Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne 5 Zadania................................ 5....................... 5 III Ciągi 6 Zadania................................ 6....................... 7 IV Granice funkcji, ciągłość 7 Zadania................................ 7....................... 8 V Rachunek różniczkowy 9 Zadania................................ 9....................... VI Całki nieoznaczone Zadania....................................................... VII Całki oznaczone 3 Zadania................................ 3

....................... 4 VIII Powtórzenie 5 Zadania................................ 5....................... 9 IX Pierwsze kolokwium Zestaw A...................................................... Zestaw B...................................................... Zestaw C...................................................... 3 Zestaw D............................... 3....................... 3 Zestaw E............................... 3....................... 4 Zestaw F............................... 4....................... 4 Zestaw G............................... 5....................... 5 Zestaw H............................... 5....................... 6 X Drugie kolokwium 6 Zestaw A............................... 6....................... 6 Zestaw B............................... 7....................... 7 Zestaw C............................... 7....................... 7 Zestaw D............................... 8....................... 8 XI Egzamin 8 Zestaw A............................... 8....................... 9 Zestaw B............................... 30....................... 30 Zestaw C............................... 3....................... 3 Zestaw D............................... 3

....................... 3 Zestaw E............................... 33....................... 34 Zestaw F............................... 34....................... 35 Zestaw G............................... 35....................... 36 Zestaw H............................... 36....................... 37 XII Zadania trudniejsze 38 Zadania................................ 38....................... 39 Warto także korzystać ze zbioru zadań, ułożonego przez pp. dra M. Gewerta i doc. Z. Skoczylasa, umieszczonego na stronie http: // prac. im. pwr. edu. pl/ ~gewert/ WYNIKI/ lz_ am_ 04_ 5. pdf Na stronach Katedry Matematyki Politechniki Wrocławskiej http: // im. pwr. edu. pl/ OnLineTools. php znajdują się wskazówki do korzystania z pożytecznych narzędzi do obliczeń matematycznych, aby np. weryfikować wyniki. Część I Elementy logiki, zbiory, funkcje Zadania.. Określ jako zdanie, funkcję inaczej: formę, formułę) zdaniową na podanym zbiorze X lub jako żadne z powyższych dwóch wyrażenie: a) tydzień ma siedem dni, b) tydzień ma osiem dni, c) 3 < 0, d) >, X = 0, ), x e) >, X = R. x Zdania określ jako prawdziwe lub fałszywe oraz podaj ich wartości logiczne... Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie a) p q) p q), 3

b) [p q r)] [p q) p r)], c) [p q) r] [p r) q]. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki..3. Niech oznacza spójnik Pierce a, tzn. p q = p q). Za pomocą spójnika Pierce a jedyny, obok kreski Shefera por. Powtórzenie spójnik dwuargumentowy o tej własności) wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację..4. Zbadaj prawdziwość zdania: [ xy 0) x < 0 )], a) x R y R [ y = ) x < 0 )]. b) x R y R.5. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a) [A B) \ C] [A C) \ B] oraz A B C), b) A \ B) A \ C) oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna... a) Zdanie prawdziwe o wartości logicznej, b) zdanie fałszywe o wartości logicznej 0, c) zdanie prawdziwe o wartości logicznej, d) funkcja zdaniowa, e) ani zdanie, ani funkcja zdaniowa... a) nie, b) tak, c) tak, d) tak..3. Np. p = p p, p q = p p) q q), p q = p q) p q)..4. a) zdanie prawdziwe, b) zdanie fałszywe..5. L lewa strona, P prawa strona, 4

a) L P, b) L P =. Część II Funkcje trygonometryczne Zadania.. Niech x oznacza miarę łukową kąta. Naszkicuj na płaszczyźnie okrąg o środku w 0, 0) i promieniu, a następnie kąt x. a) Wyjaśnij znaczenie liczby x. b) Zaznacz na osiach współrzędnych sin x, cos x, tg x, ctg x o ile dwie ostatnie wartości istnieją). c) Załóżmy, że x 0, π ). Udowodnij, że sin x < x < tg x... Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a) fx) = ctg x sin x, b) fx) = ctg x + tg ) x π, ) 5 c) fx) = cos π + arc sin x, d) fx) = tg arc cos x... a) Jest to długość łuku okręgu, odpowiadającego kątowi. b) Dla zaznaczenia sin x, cos x wykorzystaj trójkąt prostokątny o jednostkowej długości ) przeciwprostokątnej. Dla zaznaczenia tg x, ctg x wykorzystaj trójkąty prostokątne o jednostkowych przyprostokątnych. c) Porównaj pola wycinka koła i odpowiednich trójkątów... a) Dziedzina { D f = R \ {kπ : k Z}, cos x dla x kπ, k + )π), fx) = cos x dla x k + )π, k + )π), zbiór wartości W f =, ), { ctg x dla x kπ, π b) D f = R \ {kπ : k Z}, fx) = + kπ), 0 dla x [ π + kπ, kπ), W f = [0, ), c) D f = [, ], fx) = x, W f = [, ], 5

x dla x [, 0), d) D f = [, 0) 0, ], fx) = x dla x 0, ], W f = R. Część III Ciągi Zadania 3.. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach a) a n = 7 + arc tg 0 + 7 + arc tg +... + 7 n + arc tg n, n b) f n = k!, k=0 gdzie n N. 3.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a) a n = n 3 n 5 n + 7 n, b) a n = n + n + + n + n + +... + n + n n + n. 3.3. Rozważmy symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a), b) 0, c) 0 0, d). Dla dowolnego λ [, ] podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granic niewłaściwych) do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłaściwej. 3.4. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n ) n+3 n a) a n =, n n ) n 3 + n + b) a n = n. + n + 5 6

