6. Całka nieoznaczona

Transkrypt

1 6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35

2 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 2 / 35

3 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 2 / 35

4 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 2 / 35

5 Całka nieoznaczona - zastosowania rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 3 / 35

6 Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 3 / 35

7 Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy C k (x)). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest C k (x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 3 / 35

8 Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy C k (x)). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest C k (x). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 3 / 35

9 Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 4 / 35

10 Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 4 / 35

11 Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta). Istnienie funkcji pierwotnej Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 4 / 35

12 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 5 / 35

13 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 5 / 35

14 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x lub x 2 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 5 / 35

15 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x lub x 2 2 i generalnie x 2 + C, gdzie C R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 5 / 35

16 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x lub x 2 2 i generalnie x 2 + C, gdzie C R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych. Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 5 / 35

17 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 6 / 35

18 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F 1 - dowolną funkcją pierwotną f. Wtedy F 2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C R takie, że dla każdego x D f F 2 (x) = F 1 (x) + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 6 / 35

19 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F 1 - dowolną funkcją pierwotną f. Wtedy F 2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C R takie, że dla każdego x D f F 2 (x) = F 1 (x) + C. C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 6 / 35

20 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 7 / 35

21 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie. Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x) = 2x, takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x) = x i rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 7 / 35

22 Całka nieoznaczona Całka nieoznaczona Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji f. Zapisujemy: f (x) dx = F (x) + C, (gdzie F (x) = f (x)). W powyższym zapisie jest symbolem całki, a dx - tego, że całkujemy po zmiennej x (nie wolno tego opuszczać w zapisie!), zaś f nazywa się funkcją podcałkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 8 / 35

23 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 9 / 35

24 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 9 / 35

25 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 9 / 35

26 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 9 / 35

27 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy) y = 2x (gdy y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y), 2xdy = 2xy + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 9 / 35

28 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy) y = 2x (gdy y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y), 2xdy = 2xy + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 9 / 35

29 Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 10 / 35

30 Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 10 / 35

31 Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy trudniejszych funkcjach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 10 / 35

32 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r, r 1 sin x cos x f (x)dx C x + C 1 r+1 x r+1 + C cos x + C sin x + C rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 11 / 35

33 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r, r 1 sin x cos x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C cos x + C sin x + C r+1 f (x) e x a x x cos 2 x sin 2 x f (x)dx e x a + C x + C ln x + C tg x + C ctg x + C ln a Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 11 / 35

34 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r, r 1 sin x cos x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C cos x + C sin x + C r+1 f (x) e x a x x cos 2 x sin 2 x f (x)dx e x a + C x + C ln x + C tg x + C ctg x + C ln a 1 f (x) 1 1 x 2 1+x 2 f (x)dx arc sin x + C arctg x + C Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 11 / 35

35 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r, r 1 sin x cos x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C cos x + C sin x + C r+1 f (x) e x a x x cos 2 x sin 2 x f (x)dx e x a + C x + C ln x + C tg x + C ctg x + C ln a 1 f (x) 1 1 x 2 1+x 2 f (x)dx arc sin x + C arctg x + C W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 11 / 35

36 Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 12 / 35

37 Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: O liniowości całki Zachodzą następujące zależności: 1) f (x) ± g(x)dx = f (x)dx ± g(x) 2) a R af (x)dx = a f (x)dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 12 / 35

38 Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: O liniowości całki Zachodzą następujące zależności: 1) f (x) ± g(x)dx = f (x)dx ± g(x) 2) a R af (x)dx = a f (x)dx. Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 12 / 35

39 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

40 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

41 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

42 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

43 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

44 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

45 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

46 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = cos x + C, więc 5 sin x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

47 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = cos x + C, więc 5 sin x dx = 5 cos x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 13 / 35

48 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 14 / 35

49 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 14 / 35

50 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 14 / 35

51 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze). Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 14 / 35

52 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 15 / 35

53 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 15 / 35

54 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x dx, x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 15 / 35

55 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x x dx, 1 dx, ln x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 15 / 35

56 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x x dx, 1 dx, ln x tzw. całki eliptyczne typu f (x, W (x))dx, gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 15 / 35

57 Na szczęście... Na szczęście, obliczanie całek skomplikowanych funkcji nie jest zazwyczaj potrzebne w zagadnieniach ekonomicznych. Dlatego będziemy się przede wszystkim zajmować funkcjami, które można policzyć za pomocą dwu sprytnych sposobów: przez części i przez podstawienie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 16 / 35

