ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki nieoznaczone 6 7 Całki oznaczone 6 8 Zadania trudniejsze 7 9 Powtórzenie 8 0 Pierwsze kolokwium Drugie kolokwium 4 Egzamin 5 II Odpowiedzi, wskazówki 9 Elementy logiki, zbiory, funkcje 9 Funkcje trygonometryczne 9 Ciągi 0 Granice funkcji, ciągłość 0 Rachunek różniczkowy Całki nieoznaczone Całki oznaczone

Zadania trudniejsze 3 Powtórzenie 4 Pierwsze kolokwium 6 Drugie kolokwium 8 Egzamin 9 Część I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje. Określ jako zdanie, funkcję inaczej: formę, formułę zdaniową na podanym zbiorze X lub jako żadne z powyższych dwóch wyrażenie: a tydzień ma siedem dni, b tydzień ma osiem dni, c 3 < 0, d >, X = 0,, e >, X = R. Zdania określ jako prawdziwe lub fałszywe oraz podaj ich wartości logiczne.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie a p q p q, b [p q r] [p q p r], c [p q r] [p r q]. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki. 3. Niech oznacza spójnik Pierce a, tzn. p q = p q. Za pomocą spójnika Pierce a jedyny, obok kreski Shefera, spójnik dwuargumentowy o tej własności wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. 4. Zbadaj prawdziwość zdania: [ y 0 < 0 ], a R y R [ y = < 0 ]. b R y R 5. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a [A B \ C] [A C \ B] oraz A B C, b A \ B A \ C oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna.

Funkcje trygonometryczne. Niech oznacza miarę łukową kąta. Naszkicuj na płaszczyźnie okrąg o środku w 0, 0 i promieniu, a następnie kąt. a Wyjaśnij znaczenie liczby. b Zaznacz na osiach współrzędnych sin, cos, tg, ctg o ile dwie ostatnie wartości istnieją. c Załóżmy, że 0, π. Udowodnij, że sin < < tg.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a f = ctg sin, b f = ctg + tg π, 5 c f = cos π + arc sin, d f = tg arc cos. 3 Ciągi. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach a a n = 7 + arc tg 0 + 7 + arc tg +... + 7 n + arc tg n, n b f n = k!, k=0 gdzie n N.. Wyznacz granicę ciągu o wyrazach a a n = n 3 n 5 n + 7 n, b a n = n + n + + n + n + +... + n + n n + n. 3. Rozważmy niektóre symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a, b 0, c 0 0, d. Dla dowolnego λ [, ] podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granic niewłaściwych do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłaściwej. 4. Wyznacz granicę ciągu o wyrazach n+3 n a a n =, n n n 3 + n + b a n = n. + n + 5 3

4 Granice funkcji, ciągłość. Wyznacz granicę lim 0 f, jeśli a f = sin π, 0 = π, b f = 3 sin π, 0 = π, c f = d f = 3 e f = + sin, 0 = 0, 3 + 3, 0 =, tg7 6 + 4 4, 0 = 0. Uwaga: nie można korzystywać z reguły de l Hospitala.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji + 3 a f = + 6 + 8, b f = 4 + arc sin 5, c f = 3 + ln +, 4 d f = + arc tg, e f = cos. + π 3. Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji f = + π cos. 4. Naszkicuj wykres funkcji f : R R, spełniającej warunki: lim f = lim f =, lim f =, lim f =, f = f. + Czy może być ona ciągła w całej swojej dziedzinie? 5. Wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji f = sin π, gdzie symbol oznacza część całkowitą, a m m jest liczbą całkowitą, różną od 0. 6. Dla jakich wartości parametru a R w podpunkcie a i parametrów a, b R w pozostałych podpunktach, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli { a a f = dla 0, ln dla = 0, ln 4 dla < 0, b f = a + dla = 0, tgb dla S + 0, gdzie S + 0 oznacza pewne sąsiedztwo prawostronne punktu 0 = 0, sinb dla < 0, c f = dla = 0, a + ln + e dla > 0. 4

7. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja sin dla < 0, f = a + b dla 0 5, jest ciągła na R? cos π 3 dla 5 < 8. Wyznacz granicę ciągu lim n lnn + ln n. n 9. Udowodnij, że równanie arc tg + 3 = ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0,. 0. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 5 + 3 + = 0. 5 Rachunek różniczkowy. Oblicz f 0, jeśli a f = sin π, 0 =, b f = sin + π, 0 = π.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0, jeśli a f = 5 + + 0, 5ln + 0, 5, 0 = 0, 5, b f = + e ln+, 0 = 0. 3. Za pomocą różniczki zupełnej wyznacz przybliżoną wartość funkcji f = e + sin w punkcie = 0,. 4. Napisz równanie takiej stycznej do wykresu funkcji f = 3 3 +, która jest prostopadła do 3 prostej y = +. 5. Wyznacz kąt, pod którym przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wykresy funkcji f = i g = +. 6. Wykaż, że funkcja f ma dokładnie jedno mejsce zerowe w przedziale I, jeśli a f = tg 3 +, I = 0, π, 4 b f = arc tg, I =,. 7. Udowodnij, że dla > zachodzi nierówność ln <. 8. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji a f = + + e, b f = e. 9. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a f = 64, b f = sin cos. 0. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale I, jeśli [ ] 3 a f = 3 9 + 4, I = 4,3. 5

