II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Transkrypt

1 II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x), w którym prawa strona nie zależy jawnie od zmiennej niezależnej, nazywamy równaniem autonomicznym. Definicja 1.2. Jeżeli f(x) = 0, to rozwiązanie x(t) x nazywamy punktem krytycznym (lub równoważnie punktem stałym, punktem osobliwym, punktem stacjonarnym, położeniem równowagi). Ewolucję procesów opisanych równaniami typu (1.1) najwygodniej jest rozpatrywać w przestrzeni fazowej takiego równania, czyli w zbiorze wszystkich możliwych wartości zmiennej zależnej x. Jeśli x jest wektorem n-wymiarowym, to przestrzeń fazowa równania (1.1) jest podzbiorem przestrzeni R n. W przestrzeni R n+1 leżą krzywe całkowe równania, będące wykresami jego konkretnych rozwiązań. Rzutując dowolną krzywą całkową na przestrzeń R n otrzymujemy krzywą (trajektorię) fazową równania, będącą obrazem jego rozwiązania. Znajomość trajektorii fazowych (tzw. portretu fazowego) równania daje wiele informacji o jakościowym charakterze samych rozwiązań (pozwala np. stwierdzić, czy rozwiązania są ograniczne, czy są okresowe itp.). Będziemy dalej zakładać, że funkcja f jest klasy C 1 na pewnym otwartym podzbiorze Q R n. 1

2 2. Jednowymiarowe równanie autonomiczne. Rozważamy równanie skalarne gdzie f : Q R, Q R. (2.1) x = f(x), Spostrzeżenie 2.1. Niech ϕ(t) będzie rozwiązaniem równania (2.1) z maksymalnym przedziałem istnienia I i zbiorem wartości ϕ(i). Wówczas dla dowolnej stałej c R funkcja ψ(t) = ϕ(t + c) jest również rozwiązaniem równania (2.1) na przedziale I 1 = {t R : t + c I}. Zatem dowolną krzywą całkową równania (2.1) w obszarze Ω = R ϕ(i) otrzymamy przesuwając o wektor [ c, 0] krzywą całkową x = ϕ(t). Równanie x = x ma rozwiązania ϕ(t) = e t, I = R, ϕ(i) = (0, ), ϕ(t) 0, I = R, ϕ(i) = {0}, ϕ(t) = e t, I = R, ϕ(i) = (, 0). Wszystkie krzywe całkowe w Ω = {(t, x) : t R x > 0} otrzymamy przesuwając krzywą x(t) = e t, analogicznie krzywe całkowe w Ω = {(t, x) : t R x < 0} są przesunięciami krzywej x(t) = e t. Zatem w celu zbadania jakościowego zachowania takich rodzin krzywych całkowych wystarczy określić jakościowy charakter jednego rozwiązania z danej rodziny. Własności rozwiązania równania (2.1) możemy przedstawić geometrycznie, konstruując jednowymiarowy portret fazowy równania (2.1), tzn. na prostej fazowej zaznaczamy wszystkie punkty krytyczne równania (2.1) oraz kierunki wzrostu rozwiązań. Narysujemy portret fazowy równania skalarnego x = x. 2

3 Narysujemy portret fazowy równania skalarnego x = 1 2 (x2 1). Definicja 2.2. Mówimy, że punkt osobliwy równania autonomicznego jest izolowany, jeśli w jego pewnym otoczeniu nie ma innych punktów krytycznych tego równania. Dla jednowymiarowego równania autonomicznego z jednym izolowanym punktem osobliwym x można otrzymać jeden z czterech poniższych portretów fazowych. Rys. W przypadku (a) punkt krytyczny x nazywamy atraktorem, w przypadkach (b) i (c) szuntem, zaś w (d) repelerem. Definicja 2.3. Mówimy, że dwa równania typu (2.1) są jakościowo równoważne, jeśli mają taką samą ilość punktów osobliwych tego samego typu rozłożonych na prostej fazowej w tej samej kolejności. Rozważmy równania A. x = (x + 2)(x + 1), B. x = 1 2 (x2 1), C. x = (x + 2)(x + 1). 3

