśmy w popzednim podozdziale ozwiązuje się metodami omówionym wyżej. zczegółowy opis tych metod znajdzie czytelnik w pacy [Tajdosa-Wóbla, 965]. Jedyna istotna óżnica polega na okeśleniu w tym pzypadku waunków początkowych obok waunków bzegowych. 7 Waunki bzegowe i początkowe w modelach hydodynamicznego pzepływu. Waunki bzegowe. Zagadnieniami bzegowymi teoii pzepływu filtacyjnego okeślonej ównaniem Laplace a, lub Helmholtza nazywają się zagadnienia poszukiwania w obszaze pzepływu takiej funkcji, któa spełnia pewne waunki na bzegu obszau. ą tzy takie zagadnienia: Zagadnienia Diichleta. Polega ono na poszukiwaniu funkcji hamonicznej potencjału pędkości Φ( p) w oganiczonym obszaze Ω i ciągłej w Ω +, któa na bzegu pzybiea z góy dane watości funkcji potencjału pędkości: Q f Q Q Φ = ( ) (3.8) Funkcja f(q) nazywa się obłożeniem zagadnienia Diichleta i któa z założenia powinna być ciągła na bzegu. Można wykazać, że ozwiązanie wewnętznego zagadnienia Diichleta jest stateczne, tzn. zależy w sposób ciągły od obłożenia. 3

4 Waunki bzegowe typu Diichleta okeślają w pzypadku zagadnień pzepływu filtacyjnego następujące odzaje ganic: bzeg pzepuszczalny, na któym istnieje ganica oddzielająca wody podziemne z wodami powiezchniowymi (owy, zbioniki wodne itd.) zwieciadło swobodne wód guntowych kontakt na bzegu dwóch odzajów cieczy np. woda słodka i moska bzeg, na któym występuje wysączanie wody w pzypadku, gdy następuje ono powyżej poziomu wód powiezchniowych Zagadnienia Neumanna. Polega ono na znalezieniu funkcji hamonicznej potencjału pędkości Φ (P) w obszaze Ω i ciągłej w dane watości Ω + Φ n =, któej pochodna nomalna na bzegu pzybiea z góy f Q Q ( ). (3.9) Funkcja f(q) jest z założenia ciągła, a ponadto zgodnie z własnością funkcji hamonicznych (3.7) - spełniona jest dla niej następująca ówność: f Q ds = 0. (3.0) Można ponadto pokazać, że gdy istnieją dla danego obszau i danej funkcji bzegowej dwa ozwiązania zagadnienia Neumanna, to w obszaze Ω + óżnią się od siebie stałą. Waunki bzegowe typu Neumanna modelują następujące typy ganic: bzeg niepzepuszczalny, gdy f(q)=0, gdyż w tym pzypadku wydatek pzepływający pzez ganicę jest ówny zeu. ganica stanowiąca kontakt dwóch obszaów o óżnej pzepuszczalności zasilanie obszau o okeślonej wydajności (znany jest wydatek wpływającej do obszau cieczy) infiltacja lub paowanie. Zagadnienie mieszane. Polega ono na znalezieniu funkcji hamonicznej Φ(P) w obszaze Ω i ciągłej Ω +, któej kombinacja liniowa waz z pochodną nomalną: Φ Q f Q + n α Φ = 4 Q ( ) (3.) na bzegu jest zadana. Zakłada się pzy tym, że funkcja F(Q) jest ciągła, zaś α (Q) jest ciągła nieujemnie i nieówna tożsamościowo zeu (wówczas zagadnienia Neumanna i Diichleta nie są szczególnymi pzypadkami tego zagadnienia. Można wykazać, że dla danego obszau Ω i dla danej kombinacji liniowej istnieje jedno i tylko jedno ozwiązanie. Waunki tego typu okeślają następujące typy ganic: źódła, gdy ich wydatek zależy od położenia zwieciadła wód guntowych, paowanie lub infiltacja, gdy wydatek zależy od poziomu zalegania zwieciadła wód podziemnych, ganica modelująca pzepływ w pzypadku konstukcji typu ścianki szczelne, deny uszczelniające fundamenty budowli, ganica stanowiąca kontakt dwóch obszaów, gdy pzepływający wydatek jest funkcją wysokości hydaulicznej. W zeczywistości może zaistnieć sytuacja, że bzeg oganiczający obsza Ω zostaje podzielony na obszay powiezchniowe, gdzie spełniony musi być jeden z wyżej wymienionych waunków bzegowych.

5 Waunki początkowe. Jeżeli wyjściowy układ ównań óżniczkowych lub okeślone ównanie zawiea piewsze, albo wyższe pochodne po czasie, to należy podać watości ozważanych funkcji i ich pochodnych, ale o ząd niższy od najwyższego zędu pochodnej po czasie w chwili t=0. W naszym ozważamy pzypadku chodzi jedynie o początkowe watości funkcji w chwili t=+0. zeeg badaczy ozwiązujących na dodze analitycznej pzedstawione powyżej ównanie Pzy zastosowaniu do ozwiązania zagadnienia tansfomację całkową Laplace a pzyjmuje, że w chwili t=+0 poszukiwane funkcje ównają się zeu w całym obszaze. Otzymane pzez tych badaczy wyniki nie spełniają waunku początkowego. twiedzają oni, ze óżnica pomiędzy uzyskanym ozwiązaniem pzy pzejściu ganicznym z czasem do zea a pzyjętym waunkiem początkowym świadczy o występowaniu tzw. efektów natychmiastowych w chwili t=+0. Zagadnieniem niezgodności pzyjętych waunków początkowych z watościami poszukiwanych funkcji w zeze w pzypadku ównań paabolicznych zajmował się G. Doetsch [ ]. 5