[ b f = 3 3, I = 3, 3 ].. Za pomocą wzoru Taylora oblicz sin 0, z dokładnością do 0 0.. Wyznacz wielomian, za pomcą którego można obliczać wartości funkcji cos w przedziale dokładnością do 0 9. [ π 4, π ] 4 z 3. Wyznacz lim 0 f, jeśli a f = ln tg, 0 = 0 +, ln + b f =, 0 = 0. 6 Całki nieoznaczone. Oblicz f d, jeśli a f = cos, b f = +. c f = cos4.. Oblicz całkę f d z funkcji wymiernej a f = 4 + 8 + 5, b f = + 3 + 3 + +. 3. Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej a f = 3 sin sin, b f = c f = 7tg sin, ctg cos. 7 Całki oznaczone. Niech oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej. Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie korzystając z geometrycznej interpretacji całki oblicz a f =, a = 0, b = 9, b f =, a =, b =, c f =, a =, b =.. Za pomocą całki oznaczonej oblicz lim n n Uwaga: nie ma pomyłki w zapisie ostatniego składnika. b a f d, jeśli tg π π 3π n π + tg + tg +... + tg. 4n 4n 4n 4n 6

{ dla 0, 3. Wyznacz funkcje H, pierwotne funkcji h = cos dla 0 <. 4. Udowodnij, że πe 5. Oblicz 0 0 4 + 3 d. π e π cos 3 + 4 arc tg d 3πe. 6. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi a y =, y = ln, e b oś OX, y = ln, = e, c y = ln, y = 0, =, d y =, y = ln, y = 0, e y = cos, y = π 4, f y = sin dla [ 0, π 3 ], oś OX, = π 3. 7. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji [ π a f = tg dla 4, π ], 3 b f = ctg [ ] π dla,, c f = 3 [ cos dla 0, π ]. 4 8. Wyznacz długość wykresu funkcji [ a f = 3, o dziedzinie, 7 ], 3 b f = 3 3, o dziedzinie [,3]. 8 Zadania trudniejsze. Przyjmuje się, że a dla dowolnego zbioru X i obiektu a: a X lub a / X oraz b jeśli ϕ jest dowolną formułą zdaniową na zbiorze X tzn. po podstawieniu elementu a X, wyrażenie ϕa jest zdaniem, to elementy ze zbioru X, spełniające formułę ϕ, tworzą zbiór. Z powyższych dwóch przesłanek wywnioskuj, że nie istnieje twór będący zbiorem złożonym ze wszystkich zbiorów tzw. paradoks Russela.. Udowodnij, że różnica symetryczna zbiorów jest działaniem łącznym i przemiennym. 3. Udowodnij, że różnica symetryczna skończonej liczby zbiorów A, A,... A n składa się z tych elementów n A k, dla których ilość zbiorów A k zawierjących jest nieparzysta. k= 4. Wyprowadź wzory na sinus i kosinus sumy kątów. 7

5. Udowodnij, że a b c lim n n =, n lim a n = dla 0 < a <, n n r lim = 0 dla < a <, r R. n an 6. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach e n = 7. Udowodnij, że lim + n = n n k=0 k!. + n n, gdzie n N + = {,, 3,...}. 8. Udowodnij, że jeśli lim a n =, to lim + an n n a n = e. Czy zachodzi twierdzenie odwrotne? 9. Wykaż, że lim 0 sin =. 0. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O 0 punktu 0 R oraz że przyjmuje w 0 ekstremum lokalne właściwe lub nie. Udowodnij, że jeśli istnieje pochodna f 0, to f 0 = 0 twierdzenie Fermata.. Niech a, b R oraz a < b. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], różniczkowalna na a, b oraz że fa = fb. Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego f c = 0 twierdzenie Rolle a.. Niech a, b R oraz a < b. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna na a, b. Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego f fb fa c = twierdzenie Lagrange a. b a 3. Niech a, b R oraz a < b. Załóżmy, że funkcje f, g : [a, b] R są ciągłe na [a, b] i różniczkowalne na a, b. Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego [gb ga]f c = [fb fa]g c twierdzenie Cauchy ego. 4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = sinh 5 na przedziale I = [0, ], gdzie 4 sinh = e e oznacza sinus hiperboliczny. 5. Rozważmy cosinus hiperboliczny cosh = e + e arc cosh d. z dziedziną [0, i funkcję odwrotną arc cosh. Oblicz 6. Wyznacz długość wykresu funkcji a f = ln +, o dziedzinie [ 0, ], b f = e, o dziedzinie [, lne]. 9 Powtórzenie. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [ p q r ] [ p q p r ], gdzie symbol oznacza albo alternatywę wykluczającą koniunkcję. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki. 8

