Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona y = fg jest określona w pewnym otoczeniu punktu = 0, funkcja g jest różniczkowalna w tym punkcie, a funkcja fu jest różniczkowalna w punkcie u = u 0, gdzie u 0 = g 0, to pochodną funkcji złożonej y = fg w punkcie = 0 obliczamy według wzoru: [fg 0 ] = f g 0 g 0 Przykład 3. y = sin3-, y 5 3 y = ln3 5 +5 + 3. Pochodne wyższych rzędów. Zauważmy, że różniczkowanie funkcji y = f prowadzi do innej funkcji, y = f. Z tej funkcji, jeśli jest różniczkowalna, można obliczyć pochodną. Będzie to pochodna drugiego rzędu. Z tej funkcji można niekiedy pochodną trzeciego rzędu itd. Ogólnie, pochodna n-tego rzędu funkcji y = f, to pochodna z pochodnej rzędu n-: f n = f n-. Przykład 3. Obliczyć:. Pochodną trzeciego rzędu funkcji f 4 5 8 ;. Pochodną czwartego rzędu funkcji f sin ; 3.3. Reguła de l Hospitala Reguła de l Hospitala pozwala zastosować rachunek różniczkowy do znajdowania granic funkcji, które to granice inaczej byłyby bardzo trudne do określenia. Są to granice takich ilorazów funkcji f/g, w których zarówno licznik jak i mianownik dąży do 0 lub licznik i mianownik dążą do. Wyrażenia takie nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi typu 0/0 lub /. ln Np. jest wyrażeniem typu /, a 0 ctg 3 e 3 jest wyrażeniem typu 0/0. Nie 0 sin 5 wiemy więc, czy granice te są skończone, czy nieskończone.
Twierdzenie 3.. Reguła de l Hospitala: Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym otwartym przedziale a, b zawierającym c, jeśli g 0 dla a, b i c oraz jeśli: c lub c to c f 0 i g 0, f i f g c c c f ' g' g, UWAGA: Regułę de l Hospitala stosuje się również przy. Przykład 3.3 Obliczyć 0 Rozwiązanie 0 ln ctg ln ctg H 0 sin 0 sin Czasem regułę tę trzeba stosować kilkakrotnie: 0 sin 0 sin 0 0 Przykład 3.4 Obliczyć 3 e 3. sin 0 5
3 Zastosowanie reguły de l Hospitala do innych wyrażeń nieoznaczonych Wyrażenie typu - Rozpatrzmy wyrażenie f g takie, że przy c f + i g + lub f - i g -. Stosujemy podstawienia u = / f i v = / g. Wówczas u 0 i v 0. Mamy wówczas v u u v v u g f jest to wyrażenie typu 0/0. Przykład 3.5 e 0 Wyrażenie typu 0 Rozpatrzmy wyrażenie f g takie, że przy c f + lub f - i g 0. Wówczas oczywiście /f 0 i stosując przekształcenie f g g f otrzymujemy wyrażenie typu 0/0. Przykład 3.6 Obliczyć granicę tg
Wyrażenie typu 0, 0 0,. Rozpatrzmy wyrażenie f g.. Jeśli przy c mamy f i jednocześnie g 0, to wyrażenie f g jest dla = c wyrażeniem nieoznaczonym postaci 0.. Jeśli przy c mamy f 0 i jednocześnie g 0, to wyrażenie f g jest dla = c wyrażeniem nieoznaczonym postaci 0 0. 3. Jeśli przy c mamy f i jednocześnie g, to wyrażenie f g jest dla = c wyrażeniem nieoznaczonym postaci. W każdym z tych przypadków lnf g = g lnf jest dla = c wyrażeniem postaci 0, które może być rozwiązywane metodami omówionymi wcześniej, z tym, że trzeba pamiętać o następującej zależności: Jeśli ln y L, to c y c c e ln y e L Przykład 3.7.. tg tg 0, 0 0, 0 3. 3 0. 4
3.4. Różniczka funkcji Definicja 3. Różniczką funkcji y = f nazywamy iloczyn pochodnej i dowolnego przyrostu zmiennej niezależnej d. dy = f d Przykład 3.8. y sin dy cos d. y ln dy d Zastosowanie różniczek do obliczania przybliżonych wartości funkcji Przypomnijmy definicję pochodnej funkcji y = f w punkcie = 0 : f 0 f 0 f 0 0 Zatem dla bardzo małej, bliskiej zeru wartości możemy przyjąć, że f 0 f 0 f i że d. 0 Stąd f 0 + - f 0 = f 0 f 0 + = f 0 + f 0 Przykład 3.9 Obliczyć, 005 Przyjmujemy f, 0, 0, 005 Mamy f Stąd,005 0,005 f 0 f 0 f 0 0,005 0,005,005 Możemy więc przyjąć, że,005, 005 Sprawdzenie.,005 =,0050565,005 5