3.. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. 3.. a) 7, b). 3.3. Np. lim n + λ) n) = λ R, lim n n ) =, n ) n n n =, lim n + n )n ) n) nie istnieje. lim n 3.4. a) e, b) e. Część IV Granice funkcji, ciągłość Zadania 4.. Wyznacz granicę funkcji lim x x 0 fx), jeśli a) fx) = sin x x π, x 0 = π, b) fx) = 3 sin x) x π, x 0 = π, c) fx) = d) fx) = x 3 e) fx) = + sin x ) x, x0 = 0, x3 + x 3 ), x 0 =, tg7x) 6 + 4x 4, x 0 = 0. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. 4.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji x + )3 a) fx) = x + 6x + 8, b) fx) = 4x + arc sin 5 x, c) fx) = 3x + ln x x +, x 4 d) fx) = x + arc tg x, x e) fx) = cos x x ). x + π 7

4.3. Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji fx) = x + π cos x. 4.4. Naszkicuj wykres funkcji f : R R, spełniającej warunki: lim fx) = lim fx) =, lim fx) =, lim fx) =, x x x x + f ) = f). Czy może być ona ciągła w całej swojej dziedzinie? 4.5. Wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji fx) = x sin πx, gdzie symbol m oznacza część całkowitą, a m jest liczbą całkowitą, różną od 0. 4.6. Dla jakich wartości parametru a R w podpunkcie a) i parametrów a, b R w pozostałych podpunktach, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli { a a) fx) = x x ) dla x 0, ln dla x = 0, ln 4x) x dla x < 0, b) fx) = a + dla x = 0, tgbx) x dla x S + 0), gdzie S + 0) oznacza pewne sąsiedztwo prawostronne punktu x 0 = 0, c) fx) = sinbx) x dla x < 0, dla x = 0, a + ) lnx + e) dla x > 0. 4.7. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja sinx) x dla x < 0, fx) = ax + b dla 0 x 5, cos ) jest ciągła na R? πx 3 dla 5 < x 4.8. Wyznacz granicę ciągu lim n lnn + ) ln n). n 4.9. Udowodnij, że równanie arctgx + x 3 = ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0, ). 4.0. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x 5 + x 3 + x = 0. 4.. a) π, b) e 3, c) e, d), e) 4. 8

4.. a) x = 4 asymptota pionowa obustronna, y = x asymptota ukośna w i w, b) y = 4x asymptota ukośna w i w, c) x = asymptota pionowa lewostronna, x = asymptota pionowa prawostronna, y = 3x asymptota ukośna w i w, d) y = x + π asymptota ukośna w, y = x π asymptota ukośna w, e) x = 0 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota ukośna pozioma) w i w. 4.3. x = π + kπ, k Z \ {0}. 4.4. Nie może być ciągła w punkcje x 0 =. 4.5. Funkcja fx) jest ciągła na zbiorze R \ Z) {km : k Z}. 4.6. a) a =, b) a =, b = 0, c) a = 0, b =. 4.7. a = 3 0, b =. 4.8.. 4.9. Wykorzystaj własność Darboux na przedziale [0, ]. Dla uzasadnienia jednoznaczności zauważ monotoniczność występującej funkcji. 4.0. Jedno rozwiązanie, x 0 3 4. Część V Rachunek różniczkowy Zadania 5.. Oblicz pochodną f x 0 ), jeśli a) fx) = x sin π x), x 0 =, b) fx) = sin x x + π, x 0 = π. 5.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli a) fx) = 5 + x + 0, 5)lnx + 0, 5), x 0 = 0, 5, b) fx) = x + e) lnx+), x 0 = 0. 9

5.3. Za pomocą różniczki zupełnej wyznacz przybliżoną wartość funkcji fx) = e + x) sin x w punkcie x = 0,. 5.4. Napisz równanie takiej stycznej do wykresu funkcji fx) = 3 x3 x + 3, która jest prostopadła do prostej y = x +. 5.5. Wyznacz kąt, pod którym przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wykresy funkcji fx) = x i gx) = x + x. 5.6. Wykaż, że funkcja fx) ma dokładnie jedno mejsce zerowe w przedziale I, jeśli a) fx) = tg x 3x +, I = 0, π ), 4 b) fx) = x arc tg x, I =, ). 5.7. Udowodnij, że dla x > zachodzi nierówność ln x < x. 5.8. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji a) fx) = x + x + ) e x, b) fx) = xe x. 5.9. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a) fx) = x 64 x, b) fx) = x sin x cos x. 5.0. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) na przedziale I, jeśli [ ] 3 a) fx) = x 3 9x + x 4, I = 4,3. [ b) fx) = x 3 3x, I = 3, 3 ]. 5.. Za pomocą wzoru Taylora obliczyć sin 0, z dokładnością do 0 0. 5.. Wyznacz wzór wielomianu, według którego [ można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji cos x w przedziale π 4, π ] z dokładnością do 0 9. 4 5.3. Wyznacz granicę lim x x 0 fx), jeśli a) fx) = lnx) tg x, x 0 = 0 +, ln + x) x b) fx) = x, x 0 = 0. 0