. Niech oznacza kreskę Shefera, tzn. p q = p q. Za pomocą kreski Shefera wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. 3. Zbadaj prawdziwość zdania: a R b R y R y R [ + y > 0 + y < 0], [y = 0 y = ]. 4. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub ogólnie żadna z poprzednich trzech możliwości nie zachodzi: a A B A C oraz A B A C, gdzie różnica symetryczną jest określona wzorem X Y = X \ Y Y \ X, b [A \ B C] oraz [A \ B C] A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. 5. Wyznacz dziedzinę naturalną D R funkcji f, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres, jeśli a f = tg + tg, b f = tg + π sin, π c f = ctg + arc tg, d f = ctg arc sin. 6. Wyznacz granicę ciągu o wyrazach a a n = n 00n + sin n 3 n + 0 n, b a n = n n 3 + + n n 3 + 4 +... + n n n 3 + n. 7. Rozważmy wyrażenia nieoznaczone dla granic ciągów: a, b 0 0, c 0. Dla dowolnego λ [0, ] w a, λ [0, ] w b oraz λ [, ] w c, podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granicy niewłaściwej do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłasciwej. 8. Wyznacz lim 0 f, jeśli a f = ln 4, 0 =, b f = + sin, 0 = 0, c f = 3 3 + 3 3, 0 =, 9

d f = cos ln +, 0 = 0, e f = ln + sin5 ln + sin, 0 = 0. Uwaga: nie można korzystać z reguły de l Hospitala. 9. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f, rozpatrywanej w dziedzinie naturalnej, jeśli a f = + arc tg3, b f = 5 + arc tg 7, c f = cos + ln +, d f = 3 + sin π. 0. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli e a dla < 0, a f = b dla = 0, sin dla > 0, a ln dla < 0, b f = dla = 0, sinb 4 dla > 0, c f = a ln 4 b dla = 0, sin arc tg8. Udowodnij, że równanie π a ln = sin 4, π b = sin 3, dla < 0, dla > 0? ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale 0,.. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 = 4. 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli a f = + e +, 0 = 0, b f = + ln, 0 =. 4. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f = + 3. 5. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a f = e sin, b f = e arc tg. 6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = 8 ln na przedziale I = [, 3]. 0

7. Wyznacz lim 0 f, jeśli a f = ln sin ln sin 3, 0 = π, b f = tg 3, 0 = 0. 8. Oblicz f d, jeśli a f = e 4, b f = 3 cos. 9. Oblicz f d z funkcji wymiernej f = 3 + 3 + 4 + 4 + 3 +. 0. Oblicz f d z funkcji trygonometrycznej a f = cos sin + 9, sin b f = cos cos +.. Niech oznacza część całkowitą liczby R. Naszkicuj wykres funkcji f i z pomocą gemetrycznej interpretacji całki oblicz b a f =, a = 0, b = 4, b f = e, a = 0, b = ln. a f d, jeśli. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: a y = 0, 3y = 0, b 5 + 4y = 0, + y = 0, c y = e, y =, =, d =, y =, y = 8, 8 e y = ln, y = ln +. 3. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji a f = [ cos dla 0, π ], b f = e +, dla [0,], c y = lne + dla [0, e]. 0 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.

Zestaw A. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p q. n n 7. Oblicz lim n + 9 n n 3 n n. 3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = arc sin, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. 4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli f = sinb dla < 0, dla = 0, a + ln + e dla > 0. Zestaw B. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub ogólnie żadna z poprzednich zależności nie zachodzi: [A B \ C] A C oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna.. Oblicz lim n n + arc tg n + arc tg n + n +... + n + arc tg n n. 3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = + ln, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. ln Uwaga: można wykorzystać wzór lim = 0. 4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli arc tgb dla < 0, f = dla = 0, a + sin + 3π dla > 0. Zestaw C. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = sin 3π tg. n. Oblicz lim n arc tgn n sin n. n cos 3. Oblicz lim 3π 3π. Uwaga: nie można korzystać z reguły de l Hospitala. 4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania = 0. Zestaw D. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg + n sin. Oblicz lim n n + + n sin n + +... + n sin n n. + n tg + π.

3. Oblicz lim 5π ctg 5π. Uwaga: nie można korzystać z reguły de l Hospitala. 4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg = 0. Zestaw E. Używając symboli negacji i alternatywy oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg π sin. 3. Oblicz lim n nn + sin. n n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = + arc tg, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. + Zestaw F. Używając symboli negacji i koniunkcji oraz nawiasów wyraź równoważność. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. π. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg arc tg. n 3. Oblicz lim n n 3 + + n n 3 + +... + n n n 3. + n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = Zestaw G + +ln, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. 4. Używając symbli negacji i alternatywy, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + 7π sin. 3. Oblicz lim ln + n nn +. n n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = arc ctg, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. Zestaw H. Używając symboli negacji i koniunkcji, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź alternatywę. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. 3π. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + arc ctg. 3. Oblicz lim n n + n 3 + n + n 3 +... + n + n n 3. n 3

4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = naturalną. Drugie kolokwium Zestaw A + + + ln, rozpatrywanej z dziedziną 9. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = ln + cos w punkcie o odciętej 0 = 0.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = + +. 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3y = 0. 4. Oblicz e cos d. Zestaw B. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = sin π + ln w punkcie o odciętej 0 =.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f = 64. 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5 + 4y = 0, + y = 0, 4. Oblicz e 4 d Zestaw C. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = ln + sin w punkcie o odciętej 0 = π.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = +. 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3 y = 0. 4. Oblicz e sin d. Zestaw D. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = cos π + ln w punkcie o odciętej 0 =.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f = 9 64 3. 3. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5y + 4 = 0, y + = 0, 4. Oblicz e d 4