3.5. Pochodna jako prędkość zmian. Większość wielkości spotykanych na co dzień zmienia się w czasie. Jest to szczególnie widoczne w badaniach naukowych. Na przykład chemik może być zainteresowany tempem rozpuszczania się pewnej substancji w wodzie, biolog może badać prędkość rozwoju lub zaniku kultur jakichś bakterii itp. Rozważmy pewną ogólną sytuację. Załóżmy, że zmienna w jest funkcją czasu w = gt, gdzie gt jest funkcją różniczkowalną. różnica między wartością początkową a końcową tej funkcji w przedziale czasu < t, t + h > wynosi gt + h - gt. Definicja 3. Niech w = gt, gdzie gt jest funkcją różniczkowalną i t reprezentuje czas.. Średnią prędkością zmiany w = gt w przedziale czasu < t, t + h > jest g t h g t. h. Prędkością zmian w = gt w chwili t jest g t h g t g t. h0 h Przykład 3.0 Naukowiec stwierdził, że podczas podgrzewania pewnej substancji jej temperatura, wyrażona w stopniach Celsjusza, po t minutach, 0 t 5, dana jest wzorem g t 30t 6 t 8. Znaleźć: a średnią prędkość zmiany gt w przedziale czasu < 4; 4,4 >, b chwilową prędkość zmiany gt w czasie t = 4. Rozwiązanie. a Przyjmujemy t = 4 i h = 0,4. Korzystając z definicji 3. otrzymujemy średnią prędkość zmiany gt w przedziale czasu < 4; 4,4 > w postaci: 304,4 6 4,48 0 6 4 8,9 3,46 C/min. g t h g t g4,4 g4 h 0,4 0,4 3 b g t 30, stąd prędkość zmiany gt w czasie t = 4 wynosi t 3 g 4 30 3,5 C/min. 4 0,4 6
Niech punkt P porusza się po osi liczbowej l. Jeśli jego współrzędną na tej osi można wyrazić za pomocą funkcji st, rys. 3., to s nazywamy funkcją położenia punktu P. Definicja 3.3 Niech pozycja punktu P na osi liczbowej l w czasie t wyrażona będzie za pomocą funkcji st, gdzie s jest funkcją różniczkowalną.. Prędkością punktu P jest vt = st.. Szybkością punktu P jest vt. 3. Przyspieszeniem punktu P jest at = vt = st Powyższa definicja może być wykorzystana również do określenia kierunku poruszania się punktu P. Jeśli prędkość vt = st jest w pewnym przedziale czasu dodatnia, to st jest funkcją rosnącą i punkt P porusza się na osi l w kierunku dodatnim. Jeśli natomiast st < 0, to st jest funkcją malejącą i punkt P porusza się na osi l w kierunku ujemnym. Szybkość oznacza prędkość poruszania się punktu P bez Położenie punktu P wskazania kierunku ruchu. Chwile t, w których vt = st = 0 mogą stanowić ekstrema lokalne funkcji st. Jeśli tak jest, to w chwili t punkt P zmienia kierunek poruszania się na przeciwny. Stosując teorię wzrastania i malenia funkcji do Rys. 3. przyspieszenia jako pochodnej prędkości, widzimy, że jeśli at < 0, to prędkość w czasie t maleje. Jeśli natomiast at > 0, to w czasie t prędkość wzrasta. Zauważmy, że jeśli at < 0 i jednocześnie vt < 0, to prędkość maleje w tym sensie, że staje się bardziej ujemna, to znaczy, że punkt P porusza się coraz szybciej w kierunku ujemnym, a zatem jego szybkość, vt, wzrasta. Przykład takiej sytuacji podany jest poniżej. Przykład 3. Funkcja położenia punktu P na osi liczbowej dana jest wzorem: st = t 3 t + 36t 0, gdzie t mierzone jest w sekundach a st w centymetrach. Opisać ruch punktu P w przedziale czasu <-, 9>. Rozwiązanie. Różniczkując otrzymujemy vt = st = 3t 4t + 36 = 3t t 6, at = v t = 6t - 4 = 6t 4. W konsekwencji zerowa prędkość osiągana jest dla t = i t = 6. Musimy więc sprawdzić zachowanie s w przedziałach -,,, 6 i 6, 9. Poniższa tablica opisuje kierunek ruchu punktu P. Znak vt może być określony przez konkretnych wartości t. Czas 7
Przedział czasu Znak vt Kierunek ruchu -, + Prawo, 6 - Lewo 6, 9 + Prawo Z analizy znaku vt wynika, że st ma lokalne maksimum dla t = i lokalne minimum dla t = 6. Może to być potwierdzone przez obliczenie pochodnej drugiego rzędu funkcji st w odpowiednich punktach: a = - < 0 oraz a6 = > 0. Następna tablica zawiera wartości położenia, prędkości i przyspieszenia w ważnych punktach czasowych, mianowicie na końcach rozważanego przedziału czasu i w punktach, w których prędkość lub przyspieszenie są równe zeru. t - 4 6 9 st -69-4 -0 6 vt 63 0-0 63 at -30-0 30 Schematycznie można ruch punktu P przedstawić jak na rysunku 3.. Krzywa pokazana nad osią liczbową nie jest torem punktu, pokazuje tylko sposób jego poruszania się. Dla t = - Rys. 3. punkt znajduje się 69 cm na lewo od początku osi i porusza