5.. a), b). 5.. a) y = x + 9, b) y = x +. 5.3. f0, ),. 5.4. y = x +. 5.5. π 4. 5.6. Do uzasadnienia istnienia miejsca zerowego można wykorzystać własność Darboux na przedziale I domknięcie przedziału I, czyli w tym przypadku przedział wraz z końcami) w podpunktach a) i b), a w podpunkcie c) na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Jedyność miejsca zerowego można uzasadnić za pomocą ścisłej monotoniczności każdej z funkcji, wykazanej za pomocą pochodnej. 5.7. Obie strony nierówności są funkcjami są ciągłymi na [, ). Porównaj pochodne tych funkcji na przedziale, ) i wartości w punkcie lub równoważnie, rozważ różnicę tych funkcji, jej pochodną na, ) i wartość w. 5.8. a) Funkcja fx) maleje na przedziałach, 0], [, ), rośnie na przedziale [0, ] i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = 0), 3 e maksimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ), b) fx) maleje na przedziałach [, 0), 0, ], rośnie na przedziałach, ], [, ) i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: e minimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ), e maksimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ). 5.9. a) Funkcja fx) jest ściśle wypukła na przedziałach, 0), [4, ), ściśle wklęsła na przedziale 0, 4], a punktem przegięcia wykresu funkcji jest 4, 0), b) fx) jest ściśle wypukła na przedziale [ π, π], przedziałach postaci [kπ, k + )π] i przedziałach postaci [ k + )π, kπ], gdzie k N + = {,, 3,...}, fx) jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [k )π, kπ] i przedziałach postaci [ kπ, k )π, ], gdzie k N +, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci kπ, ) dla k Z \ {0} oraz k + )π, ) dla k Z. 5.0. a) Największą wartością jest 5, a najmniejszą 0, b) największą wartością jest, a najmniejszą 3.

5.. sin 0, 0, 0,3 3! + 0,5 5!. 5.. cos x x! + x4 4! x6 6! + x8 8! x0 0!. 5.3. a) 0, b). Część VI Całki nieoznaczone Zadania 6.. Oblicz fx) dx, jeśli a) fx) = x cos x, b) fx) = x x x + x. c) fx) = x cos4x). 6.. Oblicz całkę fx) dx z funkcji wymiernej a) fx) = 4x + 8x + 5, b) fx) = x + 3x + x 3 + x + x. 6.3. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej a) fx) = 3 sin x sin x), b) fx) = c) fx) = 7tg x sin x, ctg x cos x. 6.. a) x tg x + ln cos x + C, b) ln ln x + x ) + C. 6.. a) arc tgx + ) + C, b) ln x + arc tgx + ) + C,

c) ln x x + ln x + x + ) arc tgx + ) + C. 6.3. a) ln 3 3sin + C, b) ln 7 7tg x + C, c) ln ctg x + C. Część VII Całki oznaczone Zadania 7.. Niech symbol oznacza część całkowitą. Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b a) fx) = x, a = 0, b = 9, b) fx) = x, a =, b =, c) fx) = x, a =, b =. a fx) dx, jeśli: 7.. Za pomocą całki oznaczonej oblicz lim n n tg π ) π 3π n )π + tg + tg +... + tg. 4n 4n 4n 4n Uwaga: nie ma pomyłki w zapisie ostatniego składnika. { x dla x 0, 7.3. Wyznacz funkcje H pierwotne na R do funkcji hx) = cos x dla 0 < x. 7.4. Udowodnij, że πe 7.5. Oblicz 0 0 4x x x + 3 dx. π ) ) e x π cos 3 x + 4 arc tg x dx 3πe. 7.6. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: ) x a) y = oraz y = ln x, e b) oś OX, y = x ln x, x = e, c) y = lnx), y = 0, x =, d) y = x, y = ln x, y = 0, 3

e) y = cos x, y = x π 4, f) y = x sin x dla x [ 0, π 3 ], oś OX, x = π 3. 7.7. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji a) fx) = tg x dla x [ π 4, ] π 3, b) fx) = ctg [ ] π x) dla x,, c) fx) = 3 [ x cosx) dla x 0, π ]. 4 7.8. Wyznacz długość wykresu funkcji: [ a) fx) = x ) 3, ograniczonej do przedziału, 7 ], 3 b) fx) = ) 3 3 x, ograniczonej do przedziału [,3]. 7.. a) 3, b) 5 ln ln 3, 7.. π ln. c) 5 3.. 7.3. Hx) = { x x + C dla x 0, sin x + C dla 0 < x. 7.4. Wskazówka: oszacuj największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale. 7.5. 5 5 arc tg 5 5. 7.6. a) 4 e 3, b) e + 4, c) ln, d) e 5 3, e) + π3 6, f) π 36 3π 4 + 3 6. 7.7. a) 3 π ) π, b) π, 4

c) π30,5π ln 3) +ln 3). 7.8. a) 56 7, b) 8 9 3. Część VIII Powtórzenie Zadania P.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [ p q r) ] [ p q) p r) ], gdzie symbol oznacza albo alternatywę wykluczającą koniunkcję). Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki. P.. Niech oznacza kreskę Shefera, tzn. p q = p q). Za pomocą kreski Shefera wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. P.3. Zbadaj prawdziwość zdania: a) x R b) x R y R y R [x + y > 0) x + y < 0)], [xy = 0) xy = )]. P.4. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a) A B) A C) oraz A B) A C), gdzie różnica symetryczną jest określona wzorem X Y = X \ Y ) Y \ X), b) [A \ B C)] oraz [A \ B C)] A B C). Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. P.5. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a) fx) = tg x + tg x, b) fx) = tg x + π ) sin x, 5

