RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

2 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0, y 0 ), lecz ma w tym punkcie skończoną granicę g, to przedłużamy funkcję f przyjmując f (x 0, y 0 ) = g. Jeżeli w punkcie (x 0, y 0 ), funkcja ma granicę niewłaściwą, to rozpatrujemy równanie odwrócone dx dy 1 f ( x, y) Rozwiązania równania odwróconego dołączamy do zbioru rozwiązań równania wyjściowego.

3 Obszar określoności równania Przykład Zbiorem określoności równania y' 1 x jest cała płaszczyzna. Definicja Punkt (x 0, y 0 ), w którym funkcja f staje się wyrażeniem nieoznaczonym [0] postaci [0] nazywamy punktem osobliwym. Punkty osobliwe nie należą do obszaru oznaczoności równania. 3

4 Interpretacja geometryczna Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu pierwszego w postaci normalnej W każdym punkcie obszaru określoności D równanie y' f ( x, y) określa tangens kąta nachylenia stycznej do krzywej całkowej (współczynnik kierunkowy). Definicja Elementem kierunkowym nazywamy odcinek o środku w punkcie (x 0, y 0 ) D, który tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox kąt arctg f ( x 0, y0) Zbiór wszystkich elementów kierunkowych tworzy pole elementów kierunkowych (pole kierunków). 4

5 Definicja Izokliną nazywamy krzywą na której pochodna ma stałą wartość, tzn. krzywą o równaniu f ( x, y) a const, a f ( D) (zbiór punktów obszaru D, którym odpowiada ta sama wartość współczynnika kierunkowego stycznej). Przykład Izokliny równania y' x y wyznaczamy z warunku Interpretacja geometryczna x a, y czyli y Są nimi proste przechodzące przez punkt (0, 0) bez punktu (0, 0). x a 5

6 Interpretacja geometryczna Przykład (c. d.) y izoklina y x x krzywe całkowe równania mają postać x y C Metoda graficznego, przybliżonego znajdowania krzywych całkowych równania w oparciu o jego pole kierunków nazywa się metodą izoklin. 6

7 Metoda izoklin Przykład y y x x 7

8 Metoda izoklin Przykład 8

9 Metoda izoklin Przykład 9

10 Metoda izoklin Przykład 10

11 Przykład Metodą izoklin wyznaczyć krzywe całkowe równania y' x Metoda izoklin y Rozwiązanie równania nie da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych! 11

12 Metoda izoklin Adresy appletów do generowania pól kierunków

13 Definicja Jeżeli dla każdej wartości parametru C z pewnego przedziału równanie F ( x, y, C) 0 określa krzywą, to nazywamy je równaniem rodziny krzywych (linii). Przykład Równanie x y C 0 gdzie C > 0,określa rodzinę okręgów o środkach w początku układu współrzędnych. Linie ortogonalne y O x 13

14 Linie ortogonalne Definicja Równanie różniczkowe F ( x, y, y') 0 nazywamy równaniem różniczkowym rodziny krzywych Φ ( x, y, C) 0, jeżeli krzywe całkowe równania są krzywymi tej rodziny. Aby wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny krzywych różniczkujemy po x równanie rodziny i eliminujemy parametr C z układu równań Φ( x, y, C) 0 ' Φx ( x, y, C) Φ ' y ( x, y, C) y' 0 14

15 Linie ortogonalne Przykład Wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny parabol y Cx 0. Różniczkujemy równanie i eliminujemy parametr C z układu równań y Cx 0 y' Cx 0 Otrzymujemy równanie różniczkowe 1 y xy' 0 15

16 Definicja Linie ortogonalne Rodziny krzywych Φ ( x, y, C) 0 oraz Ψ ( x, y, D) 0 są ortogonalne, jeżeli w każdym punkcie przecięcia krzywych z obu rodzin, krzywe tworzą kąt prosty. Stwierdzenie Jeżeli F ( x, y, y') 0 jest równaniem różniczkowym rodziny krzywych, to równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonalnych ma postać Uwaga 1 F( x, y, ) 0 y ' W przypadku równania danego w postaci normalnej y' f ( x, y) równanie różniczkowe linii ortogonalnych ma postać 1 f ( x, y) y' 16

17 Linie ortogonalne Przykład Wyznaczyć równanie rodziny linii ortogonalnych do rodziny parabol y Cx 0. Wyznaczamy równanie różniczkowe rodziny parabol (poprzedni przykład) 1 xy' 0 y. Konstruujemy równanie różniczkowe linii ortogonalnych zastępując 1 przez y' 1 yy' x 0 Rozwiązaniem równania (o zmiennych rozdzielonych) jest rodzina elips x y C y ' 17