Egzamin Zestaw A. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p r?. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = +arc sin 5, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = ln + sin w punkcie o odciętej 0 = 0. 4. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = + 5. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3y = 0. 6. Oblicz e cos d. Zestaw B. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f =. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy ciągu a n n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + 3 arc cos n + n + 3 arc cos n +... + n + 3 arc cos n n. 3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 =. 4. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f = 9 64 3. 5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = e 5 dla [0,]. 6. Oblicz + e d. sin π tg. Zestaw C. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub żaden z poprzednich przypadków ogólnie nie zachodzi: [A C \ B] A B, A B C. Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna.. Oblicz lim n n 3 n + 5 n 7 n + 0 n n. 3. Dla jakich parametrów a, b R, funkcja f = 0 = 0? a arc tg dla < 0, 5 dla = 0, b + sin + 7π dla > 0. jest ciągła w punkcie 4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = ln na przedziale [, e]. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5 + y = 0, 5 + y = 0. 6. Oblicz cos sin + d. 5

Zestaw D. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg +. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz lim a n = n + arc tg n + n + n + arc tg n + n +... + n + arc tg n n + n. n a n, jeśli tg + π. 3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg 3 = ln + e. 4. Oblicz lim 0 ln cos4. 5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji y = ln dla [, e]. sin 6. Oblicz cos + 5 d. Zestaw E. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p r?. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = ln + arc tg w punkcie o odciętej 0 = 0. 3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = + 4. 4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe y 4 = 0, 3y 4 = 0. 5. Oblicz e sin d. 6. Wyznacz wielomian, za pomocą którego można obliczać wartości funkcji funkcji f = sin w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zestaw F. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f =. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz lim a n, jeśli n n arc tg n arc tg n arc tg n a n = n + n +... + n. 3. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f = 9 8 3. cos π + ctg. 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = dla [0,]. 5. Oblicz + 3 sin d. 6. Wyznacz wielomian, za pomocą którego można obliczać wartości funkcji f = ln + w przedziale [0, ] z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 6

Zestaw G. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub żadna z poprzednich zalezności ogólnie nie zachodzi: [B C \ A] B A, B A C? Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna.. Oblicz lim n n 3 n + 5 n + 7 n + 0 n n. 3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = ln na przedziale [, e ]. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe 5 + 8y = 0, 5 + 4y = 0. 5. Oblicz sin tg + d. 6. Wyznacz wielomian, za pomocą którego można obliczać wartości funkcji f = cos w przedziale [ π 4, π 4 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zestaw H. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg +. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n = n=, a następnie oblicz granicę lim a n = n + arc ctg n + n + 3. Oblicz lim 0 ln cos. n + arc ctg n + n +... + n + arc ctg n n + n. n a n, jeśli ctg + π. 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji y = ln dla [, e]. cos 5. Oblicz + ctg d. 6. Wyznacz wielomian, za pomoca którego można obliczac wartości funkcji f = e w przedziale [0, ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. ] Zestaw I 0 n 3 n n. Oblicz lim. n n + 5 n sina + dla < 0. Dla jakich parametrów a, b R, funkcja f = 0 dla = 0 b + cos ln + e 5 dla > 0 0 = 0? jest ciągła w punkcie 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = lncos + sin w punkcie o odciętej 0 = 0. 4*. Oblicz sin z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe y 8 = 0, 3y 8 = 0. 6. Oblicz e cos4 d. 7

Zestaw J n 7. Oblicz lim n n 8 + + n7 n 8 + +... + n7 n n 8. + n. Wyznacz dziedzinę naturalną oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f = 3+arc tg 3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = + 3 +. 4*. Wyznacz ln, 5 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. +. 5. Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = 5 dla [0,]. 6. Oblicz e d. Zestaw K. Oblicz lim n 4 n 3 n 8 n 5 n n.. Dla jakich parametrów a, b R, funkcja f = 0 = 0? a + cos π dla < 0 8 dla = 0 ln+b +4 dla > 0 jest ciągła w punkcie 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = sin ln + w punkcie o odciętej 0 = 0. 4*. Oblicz cos z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe 8y = 0, 3 8y = 0. 6. Oblicz 7 sin d. Zestaw L n 5 +. Oblicz lim n n 6 + n5 + n 6 +... + n5 + n n 6. n. Wyznacz dziedzinę naturalną oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f = +cos 3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = + 5. 4*. Oblicz ln, z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. + 4. 5. Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = e + dla [0,]. 6. Oblicz 7 d. 8