π ) c) fx) = ctg + arc tg x, d) fx) = ctg arc sin x. P.6. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a) a n = n 00n + sin n 3 n + 0 n, b) a n = n n 3 + + n n 3 + 4 +... + n n n 3 + n. P.7. Rozważmy symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a), b) 0 0, c) 0. Dla dowolnego λ [0, ] w a), λ [0, ] w b) oraz λ [, ] w c), podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granicy niewłaściwej) do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłasciwej. P.8. Wyznacz granicę funkcji lim x x 0 fx), jeśli a) fx) = lnx ) x 4, x 0 =, b) fx) = + sin x) x, x 0 = 0, c) fx) = x 3 x 3 + 3 ) x 3, x 0 =, d) fx) = cos x x lnx + ), x 0 = 0, e) fx) = ln + sin5x)) ln + sin x), x 0 = 0. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. P.9. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f : D R, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R, jeśli a) fx) = x + arc tg3x), b) fx) = 5x + arc tg 7 x, c) fx) = cos x + ln + x x, 6

d) fx) = x3 + sin x x π). P.0. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli e ax x dla x < 0, a) fx) = b dla x = 0, sinx) x dla x > 0, b) fx) = c) fx) = a x ln x ) dla x < 0, dla x = 0, sinbx) 4x dla x > 0, ax ln 4x) dla x < 0, b dla x = 0, dla x > 0? sinx) arc tg8x) P.. Udowodnij, że równanie π ) a) ln x = sin 4 x, π ) b) = sin x 3 x, ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0, ). P.. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x 3 x = 4. P.3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli a) fx) = x + ) e x + x, x 0 = 0, b) fx) = + ) ln x, x0 =. x P.4. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji fx) = x + 3) x ). P.5. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a) fx) = e sin x, b) fx) = e arc tg x. P.6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) = 8 ln x x na przedziale I = [, 3]. P.7. Wyznacz granicę lim x x 0 fx), jeśli 7

ln sin x a) fx) = ln sin 3x), x 0 = π, b) fx) = tg x x x 3, x 0 = 0. P.8. Oblicz fx) dx, jeśli a) fx) = x e 4x, b) fx) = 3 x cos x. P.9. Oblicz całkę fx) dx z funkcji wymiernej fx) = x3 + 3x + 4x + x 4 + x 3 + x. P.0. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej a) fx) = cos x sin x + 9, sin x b) fx) = cos xcos x + ). P.. Niech symbol oznacza część całkowitą. Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b a) fx) = x x, a = 0, b = 4, b) fx) = e x, a = 0, b = ln. a fx) dx, jeśli: P.. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: a) y x = 0, 3y x = 0, b) 5x + 4y = 0, x + y = 0, c) y = e x, y = x, x =, d) x =, y = x, xy = 8, 8 e) y = x ln, y = ln + x). P.3. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji a) fx) = [ x cos x dla x 0, π ], b) fx) = e x+, dla x [0,], c) y = lne + x) dla x [0, e]. 8

P.. Tautologia. P.. Np. p = p p, p q = p p) q q). P.3. a) Zdanie prawdziwe, b) zdanie fałszywe. P.4. L lewa strona, P prawa strona, a) L P =, b) L = P. P.5. a) Dziedzina D f { = R \ { π + kπ : k Z}, 0 dla x π wzór fx) = + kπ, kπ), tg x dla x [kπ, π + kπ), zbiór wartości W f = [0, ), { cos x dla x kπ, π b) D f = R \ {kπ : k Z}, fx) = + kπ), cos x dla x [ π + kπ, kπ), W f =, ), c) D f = [, ], fx) = x, W f = [, ], d) D f = [, 0) 0, ], fx) = W f = R. x dla x [, 0), x dla x 0, ], P.6. a) 0, b). P.7. Np. lim lim n n P.8. a) 4, b) e, c) 3, d), e) 5. ) + ln λ n n = λ 0, ), lim + n) n ) =. n n) n ) = 0, P.9. a) y = x+ π asymptota ukośna w, y = x π asymptota ukośna w, b) y = 5x asymptota ukośna w i w, c) x = asymptota pionowa prawostronna, x = asymptota pionowa lewostronna, 9

d) x = π asymptota pionowa, y = x + π asymptota ukośna w i w. P.0. a) a = b =, b) a =, b = 8, c) a = ln, b = 4. P.. Dla różnicy funkcji wykorzystaj własność Darboux na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Dla uzasadnienia jednoznaczności wykaż ścisłą monotoniczność różnicy funkcji na przedziale 0, ).. P.. Jedno rozwiązanie, x 0 7 4. P.3. a) y = x +, b) y = x ln 3 + + ln 3. P.4. fx) maleje na przedziałach, 3], [, ], rośnie na przedziałach [ 3, ], [, ), przyjmuje ekstrema lokalne: 0 dwukrotnie jako minimum lokalne właściwe w punktach x 0 = 3 i x 0 = ), 6 maksimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ). P.5. a) fx) jest ściśle wypukła na przedziałach postaci [ 3 4 π + kπ, 4 π + k + )π] dla k Z, fx) jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [ 4 π + kπ, 3 4 π + kπ] dla k Z, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci 4 π + kπ, e) oraz 3 4π + kπ, e) dla k Z, b) fx) jest ściśle wypukła na przedziale, ], ściśle wklęsła na przedziale [, ), a wykres ma jeden punkt przegięcia:, e π ). P.6. Największą wartością jest 8 ln 4, a najmniejszą. P.7. a), b) 3. P.8. a) 4 x e 4x 8 xe4x + 3 e4x + C, b) 3 x 4+ln 3 [ 3 P.9. 4 x sin4x) + 6 cos4x) + C. P.0. sinx) + ln 3 4 cosx)] + 3x ln 3 + C. a) sin x 3 arc tg 3 + C, b) ln cos x + ln cos x + ) + C. P.. a) 5, b) 5 ln ln 3. P.. a) 6, 0

