Definicja pochodnej cząstkowej

Transkrypt

1 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie nazywamy granicę (o ile ona istnieje) Oznaczenia: Sposób liczenia Pochodną w punkcie liczymy tak jak pochodną funkcji jednej zmiennej traktując przy jej obliczaniu jako stały parametr. Podobnie liczymy pochodną po y. Pochodne funkcji jednej zmiennej dla odróŝnienia od pochodnych cząstkowych nazywamy zwyczajnymi. Dla pochodnych cząstkowych mają miejsce podobne twierdzenia dotyczące pochodnej sumy, róŝnicy funkcji, iloczynu funkcji i ilorazu jak dla pochodnych zwyczajnych. I tak na przykład i tak dalej. Interpretacja geometryczna Niech równanie przedstawia powierzchnię w przestrzeni.

2 2 z 8 Pochodna cząstkowa jest pochodną funkcji jednej zmiennej, a więc współczynnikiem kątowym stycznej w punkcie do krzywej, opisanej przez parę równań:, czyli przekroju danej powierzchni płaszczyzną. Oznacza to, Ŝe, gdzie jest kątem jaki tworzy z osią równoległą do osi styczna do krzywej w punkcie. Podobnie, gdzie jest kątem jaki tworzy z osią równoległą do osi prosta styczna do krzywej w punkcie. Uwaga Pojęcie pochodnej cząstkowej mozna uogólnic na funkcje dowolnej liczby zmiennych. JeŜeli to Pochodne wyŝszych rzędów Niech funkcja gdzie ma pochodną cząstkową we wszystkich punktach pewnego otwartego zbioru Wtedy dla określona jest funkcja JeŜeli funkcja ta ma pochodną dla pewnego i to pochodną tę nazywamy pochodną drugiego rzędu albo drugą pochodną funkcji względem i i oznaczamy przez W przypadku gdy pochodne te zapisujemy jako

3 3 z 8 Pochodne drugiego rzędu w przypadku gdy nazywamy mieszanymi. a wtedy i W podobny sposób (pochodne trzeciego rzędu to pochodne pochodnych drugiego rzędu itd.) wprowadza się pochodne wyŝszych rzędów. Twierdzenie o równości pochodnych mieszanych JeŜeli pochodne i są ciągłe w otoczeniu punktu to Twierdzenie o przyrostach skończonych JeŜeli funkcja, gdzie jest zbiorem otwartym, ma pochodne ciągłe w otoczeniu punktu, to dla kaŝdego punktu naleŝącego do tego otoczenia istnieje taka, Ŝe RóŜniczka funkcji Niech będzie zbiorem z, a jego punktem wewnętrznym. Będziemy rozpatrywać punkty z otoczenia punktu zawartego w. Funkcja nazywa się róŝniczkowalna w punkcie, jeŝeli funkcja ta ma wszystkie pochodne pierwszego rzędu w punkcie i istnieje funkcja rzeczywista określona dla rozpatrywanych punktów taka, Ŝe przy czym Warunek wystarczający rózniczkowalności JeŜeli funkcja ma w pewnym otoczeniu punktu pochodne cząstkowe i pochodne

4 4 z 8 te są ciągłe, to funkcja jest w tym punkcie róŝniczkowalna. Definicja gradientu Gradientem funkcji róŝniczkowalnej w punkcie nazywamy wektor Piszemy Definicja róŝniczki Funkcja nazywa się róŝniczkowalna na zbiorze jeŝeli jest róŝniczkowalna w kaŝdym punkcie tego zbioru. WyraŜenie (tzw. liniowa część przyrostu funkcji ) nazywa się róŝniczką funkcji w punkcie. RóŜniczkę tę oznaczamy przez i piszemy gdzie. JeŜeli funkcja jest róŝniczkowalna w punkcie i odległość jest mała, to do obliczenia przybliŝonej wartości stosuje się często wzór Przykład. ZałóŜmy, Ŝe chcemy obliczyć przybliŝoną wartość wyraŝenia Pochodna kierunkowa Niech dana będzie funkcja niech punkt będzie punktem wewnętrznym i niech wektor będzie taki, Ŝe (wektor taki nazywamy wersorem). JeŜeli istnieje skończona granica to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji w kierunku wektora w punkcie Pochodną tę oznaczamy przez. (1)

