Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:

Transkrypt

1 Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej. Będzie również potrzebna umiejętność stosowania algebry wektorów (patrz dodatek na końcu wykładu 1). Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu: Układ odniesienia, tor ruchu, wektor wodzący, prędkość średnia, prędkość chwilowa, przyspieszenie średnie i przyspieszenie chwilowe. Dodatkowo krótko przedstawię w trakcie wykładu inne niekartezjańskie układy współrzędnych. Układ odniesienia. Do opisu ruchu potrzebujemy określenia względem czego go opisujemy. Ruch jest względny. Dla jednego obserwatora, stojącego na chodniku, autobus się porusza a dla drugiego, siedzącego w środku, autobus jest nieruchomy! To co w końcu robi autobus? Zależy to od układu odniesienia w którym dany ruch jest opisywany. Należy więc określić układ odniesienia, w którym będziemy analizowali ruch. U nas jest to układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie o osiach OX oraz OY. Toru ruchu i wektor wodzący. Na rysunku obok przedstawiony jest tor punktu materialnego z zaznaczeniem wektora wodzącego r(t), i wektora przemieszczenia r. Pojęcie toru - Tor ruchu punktu otrzymamy rejestrując kolejne położenia punktu w następujących po sobie chwilach czasu. Jest to linia ciągła ponieważ możemy rejestrować te położenia w dowolnie małym odstępie czasu. Wektor wodzący - wektor "śledzący" swoim końcem położenie przemieszczającego się punktu z początkiem zaczepionym na stałe w punkcie (0,0) układu odniesienia.. Droga przebyta przez przemieszczający się punkt wynosi s i mierzy długość przebytego wzdłuż łuku toru dystansu. Wynika stąd, że prędkość nie jest równa drodze podzielonej przez czas, w którym została przebyta. Czym jest prędkość czytaj w kolejnym akapicie.

2 Prędkośc średnia i chwilowa w ruchu krzywoliniowym punktu materialnego. W skończonym czasie = t2 t1 cząstka przemieściła się z punktu P 1 do P 2. Wektor przemieszczenia zaczyna się w P 1 a kończy w P 2. Prędkość średnią definiujemy jako iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło. Jest to oczywiście wielkość wektorowa. (Czytaj więcej o prędkości śeredniej w dalszym tekście). W miarę skracania przedziału czasu tak zdefiniowana prędkość zaczyna być coraz bliższa stycznej do toru w punkcie P 1. Graniczna wartość ilorazu nieskończenie małego przemieszczenia dr, które nastąpiło w nieskończenie krótkim czasie jest prędkością chwilową w czasie t. Definicja prędkości chwilowej. Prędkość chwilowa jest graniczną wartością ilorazu przemieszczenia i czasu w którym to przemieszczenie nastąpiło. Wartość graniczna, czyli taka, gdy czas, w którym obliczamy ten iloraz jest dowolnie mały. Zapisujemy to jako: r r v(t) = = d 0. Ponieważ wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k, to wektor przemieszczenia równy jest: r = r(t+ t) - r(t) =[x(t+ t)-x(t)] i + [y(t+ t) - y(t)]j + [z(t+ t) - z(t)]k. Wstawiając to do definicji prędkości otrzymamy: v(t) = 0 [ x(t + ) - x(t) ] i + [y(t + ) - y(t)] j + [z(t + ) - z(t)] k, oraz po pogrupowaniu wyrazów i skorzystaniu z twierdzenia o granicy sumy funkcji: [x(t v(t) = 0 + )- x(t) ] [y(t i )- y(t)] j+ 0 [z(t + )- z(t)] k, czyli ostatecznie:

