Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Transkrypt

1 Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi, to [f() ± g()] d = f()d ± g()d. Wzory podstawowe a) b) c) d) e) f ) g) h) i) a d = a+ + C, dla a R, a. a + d = ln + C. d = arc tg + C. + d = arc ctg + C. + d = arc sin + C. d = arc cos + C. a d = a + C, a > 0. ln a sin d = cos + C. cos d = sin + C.

2 j ) k) l) m) n) o) d = tg + C. cos sin d = ctg + C. sinh d = cosh + C. cosh d = sinh + C. cosh d = tgh + C. sinh d = ctgh + C. 3 Całkowanie przez podstawienie Jeżeli funkcja ϕ jest różniczkowalna w sposób ciągły, to całkę podstawiając = ϕ(t). Wtedy f() d = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. f() d można przekształcić, Czasami jednak lepiej jest wykonać podstawienie t = ϕ(). Należy wtedy (o ile to możliwe), korzystając z formalnego równania dt = ϕ () d, zapisać f() d jako g(t) dt dla pewnej funkcji g. Wtedy, jeżeli g(t) dt = F (t) + C, to f() d = F (ϕ()) + C. 4 Całkowanie przez części Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne, to zachodzi wzór f()g () d = f()g() f ()g() d. Wybór funkcji f oraz g bywa trudny. Najczęściej jednak za funkcję f należy przyjąć tę, która występuje wcześniej w poniższej liście: a) funkcje logarytmiczne (np. ln ), b) funkcje cyklometryczne (np. arc sin ), c) funkcje algebraiczne (np. 5 ), d) funkcje trygonometryczne (np. sin ), e) funkcje wykładnicze (np. e ).

3 5 Całki zawierające trójmian kwadratowy 5. Całki typu m + n a + b + c d a) m = 0 Zapisując mianownik funkcji podcałkowej w postaci kanonicznej a następnie stosując podstawienie a + b + c = a( + k) + l, t = a + b, sprowadzamy rachunki do obliczenia całki t + A dt lub b) m 0 Mamy wtedy m + n a + b + c d = t A dt. m (a + b) + ( ) n mb a a d = a + b + c ( n mb ) a f () = m a ln a + b + c + W powyższej równości wykorzystaliśmy wzór ostatniej całki zastosować wcześniejszą metodę. 5. Całki typu m + n a + b + c d f() a + b + c. d = ln f(). Pozostaje teraz do Podobnie jak w przypadku całek z punktu 5. zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej i podstawiamy t = a + b, co sprowadzi całkę do t + A dt dla a > 0 lub 5.3 Całki typu Stosując podstawienie (m + n) a + b + c d t = sprowadzamy całkę do postaci z punktu 5.. m + n dt dla a < 0. A t 5.4 Całki typu a + b + c d Ponownie przekształcamy trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej, a następnie wykonujemy standardowe podstawienie liniowe. Do obliczenia pozostanie całka A t dt lub t + A dt. 3

4 6 Całki funkcji wymiernych Niech P oraz Q, Q 0, będą dowolnymi wielomianami. Interesuje nas znalezienie całki z funkcji wymiernej R() = P (), to znaczy Q() P () R() d = Q() d. Jeżeli stopień wielomianu P jest nie mniejszy od stopnia wielomianu Q, to należy najpierw wykonać dzielenie z resztą wielomianu P przez Q. Wtedy P () = q()q() + r(), gdzie stopień reszty r jest mniejszy od stopnia Q. Stąd R() d = q() d + r() Q() d. Będziemy zatem od tej pory zakładać, że licznik ma mniejszy stopień od mianownika. 6. Metoda współczynników nieoznaczonych Wielomian Q można rozłożyć na iloczyn czynników nierozkładalnych, to znaczy Q() = ( a ) α... ( a n ) αn ( + b + c ) β... ( + b m + c m ) βm, () gdzie żaden z wielomianów + b i + c i nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wtedy istnieją stałe A j i, Bl k, C l k R, takie że R() = P () Q() = A A + a ( a ) A α ( a ) α + An A n + a n ( a n ) A n α ( a n ) + αn B + C B + + C + b + c ( + b + c ) B β + Cβ ( + b + c ) β + Bm + C m B m + C m + + b m + c m ( + b m + c m ) Bβ m + Cβ m. () ( βm + b m + c m ) Po wymnożeniu równania () obustronnie przez Q(), nieznane stałe można wyznaczyć na przykład poprzez I sposób porównanie współczynników przy odpowiednich potęgach -ów, II sposób wstawienie do przekształconego równania () dowolnych wartości rzeczywistych, otrzymując układ równań do rozwiązania. Mając dany rozkład na ułamki proste, aby znaleźć całkę R() d zauważmy najpierw, że A j i ( a j ) d = α α A j i ( a j ). α 4