Część II Odpowiedzi, wskazówki Elementy logiki, zbiory, funkcje. a Zdanie prawdziwe o wartości logicznej, b zdanie fałszywe o wartości logicznej 0, c zdanie prawdziwe o wartości logicznej, d funkcja zdaniowa, e ani zdanie, ani funkcja zdaniowa.. a nie, b tak, c tak, d tak. 3. Np. p = p p, p q = p p q q, p q = p q p q. 4. a zdanie prawdziwe, b zdanie fałszywe. 5. L lewa strona, P prawa strona, a L P, b L P =. Funkcje trygonometryczne. a Jest to długość łuku okręgu, odpowiadającego kątowi. b Dla zaznaczenia sin, cos wykorzystaj trójkąt prostokątny o jednostkowej długości przeciwprostokątnej. Dla zaznaczenia tg, ctg wykorzystaj trójkąty prostokątne o jednostkowych przyprostokątnych. c Porównaj pola wycinka koła i odpowiednich trójkątów. { cos dla kπ, k + π. a Dziedzina D f = R \ {kπ : k Z}, f = cos dla k + π, k + π, zbiór wartości W f =,, { ctg dla kπ, π b D f = R \ {kπ : k Z}, f = 0 dla [ π + kπ, kπ, W f = [0,, c D f = [, ], f =, W f = [, ], d D f = [, 0 0, ], f = W f = R. dla [, 0 dla 0, ], 9

Ciągi. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.. a 7, b. 3. Np. lim n + λ n = λ R, lim n n =, n n lim n n =, lim n + n n n n nie istnieje. 4. a e, b e. Granice funkcji, ciągłość. a π, b e 3, c e, d, e 4.. a = 4 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w i w, b y = 4 asymptota ukośna w i w, c = asymptota pionowa lewostronna, = asymptota pionowa prawostronna, y = 3 asymptota ukośna w i w, d y = + π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w, e = 0 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota ukośna pozioma w i w. 3. = π + kπ, k Z \ {0}. 4. Nie może być ciągła w punkcje 0 =. 5. Funkcja f jest ciągła na zbiorze R \ Z {km : k Z}. 6. a a =, b a =, b = 0, c a = 0, b =. 7. a = 3 0, b =. 8.. 9. Wykorzystaj własność Darbou na przedziale [0, ]. Dla uzasadnienia jedyności rozwiązania użyj ścisłej monotoniczności 0. Jedno rozwiązanie, 0 3 4. 0

Rachunek różniczkowy. a, b.. a y = + 9, b y = +. 3. f0,,. 4. y = +. 5. π 4. 6. Do uzasadnienia istnienia miejsca zerowego można wykorzystać własność Darbou. Jedyność miejsca zerowego można uzasadnić za pomocą ścisłej monotoniczności każdej z funkcji, wykazanej za pomocą pochodnej. 7. Obie strony nierówności są funkcjami są ciągłymi na [,. Porównaj pochodne tych funkcji na przedziale, i wartości w punkcie lub równoważnie, rozważ różnicę tych funkcji, jej pochodną na, i wartość w. 8. a Funkcja f maleje na przedziałach, 0], [,, rośnie na przedziale [0, ] i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne właściwe w punkcie 0 = 0, 3 maksimum lokalne właściwe e w punkcie 0 =, b f maleje na przedziałach [, 0, 0, ], rośnie na przedziałach, ], [, i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: e minimum lokalne właściwe w punkcie 0 =, e maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 =. 9. a Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziałach, 0, [4,, ściśle wklęsła na przedziale 0, 4], a punktem przegięcia wykresu funkcji jest 4, 0, b f jest ściśle wypukła na przedziale [ π, π], przedziałach postaci [kπ, k + π] i przedziałach postaci [ k + π, kπ], gdzie k N + = {,, 3,...}, f jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [k π, kπ] i przedziałach postaci [ kπ, k π, ], gdzie k N +, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci kπ, dla k Z \ {0} oraz k + π, dla k Z. 0. a Największą wartością jest 5, a najmniejszą 0, b największą wartością jest, a najmniejszą 3.. sin 0, 0, 0, 3 3! + 0, 5. 5!. cos! + 4 4! 6 6! + 8 8! 0 0!. 3. a 0, b. Całki nieoznaczone. a tg + ln cos + C, b ln ln + + C.. a arc tg + + C,

b ln + arc tg + + C, c ln + ln + + arc tg + + C. 3. a ln 3 3sin + C, b ln 7 7tg + C, c ln ctg + C. Całki oznaczone. a 3,. b 5 ln ln 3, c 5 3.. ln. π 3. H = { + C dla 0, sin + C dla 0 <. 4. Wskazówka: oszacuj największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale. 5 5 5. arc tg 5 5. 6. a 4 e 3, b e +, 4 c ln, d e 5 3, e + π3 6, f π 3π 36 4 + 3 6. π 7. a 3 π, b π, c π 3 0,5π ln 3 + ln 3. 8. a 56 7, b 8 9 3.