3 dx dy dz dr v (t) = i + j+ k =. Korzystając z wzoru określającego prędkość jako pochodną wektora wodzącego i formalnie podstawiając ogólne wyrażenie opisujące wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k uzyskamy: dx(t) di dy(t) dj v(t) = i + x(t) + j+ y(t) + dz(t) dk k + z(t). Ponieważ wersory i, j oraz k nie zmieniają kierunku (mają też oczywiście stałą długość) to ich pochodne po czasie są zerowe. Jak się wkrótce przekonamy w innych układach odniesienia nie zawsze musi to być prawdą.) Przykład do samodzielnego rozwiązania. Spróbuj policzyć samodzielnie składową prędkości w kierunku osi x oraz w kierunku osi y dla rzutu ukośnego, czyli wyrzuconego pod kątem α do poziomu z prędkością o wartości v 0. Wiemy, że x=(v 0 cos α)t, a y=(v 0 sin α)t 0.5gt 2. Prędkośc średnia. Definicja prędkości średniej. Prędkość średnia określona jest jako iloraz wektora przemieszczenia, które nastąpiło w skończonym czasie t do wartości tego przedziału czasu t: r v (t) = średnie. Przyspieszenie i jego składowe w układzie kartezjańskim. Definicja przyspieszenia chwilowego. Jest to analogia do definicji wektora prędkości chwilowej. Przyspieszenie określa nam szybkość zmiany wektora prędkości. Wektor przyspieszenia chwilowego w czasie t jest granicą ilorazu zmiany prędkości dv do czasu, w którym ona nastąpiła, czyli formalnie: v v a(t) = = d 0 Przykład do samodzielnego rozwiązania. Jak zmienia się wektor przyspieszenia całkowitego podczas rzutu ukośnego punktu materialnego? Użyj obliczonych poprzednio wartości v x i v y. Wektor przyspieszenia w układzie kartezjańskim - zapis w formalizmie wersorowym. Przyspieszenie można przedstawić w układzie kartezjańskim jako wektor o trzech współrzędnych: a = a x i + a y j + a z k Składowe: a x i, a y j, a z k są wektorami powstałymi przez prostokątne rzutowanie wektora a na osie OX, OY oraz OZ.

4 Zachodzą związki: a x = dv x, a y = dv y, a z = dv z, które wynikają z definicji wektora przyspieszenia jako pochodnej wektora prędkości oraz przedstawienia wektora prędkości w formie zapisu z użyciem wersorów: v = v x i + v y j + v z k Przyspieszenie średnie. Definicja przyspieszenia średniego. Przyspieszenia średnie jest ilorazem zmiany wektora prędkości v, która nastąpiła w skończonym czasie t do wartości tego przedziału czasu t: v a średnie(t) =. Zarówno średnia prędkość jak i średnie przyspieszenie są wielkościami wektorowymi. DODATEK: Przyspieszenie styczne i normalne. Można pokazać, że przyspieszenie można rozłożyć na dwie składowe: styczną do toru: d v es oraz normlną(prostopadłą) do toru: v 2 ρ e n. Zapis wektorowy jest pokazany poniżej: a= d v = d v es + v 2 ρ e n. UWAGA - Wnioski końcowe. To jest najważniejsze!! Wartość przyspieszenia stycznego d v określa nam jak zmienia się wartość prędkości w ruchu, natomiast wartość przyspieszenia normalnego v 2 określa jaka jest krzywizna toru ρ czyli zawiera informację o zmianie kierunku wektora prędkości. Problem: Kiedy v=const, a przyspieszenie całkowite a 0? [odpowiedź na końcu tekstu]

5 Klasyfikacja ruchów ze względu na przyspieszenie. Przyspieszenie: a= d v = d v es + v 2 ρ e n = a s e s +a n e n kierunek prędkości stały, wartość stała - ruch prostoliniowy jednostajny. a s = 0, a n =0, ρ kierunek prędkości stały, wartość zmienna - ruch prostoliniowy zmienny a s niezerowe, a n = 0, ρ kierunek prędkości zmienny, wartość stała - ruch krzywoliniowy po okręgu a s = 0, a n stałe i różne od zera, ρ=r i stałe równe promieniowi okręgu. kierunek prędkości zmienny, wartość zmienna - ruch krzywoliniowy zmienny a s zmienne, a n zmienne, ρ zmienne. Sprawdź czy to rozumiesz. Sam(a) spróbuj opisać przy użyciu pojęć przyspieszenia stycznego i normalnego różne znane Ci z życia codziennego lub z kursu fizyki szkolnej przykłady ruchów. Ja zaproponuję kilka przykładów: Przykłady. Robert Kubica wchodzi w zakręt (dla uproszczenia jest to ćwierć długości okręgu o stałym promieniu R). Wartość prędkości na łuku jest stała. Jakie są wartości przyspieszeń stycznego i normalnego na tym łuku. Miotacz młotem Szymon Ziółkowski wykonuje cztery obroty trzymając młot za uchwyt i zwiększając swoją prędkość kątową. Oszacuj jak zmienia się w tej fazie rzutu (od początku wykonywania obrotów do chwili wyrzutu) wartość przyspieszenia stycznego a jak normalnego. Czyli określ czy rośnie czy maleje czy pozostaje niezmieniona. Odpowiedź : Kiedy v=const, a przyspieszenie całkowite a 0? Jest to ruch po okręgu. Przyspieszenie styczne wynosi zero, bo prędkość ma stałą wartość, natomiast normalne jest różne od zera ponieważ tor jest krzywoliniowy i promień krzywizny jest tu stały i równy promieniowi okręgu.