się w prawo z prędkością 63 cm/sek. Ujemne przyspieszenie -30 cm/sek wskazuje, że prędkość zmniejsza się w każdej sekundzie o 30 cm/sek. Punkt porusza się w prawo coraz wolniej, aż dla t = osiąga zerową prędkość, cm na prawo od początku osi. Przyspieszenie, w tym momencie ciągle ujemne, a = -, powoduje zmianę kierunku ruchu punktu P i wzrost jego szybkości do cm/sek. dla t = 4 prędkość punktu w tym momencie wynosi -cm/sek.. Dla t = 4 przyspieszenie równe jest zeru a następnie przyjmuje wartości dodatnie, powodując zwiększenie prędkości. Dla t = 6, w położeniu s6 = -0, prędkość przyjmuje wartość v6 = 0. Wówczas punkt P po raz drugi zmienia kierunek ruchu, osiągając dla t = 9 położenie s9 = 70 i prędkość v9 = 63. 8
Jeden z najważniejszych typów ruchu prostoliniowego jest opisany w następującej definicji. Definicja 3.4. Ruch, w którym odległość st punktu P od początku osi liczbowej opisana jest równaniem st = a cos t + b, lub st = a sin t + b, gdzie a, b oraz są liczbami rzeczywistymi, nazywamy prostym ruchem harmonicznym. Innym sposobem określenia prostego ruchu harmonicznego jest założenie, że punkt P porusza się wzdłuż osi l tak, że przyspieszenie st spełnia warunek: st = - st dla wszystkich t. W prostym ruchu harmonicznym punkt P oscyluje na osi l miedzy punktami o współrzędnych a i a. Amplitudą tego ruchu jest maksymalne odchylenie a od początku osi. Częstotliwość / jest liczbą oscylacji w jednostce czasu. Prosty ruch harmoniczny występuje przy wielu typach fal, jak fale na wodzie, fale dźwiękowe, radiowe, świetlne. Prosty ruch harmoniczny występuje również podczas pionowej oscylacji ciężarka zawieszonego na sprężynie. rys. 3.3. Wartość st reprezentuje współrzędne ustalonego punktu P na ciężarku. Zakładamy, że amplituda ruchu jest stała i że brak sił tarcia zatrzymujących ruch. Przykład 3. Załóżmy, że ciężarek pokazany na rysunku 3.5 oscyluje zgodnie z równaniem Rys. 3.3 s t 0cos t, 6 gdzie t jest mierzone w sekundach a st w centymetrach. Przeprowadzić dyskusję ruchu ciężarka. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją 3.4 mamy do czynienia z prostym ruchem harmonicznym. Jego amplitudą jest a =0 cm. Ponieważ = /6, jego okresem jest / = / /6 =. Zatem ciężarek wykonuje pełną oscylację w sekund. Częstotliwość, liczba oscylacji na sekundę wynosi więc /. Prześledzimy teraz ruch ciężarka w przedziale czasu <0, >. Prędkość i przyspieszenie dane są wzorami: 5 v t s t 0sin t sin t, 6 6 3 6 5 5 a t s t cos t cos t. 3 6 6 8 6 Prędkość zerową ciężarek osiąga dla t = 0, t = 6 i t =, ponieważ dla tych wartości t sin /6t = 0. Przyspieszenie osiąga wartość 0 dla t = 3 i t = 9, ponieważ dla tych wartości t cos /6t = 0. Wartości czasu, dla których prędkość lub przyspieszenie są zerowe skłaniają nas do podziału rozważanego przedziału czasu na podprzedziały: 0, 3, 3, 6, 6, 9 i 9,. Poniższa tabela zawiera charakterystykę ruchu. 9
Przedział czasu Znak prędkości vt Kierunek ruchu Znak przyspieszenia at Zmiana prędkości vt Zmiana szybkości vt 0, 3 - W dół - Maleje Wzrasta 3, 6 - W dół + Wzrasta Maleje 6, 9 + W górę + Wzrasta Wzrasta 9, + W górę - Maleje Maleje Zauważmy, że dla 0 < t < 3, prędkość jest ujemna i malejąca. Oznacza to, że szybkość jest rosnąca. Dla 3 < t < 6 prędkość jest ujemna i rosnąca, co oznacza, że szybkość punktu P jest malejąca. Możemy podsumować ruch punktu P w następujący sposób. W chwili t = 0, s0 = 0 i punkt P znajduje się 0 cm powyżej początku osi. Porusza się w dół zwiększając szybkość aż osiągnie początek osi w chwili t = 0. Następnie zwalnia aż do osiągnięcia punktu 0 cm poniżej początku osi w czasie t = 6 sek. Zmienia się wówczas kierunek ruchu, ciężar zaczyna poruszać się w górę zwiększając szybkość aż do osiągnięcia początku osi w czasie t = 9 sek. Następnie zwalnia aż osiągnie pozycję wyjściową dla t = sek. Ciężarek znów zmienia kierunek ruchu i powtarza cały cykl nieskończenie wiele razy. 0