Zadania trudniejsze. Gdyby taki zbiór X istniał, to zbiorem byłby rownież Y = {A X : A / A}, a wtedy jednocześnie Y Y oraz Y / Y.. Wynika to z łączności i przemienności spójnika logicznego albo. 3. Różnica symetryczna n zbiorów powstaje w wyniku obliczenia n razy różnicy symetrycznej. Zauważ, że jeśli element należy do parzystej ilości zbiorów, to przy kolejnym obliczeniu pojawia się, znika lub pozostaje bez miany, a po ostatniej zmianie znika. Podobnie dla przynależności do nieparzystej ilości zbiorow. 4. Niech, y 0, π dla innych, y można wykorzystać wzory redukcyjne. a Naszkicuj trójkąt, aby kąt α przy jednym z jego wierzchołków wynosił α = + y, a wysokość opuszczona z tego wierzchołka dzieliła α na kąty i y. b Oblicz pole dużego trójkąta na dwa sposoby: bezpośrednio i jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów. Z równości pól wyprowadź wzór na sinus sumy kątów. c Zastosuj otrzymany wzór na sinus sumy kątów i wzory redukcyjne sin ϕ + π = cos ϕ, cos ϕ + π = sin ϕ do przekształcania cos + y = sin + y + π 5. a Z jednej strony, n n > dla dowolnego n N+. Z drugiej strony, niech δ > 0 będzie dowolną liczbą. Dla dostatecznie dużych n, n n < +δ, gdyż + δ n nn = +nδ+ δ +...+δ n nn > δ > n. b Dla a, a n < n n od pewnego miejsca. c Oznaczmy a = + δ, gdzie δ > 0. Ustalmy liczbę k, r < k N +. Dla dostatecznie dużych n, a n = + δ n nn = + nδ + δ nn n... n k +... + δ k+ +... + δ n > k +! nn n... n k δ k+ > k +! δk+ k +! e n = + + n + n 3 b Wywnioskuj, że ciąg e n jest rosnący. n k+.. 6. a Wykorzystując wzór Newtona na potęgę dwumianu zauważ, że n +... + n n 3... n n c Udowodnij, że e n + k oraz że ciag e n jest ograniczony. k=0... n n 7. a Zauważ, że e n f n dla n N +. Wywnioskuj, że e f. b Ustalmy dowolne n 0 N +. Rozważ ciąg g n o wyrazach g n = + + n + n n + 3... + n n... n 0 n, określonych dla n n 0. Zauważ, że g n e n. Udowodnij, że 3... n 0 lim g n = f n0 i dalej, że f n0 e. Wywnioskuj, że f e. n 8. Niech oznacza część całkowitą liczby R. Dla wystarczająco dużych n zachodzi a n >. an + Jeśli a n, to + + + an a n + a n + a n + an +. a n a n. 3

Dla a n < wykorzystaj równość + an = + a n a n an +. a n 9. Zauważ, że lim cos =. Za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach i nierówności z zadania. wywnioskuj, że lim =. Dla < 0 skorzystaj z nieparzystości funkcji sin i. 0 + sin 0 + 0. Oznaczmy I = f f 0 iloraz różnicowy dla S 0 = O 0 \ { 0 } sąsiedztwo punktu. 0 Zauważ, że ilorazy różnicowe I z jednej strony punktu 0 są niedodatnie, a z drugiej nieujemne.. W pewnym punkcie c a, b funkcja f przyjmuje najmniejszą lub największą wartość na całym przedziale [a, b]; wartość ta jest równocześnie ekstremum lokalnym, zatem f c = 0.. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji fb fa h = f a. b a 3. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji h = [fb fa]g [gb ga]f. 4. Największą wartością jest 0, a najmniejszą 3 5 ln. 4 5. 8 ln + 3 + 3 ln + 3 3 8. 6. a 5 + ln + 5 +, b 5 + ln ln + 5 +. Powtórzenie. Tautologia.. Np. p = p p, p q = p p q q. 3. a Zdanie prawdziwe, b zdanie fałszywe. 4. L lewa strona, P prawa strona, a L P =, b L = P. 5. a Dziedzina D f = R \ { π + kπ : k Z}, { 0 dla π + kπ, kπ, wzór f = tg dla [kπ, π + kπ, zbiór wartości W f = [0,, { cos dla kπ, π b D f = R \ {kπ : k Z}, f = + kπ, cos dla [ π + kπ, kπ, W f =,, c D f = [, ], f =, W f = [, ], 4

dla [, 0, d D f = [, 0 0, ], f = dla 0, ], W f = R. 6. a 0, b. 7. Np. lim lim n n 8. a 4, b e, c 3, + n d, e 5. + ln λ n n =. n = λ 0,, lim n = 0, n n 9. a y = + π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w, b y = 5 asymptota ukośna w i w, c = asymptota pionowa prawostronna, = asymptota pionowa lewostronna, d = π asymptota pionowa, y = + π asymptota ukośna w i w. 0. a a = b =, b a =, b = 8, c a = ln, b = 4.. Dla różnicy funkcji wykorzystaj własność Darbou na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Dla uzasadnienia jednyności rozwiązania wykaż ścisłą monotoniczność różnicy funkcji na przedziale 0,.. Jedno rozwiązanie, 0 7 4. 3. a y = +, b y = ln 3 + + ln 3. 4. f maleje na przedziałach, 3], [, ], rośnie na przedziałach [ 3, ], [,, przyjmuje ekstrema lokalne: 0 dwukrotnie jako minimum lokalne właściwe w punktach 0 = 3 i 0 =, 6 maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 =., ściśle wklęsła na przedzia- 3 oraz 4 π + kπ, e, [ 3 5. a f jest ściśle wypukła na przedziałach postaci 4 π + kπ, [ 4 łach postaci 4 π + kπ, 3 ] 4 π + kπ, punkty przegięcia są postaci gdzie k Z, ] π + k + π 4 π + kπ, e b f jest ściśle wypukła na przedziale, ], ściśle wklęsła na [,, a wykres ma jeden punkt przegięcia:, e π. 5

