Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Transkrypt

1 Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i zwrotu (torem jest linia prosta a przyspieszenie ma stałą, niezerową wartość). a a=const, a>0 ruch jednostajnie przyspieszony t 0 a=const, a<0 ruch jednostajnie opóźniony Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jeśli przyjmiemy, że:, to otrzymamy zależność: Z ostatniej zależności wynika, że jest to zależność liniowa. Jest to ruch po linii prostej, w którym wartość prędkości zmienia się liniowo wraz z upływem czasu. Założenie: rozpatrywane ciało (punkt materialny) porusza w stronę zgodną ze zwrotem przyjętej osi współrzędnych. Wtedy współrzędne wektora prędkości początkowej i końcowej są dodatnie. ruch jednostajnie przyspieszony 2 ruch jednostajnie opóźniony ruch jednostajnie przyspieszony Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 1

2 Uwaga: 1. Ruchy, w których prędkość zmienia się nieliniowo wraz z upływem czasu, nazywa się niejednostajnie zmiennymi. 2. Jeżeli dowolna wielkość zmienia się liniowo wraz z upływem czasu, to jej wartość średnia w rozpatrywanym przedziale czasu jest równa średniej arytmetycznej liczonej dla wartości skrajnych tej wielkości w rozpatrywanym przedziale czasu. ś Droga w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym. Wprowadzenie: jeżeli dany jest wykres zależności v=f(t), to miarą przebytej drogi przez ciało jest pole figury pod tym wykresem, obliczone dla rozpatrywanego przedziału czasu. P v=f(t) Dla ruchu jednostajnie zmiennego zależność ta jest liniowa, można ją przedstawić na przykład następująco: I sposób. Miarą przebytej drogi jest pole trapezu ograniczonego wierzchołkami ABDE. Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 2

3 Jeśli przyjmiemy, że: to otrzymamy zależność: II sposób. Korzystając z własności wykresu v(t), można stwierdzić, że miarą drogi przebytej przez ciało w rozpatrywanym przedziale czasu jest suma pól prostokąta ACDE i trójkąta ABC. Ale: III sposób. Eliminujemy z obu równań czas ruchu. Po prostych przekształceniach: Korzystając z tej zależności, należy pamiętać, że: a. w ruchu jednostajnie przyspieszonym podstawić dodatnią wartość przyspieszenia, b. w ruchu jednostajnie opóźnionym podstawić ujemną wartość przyspieszenia,. Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 3

4 Graficzna interpretacja zależności s=f(t) Założenie: rozpatrywane ciało (punkt materialny) porusza w stronę zgodną ze zwrotem przyjętej osi współrzędnych. Wtedy: dla ruchu jednostajnie przyspieszonego dla ruchu jednostajnie opóźnionego Jeśli przyjmiemy, że:, to: Wniosek: Wartość odległości ciała od wybranego poziomu odniesienia jest funkcją kwadratową czasu trwania ruchu, tzn., że wykresem tej zależności jest parabola. Założenie dodatkowe: w chwili początkowej rozpatrywane ciało znajdowało się w punkcie 0 lub po dodatniej stronie wybranej osi współrzędnych:. Pewne własności ruchu jednostajnie przyspieszonego, bez prędkości początkowej. 1. Drogi przebyte przez ciało w ciągu kolejnych pojedynczych sekund ruchu, mają się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste. Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 4

5 2. Drogi przebyte przez ciało w ciągu kolejnych n pierwszych sekund ruchu (liczonych od chwili początkowej), mają się do siebie, jak kwadraty kolejnych liczb naturalnych. Przykład 1. Przykładowe zadania rachunkowe Ciało poruszające się z prędkością 20 m/s, zaczęło w pewnej chwili hamować ze stałym przyspieszeniem 2 m/s 2. Oblicz drogę przebytą przez ciało w ciągu 10 sekund takiego ruchu i prędkość ciała po tym czasie, jeżeli w chwili początkowej odległość ciała od punktu odniesienia wynosiła 10 m. Dane: v o= 20 m/s, a = 2 m/s 2 (ruch opóźniony!), t = 10 s, t o= 0 s, s o= 10 m, Szukane: Rozwiązanie: Z wzoru: podstawieniu danych można obliczyć odległość ciała od punktu odniesienia po czasie t: s = 110 m. Szukana droga:, stąd:. Prędkość końcową ciała można obliczyć z zależności: Po podstawieniu danych: (ciało zatrzymało się). Przykład 2. Ciało początkowo nieruchome, zaczęło się poruszać ruchem jednostajnie przyspieszonym. Oblicz: a. drogę przebytą przez ciało w ciągu piątej sekundy ruchu, jeżeli w ciągu drugiej sekundy ruchu ciało przebyło 6 m, b. drogę przebytą w ciągu pierwszych sześciu sekund ruchu, jeżeli w ciągu pierwszych trzech sekund ruchu ciało przebyło 18 m. Dane: a., b. Szukane: a. b. Rozwiązanie: a. Na podstawie pierwszej własności ruchu jednostajnie przyspieszonego (bez prędkości początkowej) budujemy proporcję: b. Na podstawie drugiej własności ruchu jednostajnie przyspieszonego (bez prędkości początkowej) budujemy proporcję: Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 5

6 Uwaga: zadanie można również rozwiązać wyliczając najpierw przyspieszenie ciała (dłuższa sposób!), a następnie (punkt a) należy skorzystać z zależności: Drogę (punkt b) można wyliczyć potem wprost z gotowego wzoru (zadanie 1). Przykład 3. v [m/s] Pewne ciało poruszało się ruchem prostoliniowym. 30 Na podstawie zamieszczonego obok wykresu oblicz: a. drogę przebytą przez ciało w każdym z ruchów, b. całkowitą drogę przebytą przez ciało, c. szybkość średnią ciała na całej drodze, d. przyspieszenie ciała w każdym z ruchów. e. Sporządź wykresy: a=f(t), s=f(t) t [s] ) ciało poruszało się ruchem jednostaj- ) ruchem jednostajnie opóź- Rozwiązanie: Przez pierwsze 20 sekund ruchu ( nie przyspieszonym, a przez kolejne 30 sekund ( nionym. a. Z wykresu wynika, że dla ruchu przyspieszonego (I): Droga przebyta w ruchu przyspieszonym (I): Analogicznie można obliczyć drogę przebytą w ruchu jednostajnie opóźnionym (II): b. Całkowita droga jest sumą obu dróg: Drogę tę można było również wyliczyć bezpośrednio, jako pole figury (trójkąta) pod tym wykresem w rozpatrywanym przedziale czasu. (połowa iloczynu długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na podstawę) c. Z definicji szybkości średniej: Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 6

7 d. Z definicji przyspieszenia: e. Szukane wykresy. a [m/s 2 ] 1, t [s] s [m] 750 s II 300 s I t [s] Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - teoria Strona 7