18 Linie ortogonalne Przykład (c. d.) y y Cx 0 o x x y C 18

19 Zastosowanie równań różniczkowych Przykład (zjawisko promieniotwórczości naturalnej) Z badań eksperymentalnych wiadomo, że prędkość z jaką zmniejsza się masa izotopu jest proporcjonalna do masy m izotopu w danej chwili t. Opisuje to równanie Wyznaczymy rozwiązanie tego równania. Po rozdzieleniu zmiennych równanie można zapisać w postaci Jego rozwiązanie jest dane wzorem lub 19

20 Przykład (c. d.) Wartość rozwiązania równania dla t = 0 wynosi m(0) = C 0. Jest to masa izotopu w chwili rozpoczęcia procesu rozpadu (oznaczymy ją symbolem m 0 ). Zależność Zastosowanie równań różniczkowych m(t) = m 0 e at w przypadku, gdy a < 0, jest tzw. prawem zaniku (rozpadu). Stałą a nazywamy stałą zaniku. Charakterystyczną wartością dla tego procesu jest okres połowicznego zaniku t 1/ określony przez zależność Mamy więc Stąd 0

21 Zastosowanie równań różniczkowych Przykład (c. d.) Gdy w równaniu stała a jest dodatnia, to mówimy, że rozwiązanie m(t) = m 0 e at. określa prawo wzrostu. Stała a jest w tym przypadku stałą wzrostu. Rozwiązanie to możemy interpretować jako prawo, wedle którego wzrasta liczebność pewnej populacji wtedy, gdy szybkość jej przyrostu jest proporcjonalna do liczebności w danej chwili. 1

22 Zastosowanie równań różniczkowych Przykład (obwód elektryczny RL) Rysunek przedstawia obwód elektryczny szeregowy typu RL, w którym rezystancja (oporność) całkowita wynosi R omów, zaś indukcyjność L henrów. Źródło stałej siły elektromotorycznej, załączanej przełącznikiem, ma wartość V woltów. R i UV U R U L L

23 Przykład (c. d.) Zastosowanie równań różniczkowych Chwilową wartość natężenia prądu i = i(t), (t w sekundach) płynącego w obwodzie po zamknięciu przełącznika opisuje równanie (Zauważmy, że dla L = 0 równanie to ma postać prawa Ohma Ri = V.) Rozwiązanie równania pozwala określić wartość prądu płynącego w obwodzie po jego zamknięciu. Przyjmijmy t = 0 jako moment zamknięcia obwodu. Zatem będziemy rozważać równanie dla t [0, ), z warunkiem początkowym i(0) = 0. Jest to równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach, które w standardowej postaci przedstawia się następująco tzn. p(x) = R/L, f(x) = V/L. 3

24 Zastosowanie równań różniczkowych Przykład (c. d.) Wyznaczając CORJ, a następnie stosując metodę przewidywań, bądź uzmiennienia stałej dostajemy CORN gdzie C jest stałą. Uwzględniając warunek początkowy i(0) = 0 dostajemy Zatem CSRN spełniająca warunek początkowy jest dana wzorem Oznacza to, że prąd płynący w obwodzie jest zawsze mniejszy od I = V/R, lecz dąży do tej wartości, gdy t dąży do nieskończoności (rys. poniżej). I = V/R jest wartością prądu jaki by płynął w obwodzie bez indukcyjności (L= 0), lub gdyby di/dt = 0, tzn. gdyby prąd płynący w obwodzie był stały. 4

25 Zastosowanie równań różniczkowych Przykład (c. d.) i V/R 0 L/R *L/R 3*L/R t Wprawdzie stan ustalony jest wartością graniczną, lecz z otrzymanego wzoru łatwo wyliczyć, że już po upływie trzech tzw. stałych czasowych obwodu, określonych wzorem t = L/R, natężenie prądu osiąga poziom 95% wartości maksymalnej (jest to widoczne na rysunku). 5

26 Zastosowanie równań różniczkowych Równania różniczkowe zwyczajne są podstawowym środkiem opisu zjawisk dynamicznych w mechanice teoretycznej. Przykład (siła oporu proporcjonalna do prędkości) Rozważymy przykład ruchu prostoliniowego ciała o masie m, w którym siła oporu jest wprost proporcjonalna do prędkości. Model ten może opisywać wpływ siły oporu ośrodka (powietrza, lub wody) na poruszający się obiekt. Równanie ma wówczas postać Rozwiązaniem równania jest funkcja gdzie v 0 jest prędkością początkową (dla t = 0). 6

27 Zastosowanie równań różniczkowych Przykład (c. d.) Jest to oczywiście sytuacja wyidealizowana - czas niezbędny do zatrzymania ciała (v = 0) dąży do nieskończoności! W praktyce interesuje nas czas osiągnięcia prędkości dostatecznie małej. Przy takiej interpretacji widać, że ciało o dużej masie będzie miało dłuższą drogę hamowania. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z zależności Całkując po t dostajemy Po uwzględnieniu warunku początkowego s(0) = 0 mamy Przechodząc do granicy, przy t dążącym do nieskończoności, stwierdzamy, że dystans jaki przebędzie ciało nie przekroczy wartości (v 0 m)/k. 7

28 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ 8