58 Twierdzenie o całkowaniu przez części Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 17 / 35

59 Twierdzenie o całkowaniu przez części Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu: Twierdzenie o całkowaniu przez części Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi: f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 17 / 35

60 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 18 / 35

61 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne: f (x) g(x) = (f (x) g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 18 / 35

62 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne: f (x) g(x) = (f (x) g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemy f (x)g(x)dx od obu stron. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 18 / 35

63 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dyskusja Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Wydaje się, że zastosowanie tej formuły nie poprawia sytuacji, bo po obu jej stronach występuje całka, którą i tak musimy obliczyć. Jednak, ten wzór jest użyteczny, gdy mamy scałkować iloczyn dwu funkcji z których jedna znacząco się upraszcza, gdy się ją różniczkuje (f ), zaś druga się nie komplikuje zanadto przy całkowaniu (g ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 19 / 35

64 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 20 / 35

65 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 20 / 35

66 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 20 / 35

67 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 20 / 35

68 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 20 / 35

69 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne funkcje wykładnicze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 20 / 35

70 Wieża całkowania przez części funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne funkcje wykładnicze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 21 / 35

71 Wieża całkowania przez części funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne funkcje wykładnicze. Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f, a tę, która wymieniona jest później jako g. Jest to o tyle logiczne, że: logarytmy i funkcje cyklometryczne po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po zróżniczkowaniu znikają, funkcje trygonometryczne zmieniają się niemal tak samo przy różniczkowaniu i całkowaniu, a wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 21 / 35

72 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

73 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

74 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

75 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

76 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

77 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

78 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

79 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx. Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 22 / 35

80 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 23 / 35

81 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 23 / 35

82 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 23 / 35

83 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 (x2x ln 2 2 x ln 2 dx) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 23 / 35

84 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 (x2x ln 2 2 x ln 2 dx) = x 2 2 x ln 2 2x2x (ln 2) 2 + 2x+1 (ln 2) 3 + C Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 23 / 35

85 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

86 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

87 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

88 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

89 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

90 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

91 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

92 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

93 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x 1 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

94 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 24 / 35

95 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

96 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

97 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Skoro funkcje wykładnicze były niżej niż trygonometryczne, we wzorze podstawiamy f (x) = sin x i g (x) = e x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

98 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Skoro funkcje wykładnicze były niżej niż trygonometryczne, we wzorze podstawiamy f (x) = sin x i g (x) = e x. Zapisujemy: e x sin x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

99 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Skoro funkcje wykładnicze były niżej niż trygonometryczne, we wzorze podstawiamy f (x) = sin x i g (x) = e x. Zapisujemy: e x f (x) = sin x sin x dx = g (x) = e x f (x) = cos x g(x) = e x = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

100 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Skoro funkcje wykładnicze były niżej niż trygonometryczne, we wzorze podstawiamy f (x) = sin x i g (x) = e x. Zapisujemy: e x f (x) = sin x sin x dx = g (x) = e x e x cos x dx f (x) = cos x g(x) = e x = ex sin x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

101 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Skoro funkcje wykładnicze były niżej niż trygonometryczne, we wzorze podstawiamy f (x) = sin x i g (x) = e x. Zapisujemy: e x f (x) = sin x f sin x dx = (x) = cos x g (x) = e x g(x) = e x = ex sin x e x f (x) = cos x f cos x dx = (x) = sin x g (x) = e x g(x) = e x = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

102 Całkowanie przez części - przykład 3 Całkowanie przez części - przykład 3 Ile wynosi e x sin x dx? Całkujemy iloczyn funkcji wykładniczej (e x ) i funkcji trygonometrycznej (sin x). Skoro funkcje wykładnicze były niżej niż trygonometryczne, we wzorze podstawiamy f (x) = sin x i g (x) = e x. Zapisujemy: e x f (x) = sin x f sin x dx = (x) = cos x g (x) = e x g(x) = e x = ex sin x e x f (x) = cos x f cos x dx = (x) = sin x g (x) = e x g(x) = e x = = e x sin x e x cos x e x sin x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 25 / 35

103 Całkowanie przez części - przykład 3 e x sin x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx. Wydaje się, że zapętliliśmy się, bo po obu stronach mamy tę samą całkę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 26 / 35