b) 5, c) e ln, d) 8 ln 7 3, e) 5 3 ln. P.3. a) π3 6 π 4, b) πe6 ) 4, c) πe ln. Część IX Pierwsze kolokwium Zestaw A -A.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [p q r)] p q). -A.. Wyznacz granicę lim a n 7 n ciągu o wyrazach a n = n + 9 n n n 3 n n. -A.3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x arc sin x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. -A.4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli fx) = dla x = 0, sinbx) x dla x < 0, a + ) lnx + e) dla x > 0. -A.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i r oraz fałszywości q. -A.. 3. Po wyłączeniu przed pierwiastek 9/3 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). -A.3. Dziedziną naturalną jest zbiór, ] [, ). Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = x jest asymptotą ukośną w oraz w. -A.4. b =, a = 0.

Zestaw B -B.. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [A B) \ C] A C) oraz A B C). Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. -B.. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n n + arc tg n + arc tg n + arc tg n a n = n + n +... + n. -B.3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + ln x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. Uwaga: można wykorzystać wzór lim x ln x x = 0. -B.4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli arc tgbx) x dla x < 0, fx) = dla x = 0, a + ) sin ) x + 3π dla x > 0. -B.. Zbiory są równe. -B... Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. -B.3. Dziedziną naturalną jest przedział 0, ). Prosta o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną. Nie ma asymptot ukośnych. -B.4. b =, a =. Zestaw C -C.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = x sin 3π ) tg x. -C.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n arc tgn n ) sin n. -C.3. Wyznacz granicę funkcji lim fx), jeśli fx) = cos x x x 0 x 3π oraz x 0 = 3π. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. -C.4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x x = 0.

-C.. Dziedzina D = R \ π, π ), k Z. -C... -C.3.. -C.4. Jedno rozwiązanie, x 0 3 4. { π + kπ : k Z }, fx) = fx + kπ) = sin x dla x Zestaw D -D.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = ctg x + ) tg x + π. -D.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n sin n + + n sin n + +... + n sin n n + n. -D.3. Wyznacz granicę funkcji lim fx), jeśli fx) = ctg x x x 0 x 5π oraz x 0 = 5π. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. -D.4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x arc tgx ) = 0. -D.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) ctg x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, 0 dla x kπ + π, k + )π), k Z. -D... -D.3.. -D.4. Jedno rozwiązanie, x 0 3 4. Zestaw E -E.. Używając symboli negacji i alternatywy oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -E.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = tg x π ) sin x. 3

-E.3. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n + sin n -E.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + arc tg x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D x + R. -E.. p q = [ p) q)]. -E.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) cos x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, cos x dla x kπ + π, k + )π), k Z. -E.3.. -E.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = x. Zestaw F -F.. Używając symboli negacji i koniunkcji oraz nawiasów wyraź równoważność. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -F.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres π ) funkcji fx) = ctg arc tg x. -F.3. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n 3 + + n n 3 + +... + n n n 3 + n. -F.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. + ln + x 4 x, -F.. p q = { [p q)] [ p) q]}. -F.. Dziedzina D = R, fx) = x. -F.3.. -F.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x = 0, asymptota pionowa prawostronna o równaniu x =, asymptota pionowa lewostronna o równaniu x =. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D =, 0) 0, ). 4

Zestaw G -G.. Używając symbli negacji i alternatywy, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -G.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = x tg + 7π ) sin x. -G.3. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach a n = ln + ) n nn + n n -G.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x arc ctg x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D x R. -G.. p q = [ p) q)]. -G.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) cos x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, cos x dla x kπ + π, k + )π), k Z. -G.3.. -G.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = x +. Zestaw H -H.. Używając symboli negacji i koniunkcji, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź alternatywę. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -H.. Wyznacz dziedzinę naturalną D) R, uprość wzór i naszkicuj wykres 3π funkcji fx) = tg + arc ctg x. -H.3. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n a n = n + n 3 + n + n 3 +... + n + n n 3 n. -H.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. + ln + x 9 x, 5

-H.. p q = [ p) q)]. -H.. Dziedzina D = R, fx) = x. -H.3.. -H.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptota pionowa prawostronna o równaniu x = 3, asymptota pionowa lewostronna o równaniu x = 3. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = 3, ), 3). Część X Drugie kolokwium Zestaw A -A.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = lnx + cos x), x 0 = 0. -A.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x+) x+). -A.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y x = 0, 3y x = 0. -A.4. Oblicz e x cos x dx. -A.. y = x. [ -A.. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach, 3 ściśle malejąca na przedziałach, ], ], [, ), f jest [ 3, ] ; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. -A.3. Punkty przecięcia wykresów to, ), 4, ), pole to np. P = y )dy = 6. 3y -A.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na sin x + cos x jedą stronę, I = e x + C.. 6

Zestaw B -B.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = sin π + ln x), x 0 =. -B.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji fx) = x 64 x. -B.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + 4y = 0, x + y = 0, -B.4. Oblicz x e 4x dx -B.. y = x. -B.., 0), [4, ); drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. -B.3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0), 5, 5 ), pole to np. P = 5 0 4 ) 5 y + y dy = 5. -B.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = 4 x e 4x 8 xe4x + 3 e4x +C. Zestaw C -C.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = lnx + sin x), x 0 = π. -C.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x x + ). -C.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x y = 0, 3x y = 0. -C.4. Oblicz e x sin x dx. x π ) + ln -C.. y = π + π + ). -C.. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach [, ], [0, ), f jest ściśle malejąca na przedziałach, ], [, 0]; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 7