4 3. Układy autonomiczne na płaszczyźnie. Rozpoczniemy od kilku uwag na temat dynamicznej interpretacji układów autonomicznych. Rozważmy równanie w zapisie wektorowum (3.1) x = f(x), gdzie f : R n R n jest funkcją wektorową klasy C 1. Założenie f C 1 (R n ) gwarantuje, że przez każdy punkt (t 0, x 0 ) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa naszego równania. Niech x(t) będzie rozwiązaniem równania x = f(x) spełniającym warunek początkowy x(t 0 ) = x 0. W związku z tym, że równanie, czy też układy równań różniczkowych opisują zazwyczaj pewne zjawiska zmieniające się w czasie, zmienną niezależną t można interpretować jako czas. Wartość funkcji I t x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) R n można traktować jako położenie punktu w chwili t lub stan układu w chwili t. Przestrzeń zmiennych położenia punktu x(t) nazywamy przestrzenią stanów lub przestrzenią fazową. Prawa strona równania x = f(x) określa w R n stacjonarne (czyli niezależne od czasu) pole wektorowe, zaś wektor x (t) interpretujemy jako wektor prędkości poruszającego się punktu x(t). Zatem równanie x = f(x) opisuje ruch w przestrzeni R n odbywający się pod wpływem stacjonarnego pola wektorowego f. Załóżmy, że rozwiązanie x(t) zagadnienia x = f(x), x(t 0 ) = x 0 można przedłużyć na całą prostą (, ). Zatem położenie punktu x(t) w dowolnej chwili t jest zdeterminowane przez jego położenie x 0 w chwili t 0. Zauważmy, że wobec poczynionego wcześniej spostrzeżenia 2.2, można bez straty ogólności przyjąć, że t 0 = 0. Jeśli bowiem ψ(t) jest rozwiązaniem zagadnienia x = f(x), x(0) = x 0, to ϕ(t) = ψ(t t 0 ) będzie rozwiązaniem zagadnienia x = f(x), x(t 0 ) = x 0. Zbiór {x(t) R n : t I}, gdzie I jest maksymalnym przedziałem istnienia rozwiązania x równania x = f(x), będziemy nazywać trajektorią fazową ruchu. W przypadku punktu krytycznego x równania x = f(x) trajektoria fazowa jest zbiorem jednoelementowym {x}. 4

5 Przedstawimy teraz metody tworzenia portretów fazowych na płaszczyźnie, tj. wyznaczania krzywych fazowych dla układu dwóch równań. Rozważmy równanie x = f(x), gdzie f : Q R 2, Q R 2, czyli w zapisie skalarnym układ równań (3.2) { x 1 = f 1 (x 1, x 2 ) x 2 = f 2 (x 1, x 2 ), gdzie f 1 i f 2 są funkcjami klasy C 1 w zbiorze Q R 2. Jedna z metod wyznaczenia krzywych fazowych dla układu (3.2) wymaga najpierw znalezienia rozwiązania tego układu, czyli pary funkcji { x1 = x 1 (t; c 1, c 2 ) x 2 = x 2 (t; c 1, c 2 ), gdzie stałe c 1, c 2 zależą od warunków początkowych. Wielkości x 1, x 2 określają współrzędne punktu poruszającego się na płaszczyźnie. Rugując z rozwiązania zmienną niezależną t, otrzymujemy zależność F (x 1, x 2 ) = 0, która jest równaniem trajektorii fazowej ruchu układu (3.2). Narysujemy portret fazowy układu (a) { x 1 = x 1 x 2 = x 2. Zmienną niezależną t można wyrugować z układu bez znajdowania jego rozwiązania. W tym celu dzielimy równania układu (3.2) stronami i otrzymujemy równanie różniczkowe trajektorii fazowych postaci (3.3) dx 2 dx 1 = f 2(x 1, x 2 ) f 1 (x 1, x 2 ). 5

6 Wyznaczymy portret fazowy układu (b) { x 1 = x 2 x 2 = x 1. Kolejną metodą wyznaczania portretów fazowych układów autonomicznych na płaszczyźnie, która nie wymaga znajomości jawnego wzoru rozwiązania, jest metoda izoklin (patrz rozdział 4 części I). Metoda ta polega na analizie kierunków pola wektorowego f(x) = (f 1 (x 1, x 2 ), f 2 (x 1, x 2 )), które są stałe na izoklinach równania różniczkowego (3.3). Narysujemy portret fazowy układu (c) { x 1 = x 2 1 x 2 = x 2 (2x 1 x 2 ). 4. Potoki i orbity. Rozważmy równanie autonomiczne w zapisie wektorowym (4.1) x = f(x), gdzie f : Q R n jest funkcją wektorową klasy C 1 w pewnym zbiorze otwartym Q R n. Przypomnijmy, że wtedy równanie (4.1) uzupełnione warunkiem początkowym x(0) = p, p Q, ma jednoznaczne rozwiązanie w pewnym przedziale otwarym I R. Z twierdzenia Picarda-Lindelöfa (twierdzenie 3.2 części I) wynika następujący wniosek: 6