5 5 z 8 Twierdzenie JeŜeli funkcja jest róŝniczkowalna w punkcie i pochodne są ciągłe, to dla dowolnego kierunku istnieje pochodna kierunkowa w punkcie i moŝna ją przedstawić w postaci Przykład. Znaleźć pochodną kierunkową funkcji w punkcie w kierunku Mamy tu więc Komentarz. Jak wiemy wektor nazywamy gradientem funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem. Prawą stronę wzoru moŝemy teraz zapisać jako iloczyn skalarny wektorów i Z własności iloczynu skalarnego wynika, Ŝe pochodna kierunkowa w punkcie osiąga wartość największą, gdy wektor jest zgodnie równoległy z wektorem i ma wartość najmniejszą, gdy wektory te są przeciwnie równoległe. Pochodna kierunkowa jest miarą wzrostu wartości funkcji w punkcie w kierunku wersora Wektory i wskazują kierunki najszybszego wzrostu i najszybszego spadku funkcji w punkcie. Ekstrema lokalne Niech dana będzie funkcja, gdzie. Niech będzie punktem wewnętrznym zbioru.

6 6 z 8 Mówimy, Ŝe funkcja osiąga w punkcie maksimum lokalne, jeŝeli istnieje takie otoczenie tego punktu, Ŝe dla punktów z tego otoczenia. JeŜeli istnieje otoczenie, w którym punkcie., to mówimy, Ŝe funkcja osiąga minimum lokalne w Warunek konieczny istnienia ekstremum JeŜeli funkcja ma ciągłe pochodne w punkcie wewnętrznym i w punkcie tym osiąga lokalne ekstremum, to Punkt, w którym spełnione są warunki nazywa się punktem stacjonarnym. JeŜeli funkcja ma ciągłe pochodne w zbiorze otwartym, to moŝe ona osiągać ekstremum jedynie w punktach stacjonarnych. Nie zawsze w punkcie stacjonarnym osiągane jest ekstremum (podany wyŝej warunek to warunek konieczny, a nie dostateczny). Przykład: funkcja z w, taka, Ŝe nie osiąga w punkcie ekstremum (, w I i II ćwiartce układu współrzędnych wartości funkcji są dodatnie, a w III i IV ujemne), chociaŝ obie pochodne w tym punkcie są równe zero, a więc punkt ten jest stacjonarny. Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji 2 zmiennych Niech funkcja dwóch zmiennych i ma ciągłe pochodne do drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu

7 7 z 8 Wprowadźmy w tym otoczeniu funkcję taką, Ŝe JeŜeli, to funkcja ma w punkcie ekstremum lokalne właściwe: maksimum, gdy a minimum, gdy. JeŜeli, to funkcja nie osiąga ekstremum w punkcie. W przypadku gdy twierdzenie nie rozstrzyga czy w punkcie mamy ekstremum. Uwagi na temat przybliŝonego szukania ekstremów Znajdowanie wartości ekstremalnych (lokalnych i globalnych) funkcji jest jednym z najwaŝniejszych zastosowań rachunku róŝniczkowego. Przedstawione wyŝej podejście analityczne do tego problemu moŝe być stosowane jedynie do dostatecznie prostych funkcji. Obecnie rozwaŝymy zagadnienie znajdowania wartości ekstremalnych w przypadku gdy złoŝoność funkcji uniemoŝliwia podejście analityczne i musimy zastosować metodę przybliŝoną. Wśród duŝego bogactwa takich metod wyróŝnia się metoda gradientowa. Rozpatrzymy działanie tej metody na przykładzie funkcji dwóch zmiennych przyjmując, Ŝe poszukujemy minimum (w podobny sposób poszukuje się.maksimum) Przesłanki teoretyczne metody są następujące. ZałóŜmy, Ŝe funkcja ma minimum w punkcie. RozwaŜmy warstwicę funkcji znajdującą się w pewnym otoczeniu punktu i niech będzie punktem tej warstwicy. Wektor wskazuje kierunek najszybszego spadku wartości funkcji w punkcie. Kierunek ten moŝe być uznany jako właściwy przy poszukiwaniu punktu punkcie. gdy znajdujemy się w W wersji podstawowej przebieg algorytmu poszukiwania punktu minimum jest następujący. Kolejne przybliŝenia punktu wyznaczamy według schematu: (0) Ustalamy przybliŝenie początkowe Przyjmujemy.

8 8 z 8 (1) Wyznaczamy kierunek poszukiwań w punkcie (2) WzdłuŜ kierunku wykonujemy krok o długości i określamy współrzędne następnego przybliŝenia (3) Podstawiamy. Powtarzamy cykl od punktu 1. Dobór długości kroku > 0 zaleŝy od wersji stosowanej metody.