-C.3. Punkty przecięcia wykresów to, ),, 4), pole to np. P = 3x x )dx = 6. -C.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na sin x cos x jedą stronę, I = e x + C. Zestaw D -D.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = cos π + ln x), x 0 =. -D.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji fx) = 9x 64 3x. -D.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5y + 4x = 0, y + x = 0, -D.4. Oblicz x e x dx -D.. y =. -D.., 0), [ 4 3, ) ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. ) 5 -D.3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0),, 5, pole to np. P = 5 0 4 ) 5 x + x dx = 5. -D.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = x e x xex + 4 ex + C. Część XI Egzamin Zestaw A e-a.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [p q r)] p r). 8

e-a.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + arc sin 5 x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. e-a.3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0 = 0, jeśli fx) = ln + sin x). e-a.4. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x ) x + 5). e-a.5. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y x = 0, 3y x = 0. e-a.6. Oblicz e x cos x dx. e-a.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i q oraz fałszywości r. e-a.. Dziedziną naturalną jest D =, 5] [5, ). Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = x jest asymptotą ukośną w oraz w. e-a.3. y = x. e-a.4. f x) = 4x )x + 5)x + ), f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 5, ], [, ) lub przedziały otwarte), f jest ściśle malejąca na przedziałach, 5], [, ] lub przedziały otwarte); suma, np. [ 5, ] [, ), to błąd. ) e-a.5. Punkty przecięcia to,,, ), pole to np. P = 3y y ) dy = 9 4 7 6 =. e-a.6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = sin x + cos x e x + C. 5 9

Zestaw B e-b.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji π ) fx) = sin x tg x. e-b.. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + 3 arc cos n + n + 3 arc cos n +... + n + 3 arc cos n n. e-b.3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 x = x, e-b.4. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji fx) = 9x 64 3x. e-b.5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji fx) = e 5x dla x [0,]. e-b.6. Oblicz x + ) e x dx. e-b.. Dziedzina D = R \ dla x π, π { π + kπ : k Z }, fx) = sin x ), funkcja jest okresowa o okresie π. e-b.. a =, a = + + 3 π 3 = + π 4 4, lim a n =. n Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. e-b.3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji fx) = 3 x x, ) przynajmniej jedno z własności Darboux: f0) > 0, f) < 0, f < 0. Odpowiedź: x 0 4. e-b.4. f x) = 8x + 64 3x, f x) = 7x3 64 3x 3, przedziałami ścisłej wypukłości [ ) 4 są, 0), 3, ten drugi przedział może być otwarty). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 30

e-b.5. V = π e 0 ) 0. e-b.6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = x+) e x x+)ex + 4 ex + C. Zestaw C e-c.. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [A C) \ B] A B), A B C). Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna. e-c.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach n 3 n + 5 n ) n a n =. 7 n + 0 n e-c.3. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli fx) = 5 dla x = 0, a arc tgx) x dla x < 0, b + ) sin ) x + 7π dla x > 0. e-c.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) = ln x x na przedziale I = [, e]. e-c.5. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + y = 0, 5x + y = 0. e-c.6. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = cos x sin x + ). e-c.. Zbiory są równe. e-c... Po wyłączeniu przed pierwiastek 5/0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). e-c.3. a = 5, b = 7. e-c.4. f x) = x = x, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = x {f), f), fe)} = {, ln, e}. Łatwo f) < fe). Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od x = ) maleje, zatem m =, M = ln. 3

e-c.5. Punkty przecięcia to 5 ),, 0, 0), pole to np. P = 0 5 y + 5 ) y dy = 5 3 + ) = 5. e-c.6. Podstawienie t = sin x, zatem I = t + ) dt = 5 sin5 x 3 sin3 x sin x + C. Zestaw D e-d.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = ctg x + ) tg x + π. e-d.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli a n = n + arc tg n + n + n + arc tg n + n +... + n + arc tg n n + n. ) e-d.3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg 3 x = ln + e )x). ln cos4x) e-d.4. Wyznacz granicę lim fx), jeśli fx) = x x 0 x, x 0 = 0. e-d.5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln x dla x [, e]. e-d.6. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = sin x cos x + 5. e-d.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) ctg x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, 0 dla x [ kπ + π, k + )π), k Z. e-d.. a = 4 + π, lim 8 a n =, można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. n 3

e-d.3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji fx) = ) arc tg 3 x + ln + e )x), przynajmniej jedno z własności Darboux: f0) = < 0, f) = π 3 > 0. Odpowiedź: x 0. e-d.4. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0, otrzymujemy po 0 pierwszym kroku l x) 4 sin4x) m = x) x cos4x) = e e-d.5. V = π 0 8 cos4x) sin4x) 8. 4x ln x dx = π [x ln x x] e x= = π.. e-d.6. Podstawienie t = 5 + cos x, zatem dt I = dt = ln 5 + cos x + C. t + 5 Zestaw E e-e.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [p q r)] p r). e-e.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0 = 0, jeśli fx) = ln + arc tg x). e-e.3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x x + 4). e-e.4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y 4x = 0, 3y 4x = 0. e-e.5. Oblicz e x sin x dx. e-e.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = sin x w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. 33