5 Pozostaje zatem wyznaczyć całki typu B + C d. (3) ( + b + c) n Na początek, przez sprowadzenie trójmianu do postaci kanonicznej oraz odpowiednie podstawienie, przekształcamy całkę (3) do postaci D + E ( + ) n d, a następnie rozdzielamy D + E ( + ) d = D n ( + ) d + E n ( + ) n d. Oczywiście, po zastosowaniu podstawienia + = t, otrzymujemy ( + ) d = n t dt = n ( n) t =. (4) n ( n) ( + ) n Całki ( + ) n d nie wyznaczymy eplicite, natomiast podamy formułę redukcyjną, która umożliwi wyznaczania jej wartości dla konkretnego n. Oznaczmy najpierw I n = ( + ) d. n Wtedy I n = + ( + ) d = n d ( + ) n ( + ) d = I n n ( + ) d. n Na mocy wzoru na całkowanie przez części, wykorzystując równość (4), otrzymujemy I n = I n ( n) ( + ) + d = n ( n) ( + ) n = I n ( n) ( + ) + n ( n) I n = ( ) = (n ) ( + ) + I n n. (n ) Wystarczy zatem znać wartość I = d = arc tg oraz skorzystać z formuły redukcyjnej, aby obliczyć dowolną całkę typu + (3). 6. Metoda Ostrogradskiego W przypadku, gdy wielomian Q ma pierwiastki wielokrotne (co oznacza, że w rozkładzie () przynajmniej jedna z liczb α i, β j jest większa od ) wiemy, że R() d = X() Y () Q () + d, (5) Q () 5

6 gdzie Q jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów Q i Q (pochodnej wielomianu Q), a wielomian Q dany jest równością Q () = Q() Q (). Funkcje X oraz Y są wielomianami, których stopnie są mniejsze odpowiednio od stopni wielomianów Q i Q. Współczynniki X, Y można wyznaczyć różniczkując równość (5). 7 Całki funkcji niewymiernych 7. Całki typu R [, ( ) a + b p c + d q, ( a + b c + d ) p q,... ] Niech R() = R [, ( ) a + b p c + d q, ( a + b c + d ) p q,... ] ) p q,... dla pewnych liczb całko- ( ) a + b p będzie funkcją wymierną zmiennych, c + d witych p, q, p, q,.... Wtedy całkę R() d q, ( a + b c + d znajdujemy przez podstawienie t n = a + b c + d, gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników q, q,..., sprowadzając ją do jednej z całek rozważanych wcześniej. 7. Całki typu P n () a + b + c d Jeżeli P n jest wielomianem stopnia n, to powyższą całkę można zapisać jako P n () a + b + c d = Q n () a + b + c + λ d, (6) a + b + c gdzie Q n jest wielomianem stopnia n, a λ pewną liczbą rzeczywistą. Współczynniki wielomianu Q n oraz stałą λ znajdujemy, różniczkując równość (6). 7.3 Całki typu ( a) n a + b + c d Powyższa całka sprowadza się do całki z punktu 7. przez podstawienie t = a. 6