6. Największą wartością jest 8 ln 4, a najmniejszą. 7. a, b 3. 8. a 4 e 4 8 e4 + 3 e4 + C, 3 [ ] ln 3 b 4 + ln sin + 3 3 4 cos + 3 ln 3 + C. 9. 4 sin4 + cos4 + C. 6 0. a 3 arc tg sin 3 + C, b ln cos + ln cos + + C.. a 5, b 5 ln ln 3.. a 6, b 5, c e ln, d 8 ln 7 3, e 5 ln. 3 3. a π3 6 π 4, b π e 6, 4 c πe ln. Pierwsze kolokwium Zestaw A. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i r oraz fałszywości q.. 3. Po wyłączeniu przed pierwiastek 9/3 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach. 3. Dziedziną naturalną jest zbiór, ] [,. Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = jest asymptotą ukośną w oraz w. 4. b =, a = 0. 6

Zestaw B. Zbiory są równe... Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. 3. Dziedziną naturalną jest przedział 0,. Prosta o równaniu = 0 jest asymptotą pionową prawostronną. Nie ma asymptot ukośnych. 4. b =, a =. Zestaw C. Dziedzina D = R \.. 3.. 4. Jedno rozwiązanie, 0 3 4. { π } + kπ : k Z, f + kπ = sin dla π, π, k Z. Zestaw D. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f =.. 3.. { ctg dla kπ, kπ + π, k Z 0 dla kπ + π, k + π, k Z. 4. Jedno rozwiązanie, 0 3 4. Zestaw E. p q = [ p q].. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = 3.. { cos dla kπ, kπ + π, k Z, cos dla kπ + π, k + π, k Z. 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y =. Zestaw F. p q = { [p q] [ p q]}.. Dziedzina D = R, f =. 3.. 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu = 0, asymptota pionowa prawostronna o równaniu =, asymptota pionowa lewostronna o równaniu =. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D =, 0 0,. 7

Zestaw G. p q = [ p q].. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = 3.. { cos dla kπ, kπ + π, k Z, cos dla kπ + π, k + π, k Z. 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = +. Zestaw H. p q = [ p q].. Dziedzina D = R, f =. 3.. 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptota pionowa prawostronna o równaniu = 3, asymptota pionowa lewostronna o równaniu = 3. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = 3,, 3. Drugie kolokwium Zestaw A. y =. [. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach, 3 ], [,, f jest ściśle malejąca na przedziałach, ], [ 3 ], ; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 3. Punkty przecięcia wykresów to,, 4,, pole P = 3y y dy = 6. 4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki I na jedną stronę, otrzymujemy sin + cos I = e + C. Zestaw B. y = +.., 0, [4, ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. 3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0, 5, 5, pole P = 5 0 4 5 y + y dy = 5. 4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = 4 e 4 8 e4 + 3 e4 + C. 8

Zestaw C. y = π π + ln π + +.. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach [, ], [0,, ściśle malejąca na przedziałach, ], [, 0]; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 3. Punkty przecięcia wykresów to,,, 4, pole P = 3 d = 6. 4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki I na jedną stronę, sin cos I = e + C. Zestaw D. y =.., 0, [ 4 3, ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. 5 3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0,, 5, pole P = 5 0 4 5 + d = 5. 4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = e e + 4 e + C. Egzamin Zestaw A. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i q oraz fałszywości r.. Dziedziną naturalną jest D =, 5] [5,. Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = jest asymptotą ukośną w oraz w. 3. y =. 4. f = 4 + 5 +, f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 5, ], [, lub przedziały otwarte, f jest ściśle malejąca na przedziałach, 5], [, ] lub przedziały otwarte; suma, np. [ 5, ] [,, to błąd. 5. Punkty przecięcia to,,,, pole P = 3y 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = Zestaw B. Dziedzina D = R \ y dy = 9 4 7 6 =. sin + cos e + C. 5 { π } + kπ : k Z, f = sin dla π, π, funkcja jest okresowa o okresie π.. a =, a = + + 3 π 3 4 = + π 4, lim n a n =. Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. 9