e-e.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy fałszywości zdań p i r zdanie q dowolne). e-e.. f0) = 0, f x) = + x ) + arc tg x), f 0) =, y = x. e-e.3. f x) = 4xx+4)x+), f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 4, ], [0, ) lub przedziały otwarte), f jest ściśle malejąca na przedziałach, 4], [, 0] lub przedziały otwarte); suma, np. [ 4, ] [0, ), to błąd. ) e-e.4. Punkty przecięcia to 4,,, ), pole to np. P = e-e.5. np. I = 3y 4 y 4 ) dy = 9 8 7 = 4. e x sin xdx = e x cos x e x cos xdx = e x cos x e x sin x I, skąd I = cos x + sin x e x + C. e-e.6. R k+ x) = )k cos c k + )! xk+ stąd wystarczy k =, zatem sin x x x3 6. Zestaw F e-f.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji π ) fx) = cos + x ctg x. e-f.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli n arc tg n arc tg n arc tg n a n = n + n +... + n. e-f.3. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji fx) = 9x 8 3x. e-f.4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji fx) = x dla x [0,]. 34

e-f.5. Oblicz x + 3) sin x dx. e-f.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = ln + x) w przedziale [0, ] z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. e-f.. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, fx) = cos x dla x 0, π), funkcja jest okresowa o okresie π. e-f.. a = π 4, n π n a n, lim n a n =. e-f.3. f x) = 8x + 8 3x, f x) = 7x3 8 3x 3, przedziałami ścisłej wypukłości [ ) są, 0), 3, ten drugi przedział może być otwarty). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. e-f.4. V = π e-f.5. 0 4 x dx = 3π ln. x+3) sin xdx = x+3) cos x+ x + 3) sin x + cos x + C. x+3) cos xdx = x+3) cos x+ e-f.6. R n x) = )n x n x stąd wystarczy n = 3, zatem ln + x) x n + c) n. Zestaw G e-g.. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [B C) \ A] B A), B A C). Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna. e-g.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n 3 n + 5 n + 7 n + 0 n ) n. e-g.3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale I = [, e ]. fx) = lnx) x 35

e-g.4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + 8y = 0, 5x + 4y = 0. e-g.5. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = sin x tg x + ). e-g.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = cos x w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. e-g.. Zbiory są równe. e-g.. 0. Po wyłączeniu przed pierwiastek 0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). e-g.3. f x) = x = x, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = x {f/), f), fe/)} = { /, ln, e/)}. Łatwo f/) < fe/). Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od x = ) maleje, zatem m = /, M = ln. e-g.4. Punkty przecięcia to 5, ), 0, 0), pole to np. P = 0 e-g.5. I = 85 y + 45 ) y dy = 0 3 + ) = 30. sin x cos x dx = cos x + C. e-g.6. R k x) = )k cos c x k stąd wystarczy k = 3, zatem cos x x / + k)! x 4 /4. Zestaw H e-h.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = tg x + ctg x + π ). 36

e-h.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli a n = n + arc ctg n + n + n + arc ctg n + n +... + n + arc ctg n n + n. ln cos x) e-h.3. Wyznacz granicę lim fx), jeśli fx) = x x 0 x, x 0 = 0. e-h.4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln x ) dla x [, e]. e-h.5. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = cos x + ctg x. e-h.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = e x w przedziale [0, ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. e-h.. Dziedzina D = R \ e-h.. a = 3 + π, n { π + kπ : k Z }, fx) = n + n a n n + π n + n, lim n a n =. { tg x, gdy tg x 0, 0, gdy tg x < 0. e-h.3. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0 0, otrzymujemy l x) m x) = e e-h.4. V = π 0 sin x) cos x)x = cos x) sinx) x. ln x ) e dx = π [x ln x x] x= = π e). e-h.5. I = sin x cos x dx = 3 sin3 x + C. e-h.6. R n x) = ec n! xn, stąd wystarczy n = 5, zatem e x 4 n=0 x n n!. 37

Część XII Zadania trudniejsze Zadania T.. Przyjmuje się, że a) dla dowolnego zbioru X i obiektu a: a X lub a / X oraz b) jeśli ϕ ) jest dowolną formułą zdaniową na zbiorze X tzn. po podstawieniu elementu a X, wyrażenie ϕa) jest zdaniem), to elementy ze zbioru X, spełniające formułę ϕ, tworzą zbiór. Z powyższych dwóch przesłanek wywnioskuj, że nie istnieje twór będący zbiorem złożonym ze wszystkich zbiorów tzw. paradoks Russela). T.. Udowodnij, że różnica symetryczna zbiorów jest działaniem łącznym i przemiennym. T.3. Udowodnij, że różnica symetryczna skończonej ilości zbiorów składa się z elementów należących do nieparzystej liczby zbiorów. T.4. Wyprowadź wzory na sinus i kosinus sumy kątów. T.5. Udowodnij następujące twierdzenia o granicach ciągów: a) lim n n =, n b) dla 0 < a < zachodzi lim n a n =, c) dla < a < i r R zachodzi lim n T.6. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach e n = n r a n = 0. + n) n, n N + = {,, 3,...}. T.7. Oznaczmy lim e n = e, lim f n = f, gdzie ciągi e n ), f n ) zostały określone w poprzednich dwóch zadaniach. Udowodnij, że e = f. n n ) T.8. Udowodnij, że jeśli lim a n =, to lim + an n n a n = e. T.9. Niech x oznacza miarę łukową kąta. Wykaż, że lim x 0 sin x x =. T.0. Załóżmy, że funkcja f : Ox 0 ) R jest określona w pewnym otoczeniu Ox 0 ) punktu x 0 R oraz że przyjmuje w x 0 ekstremum lokalne właściwe lub nie). Udowodnij, że jeśli istnieje pochodna f x 0 ), to f x 0 ) = 0 twierdzenie Fermata). 38