7 Wniosek 4.1. Niech ϕ(t; p) będzie rozwiązaniem zagadnienia (4.2) x = f(x), x(0) = p, określonym w zbiorze otwartym Ω I Q. Wówczas funkcja ϕ(t; p) spełnia warunki (i) ϕ(0; p) = p; (ii) ϕ(t; p) jest ciągła na Ω; (iii) ϕ(t + τ; p) = ϕ(t; ϕ(τ; p)) na Ω. Dowód. (ćwiczenie) Niech M R n będzie przestrzenią fazową równania (4.1) i niech f będzie klasy C 1 na M. Wtedy dla każdego warunku początkowego p M mamy rozwiązanie ϕ(t; p) M. Załóżmy, że rozwiązanie ϕ(t; p) może być przedłużone na całą prostą (, ). Definicja 4.2. Przekształcenie g : M R n, M R n, nazywamy dyfeomorfizmem, jeżeli jest nieosobliwe (tzn. jakobian g jest różny od zera), różnowartościowe, różniczkowalne, ma ciągłą różniczkę oraz przekształcenie odwrotne g 1 jest ciągłe. Definicja 4.3. Potokiem generowanym przez równanie (4.1) nazywamy parę (M, g t ), gdzie M R n jest przestrzenią fazową, a g t jest rodziną dyfeomorfizmów parametryzowaną zmienną t i wyznaczoną przez rozwiązanie równania (4.1), tzn. g t (p) = ϕ(t; p), spełniającą warunki 1. g t : M M; 2. g t i (g t ) 1 = g t są różnowartościowymi przekształceniami M w M; 3. g t+s = g t g s. 7

8 Dla rozwiązania równania różniczkowego warunki (1)-(3) definicji 4.3 są spełnione na podstawie gładkiej zależności od warunków początkowych oraz wniosku 4.1. Definicja 4.4. Trajektorią fazową albo orbitą punktu p w potoku (M, g t ) nazywamy zbiór wartości odwzorowania g t (p), t (, ). O punkcie p takim, że f(p) = 0 będziemy mówić, że jest punktem osobliwym (krytycznym) potoku generowanego przez równanie (4.1). Jeśli punkt p jest krytyczny, to jego orbita jest stała g t (p) p. Dla równania skalarnego x = x orbita punktu p R ma postać {pe t : t R}. Jeśli p > 0, to orbita ta jest półprostą {(0, )}, jeśli p < 0 to półprostą {(, 0)}, a dla punktu p = 0 orbita jest punktem {0}, czyli p = 0 jest punktem osobliwym. Wyznaczymy orbity układu (d) { x 1 = x 2 + x 1 (1 x 2 1 x 2 2) x 2 = x 1 + x 2 (1 x 2 1 x 2 2). Przestrzenią fazową układu (d) jest M = R 2. Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ, można układ (d) sprowadzić do postaci { r = r(1 r 2 ) θ = 1. Orbity równania r = r(1 r 2 ) mają postać (ćwiczenie) { } pe t : t R, p2 e 2t p

9 czyli orbitami są punkty r = 0, r = 1, przedział (0, 1) oraz półprosta (1, ). Jeśli uwzględnimy zależność od kąta θ, to orbitami w układzie zmiennych (x 1, x 2 ) są: punkt krytyczny (0, 0), orbita okresowa, tj. okrąg x x 2 2 = 1 oraz orbity otwarte, które są spiralami nawijającymi się od zewnątrz lub od wewnątrz na orbitę okresową. Powyższe przykłady znów pokazują zalety badania równań w przestrzeni fazowej. Badanie dużej ilości poszczególnych rozwiązań można zastąpić badaniem znacznie mniejszej ilości orbit. Poniżej wymienimy podstawowe własności orbit (trajektorii fazowych). Twierdzenie 4.5. (jednoznaczność) Przez każdy punkt przestrzeni fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Twierdzenie 4.6. (klasyfikacja orbit) Niech (M, g t ), t (, ), będzie danym potokiem generowanym przez równanie (4.1) z funkcją f C 1 (M). Orbity tego potoku dzielą się na trzy kategorie: 1. orbity otwarte, tj. dyfeomorficzne z prostą rzeczywistą, 2. orbity zamknięte, tj. okresowe, 3. punkty krytyczne. Z twierdzenia 4.5 wynika, że dwie orbity nie mogą się przecinać, zaś z twierdzenia 4.6 wynika, że orbita nie może przecinać samą siebie. Definicja 4.7. Mówimy, że dwa potoki (M, g t 1) i (M, g t 2) są topologicznie równoważne, jeśli istnieje taki homeomorfizm h : M M, że dla każdego t R zachodzi warunek h g t 1 = g t 2 h. 9

10 Przypomnijmy, że portret fazowy równania (4.1) to zbiór wszystkich zorientowanych orbit (tzn. takich, na których wyróżnia się kierunki t i t ) w potoku generowanym przez to równanie (lub inaczej przez pole wektorowe f(x)). Powiemy, że dwa równania typu (4.1) z tą samą przestrzenią fazową są topologicznie równoważne, jeśli potoki generowane przez te równania są topologicznie równoważne. Wtedy równania takie mają topologicznie równoważne portrety fazowe, tzn. istnieje homeomorfizm przekształcający orbity jednego portretu fazowego na orbity drugiego. 10