MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Transkrypt

1 MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły 6. Podstawy dynamiki 7. Dynamiczne równania ruchu 8. Drgania punktu materialnego 9. Dynamika układu punktów materialnych 10.Momenty bezwładności 11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania 12. Zasady pracy i energii 13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego 14.Teoria uderzenia

3 LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

4 Wykład 1 Podstawy kinematyki

5 WPROWADZENIE KINEMATYKA (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu). RUCH określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu.

6 WPROWADZENIE W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na: Kinematykę punktu materialnego Kinematykę ciała sztywnego.

7 Tor punktu Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu. Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą. y Tor krzywoliniowy l l x Rys. 1

8 Droga, odległość W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru. Odległość długość odcinka łączącego dwa punkty.

9 Podział ruchu Ruch prostoliniowy jednostajny Ruch prostoliniowy zmienny Ruch krzywoliniowy jednostajny Ruch krzywoliniowy zmienny

10 OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t (czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu punktu x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t). Rys. 2

11 Równania ruchu w postaci wektorowej Rys. 3 ρ r = ρ r(t) Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P r x = x(t), r y = y(t), r z = z(t) Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

12 Prędkość punktu materialnego Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu t = t 2 - t 1, w którym punkt przebył drogę s = P 1 P 2. Przyrost wektora promienia wynosi r zatem Rys. 4

13 Prędkość średnia v ρ = Prędkośćśrednia punktu jest ilorazem przyrostu wektora r do czasu t w którym ten przyrost nastąpił.

14 Prędkość chwilowa v ρ = Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera Przyrost r ma składowe x, y, z stąd

15 Prędkość chwilowa Wektor prędkości można zapisać w postaci: ρ ρ ρ ρ v = x & i + y& j + z& k którego moduł wynosi: v = & 2 + y& 2 + x 2 z&

16 Przyspieszenie punktu materialnego W czasie t = t 2 - t 1, wektor prędkości zmienia się z v 1 na v 2. Przyrost wektora prędkości wynosi v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości v przez przyrost czasu t.

17 Przyspieszenie chwilowe punktu a ρ = Wiedząc, że przyrost prędkości v ma składowe v x, v y, v z, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

18 Przyspieszenie chwilowe punktu Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci : a jego moduł

19 Ruch prostoliniowy jednostajny Ruchem prostoliniowym jednostajnym jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same odcinki drogi.

20 Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego Droga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

21 Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego Rys. 6 czyli

22 Ruch prostoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.

23 Równania ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego Przyśpieszenie Prędkość Droga a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

24 Ruch krzywoliniowy jednostajny Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek).

25 Ruch krzywoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty).

26 Przyśpieszenie normalne Z rysunku wynika,że wartość przyspieszenia składowego a n prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.

27 Przyśpieszenie styczne Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wartość a t jest określona w postaci:

28 Wektor przyśpieszenia jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego a wartość tego wektora obliczamy z zależności

29 Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia: a n 0, a t 0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości. a n =0, a t 0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

30 a n 0, a t =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym. a n =0, a t =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

31 Ruch jednostajny po okręgu W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4,). P 1 v a n P 1 P 2 2 r r α v Prędkość średnia punktu wyraża się jako Rys. 13 v P 4 P 3 v P 4 P 3 Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii czyli

32 Prędkość kątowa Stosunek kąta α wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową. Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

33 Prędkość obrotowa Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

34 Ruch zmienny po okręgu przyśpieszenie kątowe Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna a t oznaczana przez ε ) określa zmianę wektora prędkości kątowej. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

35 Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym ε=5 rad/s 2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu. Rozwiązanie: a n ω a t a r v Dane: ε=5 rad/s 2 ; r=0,1m Obliczyć : a t i a n po 10 sek. ruchu Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne

36 Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t 2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s. Rozwiązanie: Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi: dla t=3s Moduł wektora przyśpieszenia:

37 Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne dla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s

38 Przykład 3 Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v 0. Dane: v 0, h 0. v 0 h 0

39 Rozwiązanie Wychodzimy z podstawowego równania: przez cały czas trwania ruchu. Ruch jednostajnie opóźniony. y x v 0

40 Rozwiązanie a(t) 0 g t w 2t w t v(t) v 0 0 t w 2t w t v 0

41 Rozwiązanie s(t) h max h 0 t w 2t w t

42 Rozwiązanie Obliczymy ponadto czas wznoszenia: Wyjdziemy z równania: v 0 y x

43 Rozwiązanie Wysokość rzutu obliczymy z zależności: Zatem: h max v 0 y x

44 Przykład 4 Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym. a(t) = g a(t) = 0 s(t) parabola prosta gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!! t

45 Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: v(t) v 0 > 0 v(t) 0 t 0 t 0 t 0 t v 0 < 0 prędkość dodatnia punkt oddala się od obserwatora. prędkość ujemna punkt zbliża się do obserwatora.

46 Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) s(t) tgα > 0 tgα < 0 0 α t 0 t 0 t 0 α t funkcja drogi rosnąca punkt oddala się od obserwatora. funkcja drogi malejąca punkt zbliża się do obserwatora.

47 Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) s(t) s(t) > 0 0 t 0 t 0 α t 0 t s(t) < 0 wartości funkcji drogi dodatnie punkt porusza się po jednej stronie obserwatora. wartości funkcji drogi ujemne punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.

48 Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) tg α > 0 v(t) tg α < 0 0 α t 0 t 0 t 0 α t funkcja prędkości rosnąca punkt przyspiesza. funkcja prędkości malejąca punkt zwalnia.

49 Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) v(t) > 0 v(t) 0 t 0 t 0 t 0 t v(t) < 0 wartość prędkości dodatnia punkt oddala się od obserwatora. wartość prędkości ujemna punkt zbliża się od obserwatora.

50 Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo: α 1 α 2 α 2 α 1 parabola wypukła punkt przyspiesza. parabola wklęsła punkt zwalnia.

51 Przykład 5 Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykres a(t) oraz s(t). Wyznaczyć: wartość przyspieszenia w każdym z przedziałów; przebytą drogę na końcu każdego przedziału. Dane dodatkowe: s(0) = v 1 t 1 /2.

52 Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: 0 < t < t 1 Prędkość ujemna, zatem punkt zbliża się do obserwatora. α 1

53 Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: t 1 < t < 2t 1 α 1 α 2

54 Rozwiązanie Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów: Dla t 1 : Dla 2t 1 : prędkość malejąca parabola wklęsła prędkość rosnąca parabola wypukła α 1 α 2

55 Rozwiązanie Wykres drogi od czasu: s(t) v 1 t 1 2 s 1 (t) 0 t 1 s 2 (t) 2t 1 t v 1 t 1 2

56 Rozwiązanie Wykres przyspieszenia od czasu: a(t) v 1 t 1 0 t 1 2t 1 t v 1 t 1