7 8 Całki dwumienne m (a + b n ) p d Niech liczby m, n oraz p będą wymierne. Całkę dwumienną można przedstawić jako kombinację funkcji elementarnych wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z warunków a) p jest liczbą całkowitą (otrzymujemy całkę z sumy jednomianów). b) m + jest liczbą całkowitą. Stosujemy wtedy podstawienie t s = a + b n, gdzie s jest n mianownikiem liczby p. c) m + n + p jest liczbą całkowitą. Stosujemy wtedy podstawienie t s = a n + b. 9 Całki funkcji trygonometrycznych 9. Całki typu sin m cos n d Oznaczmy powyższą całkę przez I m,n dla dowolnych liczb całkowitych m, n. W zależności od parzystości m oraz n stosujemy jedną z poniższych metod: a) m = k + jest dodatnią liczbą nieparzystą. Wtedy I m,n = sin k sin cos n d = ( cos ) k cos n sin d i stosujemy podstawienie t = cos. b) n = k + jest dodatnią liczbą nieparzystą. Podobnie jak poprzednio I m,n = sin m cos k cos d = sin m ( sin ) k cos d i stosujemy podstawienie t = sin. c) m i n są dodatnimi liczbami parzystymi. Przekształcamy całkę, wykorzystując wzory trygonometryczne sin = cos (), cos = + cos (), sin cos = sin (). d) m i n są ujemnymi liczbami jednakowej parzystości. Mamy I m,n = sin m cos n cos d = ( = + ) m/ ( + tg ) n = tg ( + t ) m+n t m wykorzystując podstawienie t = tg. dt, cos d = 7

8 e) n = m. Zapisujemy całkę w postaci tg m d lub był dodatni. Następnie wykorzystujemy tożsamość ctg m d, tak aby wykładnik m tg = cos lub ctg = sin. f ) W pozostałych przypadkach można wykorzystać metodę redukcyjną, podobną do przedstawionej w punkcie Całki typu W całkach postaci wykorzystujemy wzory sin (m) cos (n) d sin (m) cos (n) d, sin (m) sin (n) d lub sin (m) cos (n) = [sin (m + n) + sin (m n)], sin (m) sin (n) = [cos (m n) cos (m + n)], cos (m) cos (n) = [cos (m n) + cos (m + n)]. cos (m) cos (n) d 9.3 Całki typu R(sin, cos ) d Jeżeli R jest funkcją wymierną, to przez podstawienie t = tg możemy sprowadzić badaną całkę do całki funkcji wymiernej. Korzystamy przy tym z tożsamości sin = t t dt, cos =, d = + t + t + t. W przypadku, gdy zachodzi równość R(sin, cos ) = R( sin, cos ), możemy podstawiać Wtedy t = tg. sin = t, cos = dt, = arc tg t, d = + t + t + t. Uwaga. Analogicznych metod jak we wszystkich powyższych typach można używać do całek funkcji hiperbolicznych. 8

9 0 Podstawienie trygonometryczne i hiperboliczne 0. Całki typu R(, a + b + c) d Przez sprowadzenie trójmianu do postaci kanonicznej oraz standardowe podstawienie przekształcamy całkę do jednej z poniższych postaci a) R(t, A t ) dt, b) c) R(t, A + t ) dt, R(t, t A ) dt. Następnie, stosujemy odpowiednie podstawienia a) t = A tgh u lub t = A sin u, b) t = A sinh u lub t = A tg u, c) t = A cosh u lub t = A cos u. Warto przy tej okazji pamiętać o podstawowych tożsamościach hiperbolicznych cosh u sinh u =, sinh u = cosh (u), cosh u = cosh(u) +, sinh u cosh u = sinh (u). Ponadto, jeżeli t = sinh u, to natomiast jeżeli t = cosh u, to cosh u = + t, u = ln (t + t + ), sinh u = t, u = ln(t t ). 9