Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05
MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0.
MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie 0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa siedztwo S punktu 0, że S
MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie 0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa siedztwo S punktu 0, że S f () > f ( 0 ).
MAKSIMUM LOKALNE y f ( 0 ) y = f () 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0.
MAKSIMUM LOKALNE y f ( 0 ) y = f () 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie 0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa siedztwo S punktu 0, że S
MAKSIMUM LOKALNE y f ( 0 ) y = f () 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie 0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sa siedztwo S punktu 0, że S f () < f ( 0 ).
GDY JEST EKSTREMUM, TO... WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym i ma ekstremum w punkcie 0 z tego przedziału, to f ( 0 ) = 0. Dowód. Załóżmy, że f ma w 0 minimum. Wtedy f () f ( 0 ) > 0 dla z pewnego sa siedztwa S punktu 0. Zatem dla S iloraz różnicowy f () f ( 0) 0 jest ujemny dla < 0 oraz dodatni dla > 0. Oznacza to, że f () f ( lim 0 ) f () f ( 0 0 0 oraz lim 0 ) + 0 0 0. Ponieważ obie granice sa sobie równe (pochodna istnieje), wiȩc f f () f ( ( 0 ) = lim 0 ) 0 0 = 0. Podobnie, gdy f ma w 0 maksimum, to granica lewostronna ilorazu różnicowego jest nieujemna, a prawostronna jest niedodatnia. Ponieważ obie granice sa sobie równe, wiȩc granica ta to zero.
KIEDY WYSTĘPUJE EKSTREMUM? WARUNEK WYSTARCZAJA CY ISTNIENIA EKSTREMUM (I). Załóżmy że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym sa siedztwie punktu 0 i że jest cia gła w 0. Jeżeli pochodna f przy przejściu przez 0 zmienia znak z + na -, to funkcja f ma maksimum lokalne w tym punkcie. Jeżeli pochodna f przy przejściu przez 0 zmienia znak z - na +, to funkcja f ma minimum lokalne w tym punkcie. Dowód. Załóżmy, że istnieje sa siedztwo S punktu 0, że f () > 0 dla < 0, S oraz f () < 0 dla > 0, S. Oznacza to, że funkcja f przechodzi z rosna cej w maleja ca, a wiȩc f ( 0 ) > f () dla < 0, S oraz f ( 0 ) > f () dla > 0, S. Zatem f ma maksimum lokalne w 0. Podobnie, jeżeli pochodna f przy przejściu przez 0 zmienia znak z - na +, to funkcja f przechodzi z maleja cej w rosna ca i ma minimum lokalne w 0.
KIEDY WYSTĘPUJE EKSTREMUM? WARUNEK WYSTARCZAJA CY ISTNIENIA EKSTREMUM (II). Załóżmy że funkcja f ma cia gła pochodna drugiego rzȩdu w pewnym otoczeniu punktu 0 oraz że f ( 0 ) = 0. 1. Jeżeli f ( 0 ) < 0, to funkcja f ma w punkcie 0 maksimum lokalne. 2. Jeżeli f ( 0 ) > 0, to funkcja f ma w punkcie 0 minimum lokalne. 3. Załóżmy, że f ( 0 ) = 0 i że f () ma pochodne wyższych rzȩdów wła cznie z pochodna f (n) () oraz załóżmy że f (n) () jest cia gła w 0. Ponadto niech f ( 0 ) = = f (n 1) ( 0 ) = 0, f (n) ( 0 ) 0. Jeżeli n jest liczba nieparzysta, to funkcja f nie ma ekstremum w 0. Jeżeli n jest liczba parzysta, to f ma ekstremum lokalne w 0 i to maksimum, jeśli f (n) ( 0 ) < 0, a minimum jeśli f (n) ( 0 ) > 0.
WARUNEK WYSTARCZAJA CY ISTNIENIA EKSTREMUM (II). Dowód tylko czȩści 1 i 2. Jeżeli f ( 0 ) < 0 i f jest cia gła, to istnieje takie otoczenie Q punktu 0, że f () < 0 dla Q. Ponieważ f = (f ), wiȩc f jest funkcja maleja ca w Q. Zatem z warunku f ( 0 ) = 0 wnioskujemy, że f () > 0 dla < 0, Q oraz f () < 0 dla > 0, Q. Z warunku wystarczaja cego (I) wiemy, że w 0 funkcja f ma maksimum lokalne. Podobnie, jeśli f ( 0 ) > 0, to istnieje takie otoczenie Q punktu 0, że funkcja f jest rosna ca w Q. Oznacza to, że f przy przejściu przez 0 zmienia znak z - na +, a zatem funkcja f ma minimum lokalne w 0.
PRZYKŁAD 1. W których punktach funkcja f () = 1 6 6 2 5 5 1 4 4 + 2 3 3 osiąga ekstremum? D f = R f () = 5 2 4 3 + 2 2 = 2 ( + 1)( 1)( 2) D f = R = D f Miejsca zerowe pochodnej to 1 = 0, 2 = 1, 3 = 1, 4 = 2. Są to punkty podejrzane (w innych punktach funkcja f () na pewno nie osiąga ekstremum, w tych być może osiąga). Nie musimy rysować wykresu funkcji pochodnej, który wygląda tak:
Wykres funkcji pochodnej. y y = f ()
f () = 2 ( + 1)( 1)( 2) Nie musimy rysować wykresu funkcji pochodnej. Wystarczy, że ustalimy jej znaki. Miejsca zerowe pochodnej to 1 = 0, 2 = 1, 3 = 1, 4 = 2. + + 1 0 1 2 + znaki f () Oznacza to, że funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie 2 = 1 oraz 4 = 2, osiąga też maksimum lokalne dla 3 = 1.
