3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

Transkrypt

1 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to oddziaływanie odgrywa w zjawisku ruchu. Ruchem nazywa się wzajemne przemieszczanie się w przestrzeni, w miarę upływu czasu, jednych ciał względem innych. Ruch jest zjawiskiem względnym. Oznacza to, ż ciało A poruszając się względem ciała B może w tym samym czasie spoczywać względem innego ciała C. Ruch ciał opisuje się w ten sposób, że podaje się położenie tego ciała w każdej chwili względem jakiegoś innego wybranego ciała (lub zbioru ciał w stosunku do siebie nieruchomych). Ciało lub zbiór ciał względem, których opisuje się ruch innego ciał nazywa się układem odniesienia. Najczęściej jest to układ kartezjański. Rzeczywiste obiekty naszego świata mają określone rozmiary. Dlatego wygodne jest stosowanie pojęcia punktu materialnego. Punkt materialny uosabia cały obiekt i w przybliżeniu przyjmuje się, że położenie tego punktu jest również umownym położeniem naszego obiektu. Oczywiście tego typu zabieg to "idealizacja fizyczna", czyli uproszczenie sobie rzeczywistości tak, aby było wygodniej ją opisywać. Co można uznać za punkt najlepiej symbolizujący położenie obiektu? Środek masy, czyli taki punkt, który znajdując się w środku ciała. Położenie punktu materialnego względem danego układu odniesienia jest opisane przez podanie, co najwyżej trzech jego współrzędnych x,y,z. Torem ruchu ciał nazywamy krzywą utworzoną przez punkty określające kolejne położenia ciał w przestrzeni. Droga jest to długość toru zakreślonego podczas ruchu. Ruch prostoliniowy - to taki ruch, w którym wszystkie położenia wybranego punktu poruszającego się leżą na jednej prostej, nieruchomej względem układu odniesienia. Gdy tor jest linią prostą mówimy, że ciało porusza się ruchem prostoliniowym, gdy linią krzywą- ruch jest ruchem krzywoliniowym.

2 Długością toru s nazywamy drogę. Jest to wielkość skalarna Położenie ciała względem danego układu odniesienia można też określać przy pomocy wektora położenia r ciał, inaczej zwanego promieniem wodzącym tego ciała. Jest to wektor łączący początek układu odniesienia z aktualnym położeniem ciał w przestrzeni. Różnica geometryczna dwóch wektorów położenia ciał określa przemieszczenie tego ciała. Przemieszczenie r w odróżnieniu od drogi s jest wielkością wektorową. Przy rozwiązywaniu wielu zagadnień kinematycznych bardzo pomocna jest znajomość kinematycznego równania ruchu ciał. Jest to zależność lub układ zależności określających położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu. W postaci wektorowej kinematyczne równanie ruchu jest zależnością określającą wektor położenia ciała jako funkcję czasu. Wektor położenia jest wyrażony: r(t) x(t)i y(t) j z(t)k gdzie i, j, k są wersorami odpowiednio osi x, y i z. Ważnymi pojęciami kinematycznymi służącymi do opisu ruchu są prędkość i przyspieszenie ciał. Można wyróżnić prędkość i przyspieszenie średnie, określone dla skończonego odstępu czasu, oraz prędkość i przyspieszenie chwilowe, określone dla nieskończenie krótkiego czasu obserwacji. Prędkość średnią definiujemy jako iloraz przemieszczenia i czasu, w którym ciało się przemieściło:

3 Δr v(t) śr Δt io Na rysunku Δx v(t) śr Δt jest sieczną. Dla nieskończenie krótkiego czasu otrzymujemy wyrażenie określające prędkość chwilową: v(t) ch r lim t t dr dx i dy j dz k Prędkości chwilowe dla czasów t 1, t i t 3. Składowe prędkości chwilowej wzdłuż kierunków osi układu współrzędnych są określone wzorami: dx v x, dy v y, dz v z. 3

4 Podobnie definiuje się też oba przyspieszenia. Przyspieszenie średnie: Δv a(t) śr Δt i przyspieszenie chwilowe: Δv dv dv dv dv x y z a (t) i j k ch lim. t t Przyspieszenie chwilowe jest pierwszą pochodną prędkości ciała względem czasu oraz drugą pochodną wektora położenia względem czasu. Składowe przyspieszenia wzdłuż kierunków osi układu współrzędnych kartezjańskich są określone wzorami: a dv d x x, x a dv d x x, x a dv d z z. z Wektor prędkości chwilowej ciała jest styczny do toru, po którym to ciał się porusza. Wektor przyspieszenia chwilowego zachowuje się nieco inaczej. Jest on styczny do toru tylko w ruchu prostoliniowym. 3.1.Ruchy prostoliniowe W ruchu prostoliniowym tor ciał jest z definicji linią prostą. Właściwość ta umożliwia stosowanie opisu skalarnego, w którym posługujemy się zamiast wektorami przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wartościami tych wektorów. Ruchy prostoliniowe można dzielić w zależności od charakteru zmian prędkości i przyspieszenia ciał na ruch jednostajny i ruch zmienny. Ten ostatni z kolei można dzielić na jednostajnie zmienny i niejednostajnie zmienny Ruch prostoliniowy jednostajny Ruchem jednostajnym nazywa się ruch ze stała prędkością, niezależnie od kształtu toru. 4