3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f = 3, przynajmniej jedno z własności Darbou: f0 > 0, f < 0, f < 0. Odpowiedź: 0 4. 4. f = 8 + 64 [ 3, f = 73 64 4 3 3, przedziałami ścisłej wypukłości są, 0, 3, ten drugi przedział może być otwarty. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 5. V = π e 0. 0 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = + e + e + 4 e + C. Zestaw C. Zbiory są równe... Po wyłączeniu przed pierwiastek 5/0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach. 3. a = 5, b = 7. 4. f = =, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = {f, f, fe} = {, ln, e}. Łatwo f < fe. Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od = maleje, zatem m =, M = ln. 5. Punkty przecięcia to 5,, 0, 0, pole P = 0 5 y + 5 y dy = 5 3 + = 5. 6. Podstawienie t = sin, zatem szukana całka I = t + dt = 5 sin5 3 sin3 sin + C. Zestaw D. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = { ctg dla kπ, kπ + π, k Z 0 dla [ kπ + π, k + π, k Z.. a = 4 + π, lim 8 a n =, można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. n 3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f = arc tg 3 +ln + e, przynajmniej jedno z własności Darbou: f0 = < 0, f = π 3 > 0. Odpowiedź: 0. 4. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0, otrzymujemy po pierwszym kroku 0 l 4 sin4 m = cos4 = e 5. V = π 0 8 cos4 sin4 8. 4 ln d = π [ ln ] e = = π.. 6. Podstawienie t = 5 + cos, zatem szukana całka I = dt dt = ln 5 + cos + C. t + 5 30

Zestaw E. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy fałszywości zdań p i r zdanie q dowolne.. f0 = 0, f = + + arc tg, f 0 =, y =. 3. f = 4 + 4 +, f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 4, ], [0, lub przedziały otwarte, f jest ściśle malejąca na przedziałach, 4], [, 0] lub przedziały otwarte; suma, np. [ 4, ] [0,, to błąd. 4. Punkty przecięcia to 4,,,, pole P = 3y 4 y dy = 9 4 8 7 = 4. 5. Szukana całka I = e sin d = e cos e cos d = e cos e sin I, skąd I = cos + sin e + C. 6. R k+ = k cos c k +! k+ stąd wystarczy k =, zatem sin 3 6. Zestaw F. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = cos dla 0, π, funkcja jest okresowa o okresie π.. a = π 4, n π n a n, lim n a n =. 3. f = 8 + 8 3, f = 73 8 3 3, przedziałami ścisłej wypukłości są, 0, przedział może być otwarty. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. [ 3, ten drugi 4. V = π 5. 0 4 d = 3π ln. + 3 sin d = + 3 cos + + 3 cos d = + 3 cos + + 3 sin + cos + C. 6. R n = n n stąd wystarczy n = 3, zatem ln + n + c n. Zestaw G. Zbiory są równe.. 0. Po wyłączeniu przed pierwiastek 0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach. 3. f = =, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = {f/, f, fe/} = { /, ln, e/}. Łatwo f/ < fe/. Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od = maleje, zatem m = /, M = ln. 4. Punkty przecięcia to 5,, 0, 0, pole P = 0 85 y + 45 y dy = 0 3 + = 30. 3

5. Szukana całka I = sin cos d = cos + C. 6. R k = k cos c k stąd wystarczy k = 3, zatem cos / + 4 /4. k! Zestaw H. Dziedzina D = R \. a = 3 + π, n { π } { tg, gdy tg 0, + kπ : k Z, f = 0, gdy tg < 0. n + n a n n + π n + n, lim n a n =. 3. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0 0, otrzymujemy l m = e 4. V = π 0 sin cos = cos sin. ln e d = π [ ln ] = = π e. 5. Szukana całka I = sin cos d = 3 sin3 + C. 6. R n = ec n! n, stąd wystarczy n = 5, zatem e Zestaw I 4 n=0 n n!.. Po wyłączeniu 0 5 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 =.. a {3, 3}, b =. 3. y =. 4. Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina dla f = sin : R n c < n! n 0 3, wystarczy n = 5, sin 48 = 3 48. 5. Punkty przecięcia to 8,,,, pole P = 3y 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = Zestaw J. Z twierdzenia o trzech ciągach, granica wynosi. 8 y dy = 9 8 6 4 7 4 = 48. 4 sin4 + cos4 e + C. 7. D = R \ { }, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = 3. 3. f = 4 + + + 3, funkcja f rośnie na przedziałach [ 3, ], [,, maleje na przedziałach, 3, ], [, ] dopuszczalne są przedziały otwarte. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 3

4. Oszacowanie reszty R n we wzorze Maclaurina dla f = ln + : R n c < n n n = 5, ln, 5 + 3 3 4 4. 5. V = π ln 5. 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = e e + e + C. Zestaw K. Po wyłączeniu 4 8 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 =.. b {, }, a = 8. 3. y =. 0, wystarczy 4. Oszacowanie reszty R n we wzorze Maclaurina dla f = cos : R n c < n! n 0 3, wystarczy n = 5, cos + 4! 4. 5. Punkty przecięcia to,,,, pole P = 8 3 8 d = 9 8 6 4 7 4 = 48. cos + ln 7 sin 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = + ln 7 + C. 7 Zestaw L. Z tw. o trzech ciągach, granica wynosi.. D = R \ { 4}, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = +. 3. f = 4 + + 5, funkcja f rośnie na przedziałach [ 5, ], [,, maleje na przedziałach, 5, ], [, ] dopuszczalne są przedziały otwarte. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 4. Oszacowanie reszty R n we wzorze Maclaurina dla f = ln + : R n c < n 5 n n = 4, ln, 5 5 + 3 5 3. e 6. 5. V = π 4 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = ln 7 ln 7 + ln 3 7 + C. 7 0 3, wystarczy 33