T.. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], różniczkowalna na a, b) oraz że fa) = fb), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c a, b), dla którego f c) = 0 twierdzenie Rolle a). T.. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna na a, b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c a, b), dla którego f fb) fa) c) = twierdzenie Lagrange a). b a T.3. Załóżmy, że funkcje f, g : [a, b] R są ciągłe na [a, b] i różniczkowalne na a, b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c a, b), dla którego [gb) ga)]f c) = [fb) fa)]g c) twierdzenie Cauchy ego). T.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) = sinh x 5 4 x na przedziale I = [0, ], gdzie funkcja sinh x = ex e x hiperboliczny. T.5. Oblicz: oznacza sinus x arc ch x dx, gdzie symbol arc ch oznacza funkcję odwrotną do ograniczonej do przedziału [0, ) funkcji kosinus hiperboliczny. T.6. Wyznacz długość wykresu funkcji: a) fx) = lnx + ), ograniczonej do przedziału [ 0, ], b) fx) = e x, ograniczonej do przedziału [, lne)]. T.. Gdyby taki zbiór X istniał, to zbiorem byłby rownież Y = {A X : A / A}, a wtedy jednocześnie Y Y oraz Y / Y. T.. Wynika to z łączności i przemienności spójnika logicznego albo. T.3. Różnica symetryczna n zbiorów powstaje w wyniku obliczenia n razy różnicy symetrycznej. Zauważ, że jeśli element należy do parzystej ilości zbiorów, to przy kolejnym obliczeniu pojawia się, znika lub pozostaje bez miany, a po ostatniej zmianie znika. Podobnie dla przynależności do nieparzystej ilości zbiorow. T.4. Niech x, y 0, π ) dla innych x, y można wykorzystać wzory redukcyjne. a) Naszkicuj trójkąt, aby kąt α przy jednym z jego wierzchołków wynosił α = x + y, a wysokość opuszczona z tego wierzchołka dzieliła α na kąty x i y. 39

b) Oblicz pole dużego trójkąta na dwa sposoby: bezpośrednio i jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów. Z równości pól wyprowadź wzór na sinus sumy kątów. c) Zastosuj otrzymany wzór na sinus sumy kątów i wzory redukcyjne sin ) ) ϕ + π = cos ϕ, cos ϕ + π = sin ϕ do przekształcania cosx+ y) = sin x + )) y + π. T.5. a) Z jednej strony, n n > dla dowolnego n N +. Z drugiej strony, niech δ > 0 będzie dowolną liczbą. Dla dostatecznie dużych n, n n < + δ, gdyż + δ) n = + nδ + nn ) δ +... + δ n > nn ) δ > n. T.6. b) Dla a, a n < n n od pewnego miejsca. c) Oznaczmy a = + δ, gdzie δ > 0. Ustalmy liczbę k, r < k N +. Dla dostatecznie dużych n, a n = + δ) n = + nδ + nn ) δ +... + nn )n )...n k) k+)! δ k+ +... + δ n > nn )n )...n k) k+)! δ k+ > δ k+ n k+ k+)!. a) Wykorzystując wzór Newtona na potęgę dwumianu zauważ, że e n = + + n) + n) n) 3 +... + n) n)... n b) Wywnioskuj, że ciąg e n ) jest rosnący. c) Udowodnij, że e n + n k=0 n ) 3... n. k oraz że ciag e n ) jest ograniczony. T.7. a) Zauważ, że e n f n dla n N +. Wywnioskuj, że e f. b) Ustalmy dowolne n 0 N +. Rozważ ciąg g n ) o wyrazach g n = + + n) + n) n) 3 +...+ n) n)... n0 n ) 3... n 0, określonych dla n n 0. Zauważ, że g n e n. Udowodnij, że lim g n = f n0 i dalej, n że f n0 e. Wywnioskuj, że f e. T.8. Niech x oznacza część całkowitą liczby x R. Dla wystarczająco dużych n zachodzi a n >. Jeśli a n, to + a n + ) an ) + a n + a n. ) an + Dla a n < wykorzystaj równość ) + an a n = + a n T.9. Zauważ, że ) an + a n ) ) + a n + + an a n lim cos x =. Za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach x 0 + i nierówności z zadania. wywnioskuj, że skorzystaj z nieparzystości funkcji sin x i x. ). sin x lim x 0 + x =. Dla x < 0 40

T.0. Oznaczmy Ix) = fx) fx0) x x 0 iloraz różnicowy) dla x Sx 0 ) = Ox 0 ) \ {x 0 } sąsiedztwo punktu). Zauważ, że ilorazy różnicowe Ix) z jednej strony punktu x 0 są niedodatnie, a z drugiej nieujemne. T.. W pewnym punkcie c a, b) funkcja f przyjmuje najmniejszą lub największą wartość na całym przedziale [a, b]; wartość ta jest równocześnie ekstremum lokalnym, zatem f c) = 0. T.. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji hx) = fx) fb) fa) b a x a). T.3. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji hx) = [fb) fa)]gx) [gb) ga)]fx). T.4. Największą wartością jest 0, a najmniejszą T.5. 8 ln + 3 ) + 3 ln + 3 ) 3 8. 3 5 ln 4. T.6. a) 5 + ln + 5 +, b) 5 + ln ln + 5 +. 4