5 Prędkość i przyspieszenie w tym ruchu: V const., a a równanie ruchu dla tego przypadku: x v t. Ogólne rówanie: s s v t Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny to ruch prostoliniowy z przyspieszeniem nie zmieniającym się w czasie. W ruchu tym przyspieszenie ciała jest stałe: a const. Wynika stąd, że przyspieszenie średnie i przyspieszenie chwilowe są sobie równe. Równanie ruchu dla tego przypadku: at s s v t. Korzystając, więc z definicji przyspieszenia średniego można podać zależność określającą prędkość chwilową ciała po czasie t od chwili rozpoczęcia ruchu: v v at Rzut pionowy i swobodny spadek ciał Przykładami ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego są swobodny spadek ciał i rzut pionowy. Swobodny spadek ciała jest to ruch wzdłuż prostej pionowej bez prędkości początkowej, 5

6 z przyspieszeniem grawitacyjnym g. Jest to ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony. Rzut pionowy w górę jest ruchem ciała wzdłuż prostej pionowej, którego prędkość początkowa jest zwrócona do góry. Ruch ten jest ruchem prostoliniowym jednostajnie opóźnionym. Prędkość i położenie ciała opisują równania ruchu: v v gt at y v t Powyższe równania pozwalają wyznaczyć wszystkie parametry rzutu, np. czas wznoszenia. Korzystając z faktu, że w punkcie maksymalnego wzniesienia się ciała jego prędkość końcowa jest równa zeru (tj.: v y =), czas wznoszenia: v w, g t i że rzut pionowy jest ruchem opóźnionym, można otrzymać wyrażenie określające wysokość maksymalnego wzniesienia: h v g. io 6

7 3.1.4.Ruchy krzywoliniowe płaskie Rzut poziomy jest złożeniem dwóch ruchów: jednostajnie zmiennego wzdłuż osi OY i jednostajnego wzdłuż osi OX. Prędkość początkowa, z jaką ciało zostało wyrzucone wynosi: v. Prędkość i położenie ciała w dowolnej chwili czasu t opisują równania ruchu: v v x x v t v y gt y gt Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów: jednostajnie zmiennego prostoliniowego wzdłuż osi OY i ruchu jednostajnego wzdłuż osi OX. Prędkość i położenie ciała w dowolnej chwili czasu t opisują równania ruchu: v v cos x x v cos t v v y sin gt y v sin t gt 7

8 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym. Rzuty poziomy i ukośny są przykładami ruchu niejednostajnego krzywoliniowego. Wektor przyspieszenia, w takim ruchu nie ma kierunku stycznego do toru (jak w przypadku ruchu prostoliniowego). Tym niemniej możemy rozłożyć go na dwie składowe, z których jedna, a s, będzie styczna do toru, natomiast druga, a r, będzie prostopadła (normalna) do toru. Przyspieszenie a v r 8

9 nazywa się przyspieszeniem normalnym bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również przyspieszeniem dośrodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek prędkości. Prędkość względna Prędkość względną w przypadku ruch na płaszczyźnie lub w przestrzeni 3.wymiarowej określa się poprzez dodawanie wektorów prędkości ciał biorących udział w tym ruchu. Ogólnie: v wzg v v Ruch punktu materialnego po okręgu Prędkość kątową ciała poruszającego się po okręgu definiujemy jako: gdzie Δ przesunięcie kątowe. ch lim t t d, 9

10 Ruch jednostajny po okręgu występuje wtedy, gdy ω=const. Droga kątowa przebyta przez ciało w ruchu jednostajnym po okręgu wynosi: t. Ponieważ ω=const, to prędkość kątową możemy wyrazić jako stosunek kąta pełnego, π, do czasu jednego pełnego obiegu ciała po okręgu - czyli okresu T:. T Odwrotność okresu T nazywamy częstotliwością f, która jest równa liczbie obiegów ciała po okręgu w jednostce czasu. Jednostką częstotliwości jest Hz [1/s]. W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość v jest stała, ale kierunek wektora prędkości ulega zmianie. Istnieje, więc przyspieszenie prostopadłe (normalne) do toru, które w tym przypadku nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym a n (jest zawsze skierowane do środka okręgu). Jego wartość wynosi: gdzie R jest promieniem okręgu. a n Ruch jednostajnie zmienny po okręgu to ruch, w którym przyspieszenie kątowe jest wielkością stałą i określoną w następujący sposób: lim t t R d. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są wielkościami wektorowymi. Wektory te są skierowane prostopadle do płaszczyzny obrotu wyznaczonej przez 1

11 tory punktów materialnych obracającej się bryły. Zwrot wektorów można określić korzystając z reguły śruby prawoskrętnej. io ω r v 11