Ilustracja: wykres funkcji f (). Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie 2 = 1 oraz 4 = 2, osiąga też maksimum lokalne dla 3 = 1. y y = f ()
PRZYKŁAD 2. Znajdź ekstrema funkcji f () = 3 2 ( 5). D f = R f () = 2 3 1 3 ( 5) + 2 3 1 = 2 10 + 3 2 3 1 3 3 1 3 = 5 10 3 3 D f = R \ {0} D f Miejsce zerowe pochodnej to 1 = 2. Punkty podejrzane to 1 = 2 oraz 2 = 0 (w pierwszym pochodna się zeruje, w dugim pochodna nie istnieje, choć punkt ten należy do dziedziny funkcji).
f () = 5 10 3 3 Ustalamy znaki pochodnej. Punty podejrzane : 1 = 2 oraz 2 = 0. + 0 2 + znaki f () Oznacza to, że funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie 1 = 2 oraz maksimum lokalne dla 2 = 0.
Ilustracja: wykres funkcji f (). Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie 1 = 2 oraz maksimum lokalne dla 2 = 0. y y = f ()
EKSTREMA GLOBALNE DEFINICJA. Liczbȩ M nazywamy wartościa najwiȩksza (maksimum globalnym) funkcji f w zbiorze D, jeżeli 1 D f ( 1 ) = M D f () M. y M y = f () 1
EKSTREMA GLOBALNE DEFINICJA. Liczbȩ m nazywamy wartościa najmniejsza (minimum globalnym) funkcji f w zbiorze D, jeżeli 2 D f ( 2 ) = m D f () m. y M y = f () 2 1 m
Wartość największa M i najmniejsza m funkcji f () w zbiorze D. y M y = f () 2 1 m
dla nas ekstrema globalne istnieją zawsze TWIERDZENIE. Funkcja cia gła w przedziale domkniȩtym osia ga w pewnych punktach tego przedziału swoja wartość najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b] wystarczy: 1. znaleźć punkty podejrzane o ekstremum w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje); 2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach; 3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału); 4. z uzyskanych liczb wybrać najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b] wystarczy: 1. znaleźć punkty podejrzane o ekstremum w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje); 2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach; 3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału); 4. z uzyskanych liczb wybrać najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b] wystarczy: 1. znaleźć punkty podejrzane o ekstremum w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje); 2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach; 3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału); 4. z uzyskanych liczb wybrać najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b] wystarczy: 1. znaleźć punkty podejrzane o ekstremum w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje); 2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach; 3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału); 4. z uzyskanych liczb wybrać najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b] wystarczy: 1. znaleźć punkty podejrzane o ekstremum w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje); 2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach; 3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału); 4. z uzyskanych liczb wybrać najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f w przedziale [a, b] wystarczy: 1. znaleźć punkty podejrzane o ekstremum w (a, b) (to znaczy punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje); 2. obliczyć wartości funkcji f w tych punktach; 3. obliczyć wartości funkcji f w punktach a, b (na końcach przedziału); 4. z uzyskanych liczb wybrać najwiȩksza i najmniejsza.
Jak znaleźć wartości naj...? PRZYKŁAD. Znajdź wartość najwiȩksza i najmniejsza funkcji f () = 3 ( 2 1) 2 w przedziale [ 2, 1 2 ]. Dziedzina funkcji: D f = R. Szukamy punktów podejrzanych o ekstremum. Pochodna: f () = ( ( 2 1) 2 3 ) = 2 3 ( 2 1) 1 3 2 = 4 3 3 2 1. Dziedzina pochodnej: D f = R \ { 1, 1}. Oczywiście, f () = 0 = 0. Punkty podejrzane o ekstremum lokalne funkcji f to 0 = 0, 1 = 1, 2 = 1 (w pierwszym z nich pochodna siȩ zeruje, w pozostałych pochodna nie istnieje, choć funkcja istnieje).
Znajdź wartość najwiȩksza i najmniejsza funkcji f () = 3 ( 2 1) 2 w przedziale [ 2, 1 2 ]. Punkty podejrzane o ekstremum lokalne funkcji f to 0 = 0, 1 = 1, 2 = 1. Punkty podejrzane należa ce do rozważanego przedziału [ 2, 1 2 ] to 0 = 0, 1 = 1. Obliczamy: f (0) = 1, f ( 1) = 0, f ( 2) = 3 9, f ( 1 2 ) = 3 9 16. Wartość najwiȩksza to 3 9, wartość najmniejsza to 0.
Wartością najwiȩksza funkcji f () = 3 ( 2 1) 2 w przedziale [ 2, 1 2 ] jest 3 9, wartością najmniejszą jest 0. y y = 3 ( 2 1) 2 2 1 0 1 2 1
Wartością najwiȩksza funkcji f () = 3 ( 2 1) 2 w przedziale [ 2, 1 2 ] jest 3 9, wartością najmniejszą jest 0. y y = 3 ( 2 1) 2 2 1 0 1 2 1
Wartością najwiȩksza funkcji f () = 3 ( 2 1) 2 w przedziale [ 2, 1 2 ] jest 3 9, wartością najmniejszą jest 0. y 3 9 y = 3 ( 2 1) 2 2 1 0 1 2 1