104 Całkowanie przez części - przykład 3 e x sin x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx. Wydaje się, że zapętliliśmy się, bo po obu stronach mamy tę samą całkę. Na szczęście, z innym znakiem! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 26 / 35

105 Całkowanie przez części - przykład 3 e x sin x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx. Wydaje się, że zapętliliśmy się, bo po obu stronach mamy tę samą całkę. Na szczęście, z innym znakiem! Dlatego, podstawiając Y = e x sin x dx możemy zapisać: Y = e x sin x e x cos x Y rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 26 / 35

106 Całkowanie przez części - przykład 3 e x sin x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx. Wydaje się, że zapętliliśmy się, bo po obu stronach mamy tę samą całkę. Na szczęście, z innym znakiem! Dlatego, podstawiając Y = e x sin x dx możemy zapisać: Y = e x sin x e x cos x Y 2Y = e x sin x e x cos x. I ostatecznie: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 26 / 35

107 Całkowanie przez części - przykład 3 e x sin x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx. Wydaje się, że zapętliliśmy się, bo po obu stronach mamy tę samą całkę. Na szczęście, z innym znakiem! Dlatego, podstawiając Y = e x sin x dx możemy zapisać: Y = e x sin x e x cos x Y 2Y = e x sin x e x cos x. I ostatecznie: e x sin x dx = 1 2 (ex sin x e x cos x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 26 / 35

108 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 27 / 35

109 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 27 / 35

110 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). Zostaje nam pytanie: jak radzić sobie z funkcjami złożonymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 27 / 35

111 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). Zostaje nam pytanie: jak radzić sobie z funkcjami złożonymi. Wtedy przydatna może być technika zwana całkowaniem przez podstawienie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 27 / 35

112 Całkowanie przez podstawienie - twierdzenie Całkowanie przez podstawienie Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są różniczkowalne i ich złożenie ma sens w pewnym przedziale otwartym, to zachodzi: f (g(x))g (x) dx = f (t) dt, gdzie t = g(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 28 / 35

113 Całkowanie przez podstawienie - twierdzenie Całkowanie przez podstawienie Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są różniczkowalne i ich złożenie ma sens w pewnym przedziale otwartym, to zachodzi: f (g(x))g (x) dx = f (t) dt, gdzie t = g(x). Nazwa metody bierze się właśnie od podstawienia pomocniczej zmiennej t w miejsce funkcji wewnętrznej funkcji podcałkowej. Po obliczeniu prostej (przynajmniej mamy nadzieję, że prostej) całki po prawej stronie, powracamy do początkowych zmiennych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 28 / 35

114 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 29 / 35

115 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 29 / 35

116 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 29 / 35

117 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. W przypadku pierwszym podstawiamy nową zmienną (t ze wzoru) za tę właśnie funkcję, która występuje razem ze swoją pochodną, w przypadku drugim - za funkcję wewnętrzną złożenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 29 / 35

118 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. W przypadku pierwszym podstawiamy nową zmienną (t ze wzoru) za tę właśnie funkcję, która występuje razem ze swoją pochodną, w przypadku drugim - za funkcję wewnętrzną złożenia. Niestety, nie ma gwarancji, że nawet jeśli któraś z tych sytuacji ma miejsce, całkowanie przez podstawienie doprowadzi nas do wyniku. Dodatkowo, nawet jeśli jeden sposób podstawienia nie działa, nie wiemy, czy nie zadziała jakiś inny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 29 / 35

119 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

120 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

121 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

122 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: sin(3x + 1) dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

123 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: sin(3x + 1) dx = 1 3 sin(3x + 1) 3 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

124 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: sin(3x + 1) dx = 1 3 sin(3x + 1) 3 dx = g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

125 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: sin(3x + 1) dx = 1 3 sin(3x + 1) 3 dx = g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 3 sin t dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

126 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: sin(3x + 1) dx = 1 3 sin(3x + 1) 3 dx = g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 3 sin t dt = 1 ( cos t) + C = 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

127 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. sin(3x + 1) jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: sin(3x + 1) dx = 1 3 sin(3x + 1) 3 dx = g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 3 sin t dt = 1 3 ( cos t) + C = 1 cos(3x + 1) + C. 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 30 / 35

128 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 31 / 35

129 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 31 / 35

130 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć sin(3x + 1) dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 31 / 35