Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Transkrypt

1 FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz wielomianów Ponieważ M() (mianownik zależności (*)) jest wielomianem, to każdy wielomian jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej Sporządzenie wykresu funkcji wymiernej, to na ogół bardzo trudne zadanie Wymaga bardziej zaawansowanego aparatu matematycznego (rachunku różniczkowego), o czym będzie mowa dopiero pod koniec semestru W tym rozdziale zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności wymiernych Przykład + Rozwiązać nierówność 0 5 Rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji występującej po lewej stronie nierówności Ponieważ mianownik nie może być zerem, więc D = R\{5} Mamy + 0 (5 ) > 0 mnożymy obie strony nierówności przez wielkość dodatnią 5 ( + )(5 ) 0 sprowadziliśmy nierówność wymierną do kwadratowej Łatwo widoczne są pierwiastki i znak przy (to ujemna liczba -) możemy więc rysować i mamy 5 Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) Przykład Rozwiązać nierówność Dziedziną jak widać jest zbiór D = R\{} Możemy postąpić tak jak w poprzednim przykładzie, ale jeżeli prawa strona nierówności nie jest zerem, to efektywniejszym jest zazwyczaj poniższy sposób postępowania

2 0 ( ) ( 4 )( ) 0 ( ) > 0 sprowadziliśmy do postaci z przykładu I możemy rysować 4 Rozwiązaniem jest przedział (,4 ] Przykład Rozwiązać nierówność + 5 Zauważmy, że dla + 5 mamy = 9 0 < 0, więc mianownik naszej nierówności jest ujemny, dla dowolnego R, w konsekwencji jest różny od zera, a więc D = R Ta obserwacja (to, że mianownik jest ujemny) powoduje, że warto jest tu postąpić taj, jak w przykładzie, czyli ( + 5 ) < nie zapominamy o zmianie kierunku nierówności, bo ( + 5 ) < ( + ) 0-0 I rozwiązaniem jest przedział [,0 ] Reasumując, nierówności wymierne rozwiązujemy przez sprowadzenie ich do postaci wymiernej używając różnych technik pozbywania się mianownika Pamiętamy przy tym, że nierówności można mnożyć stronami jedynie przez wyrażenia ustalonego znaku Jeżeli jest on dodatni, to nierówność pozostaje bez zmian, jeżeli jest ujemna, to należy zmienić kierunek zastanej nierówności

3 Definicja Niech n N Definiujemy funkcje FUNKCJE NIEWYMIERNE : [0, ) R oraz n+ : R R następująco: n n n n+ n+ [0, ) = y 0 y = oraz R = y y = Pierwsza z nich, to tzw pierwiastek stopnia parzystego, druga, to pierwiastek stopnia nieparzystego Zwracamy uwagę na y 0 przy definicji pierwiastka stopnia parzystego Na wykresie w szczególności dla n=: : f ( ) g( ) Jest to funkcja określona w zbiorze liczb nieujemnych, przyjmująca tylko wartości nieujemne i rosnąca Jest to funkcja określona w zbiorze liczb rzeczywistych, przyjmująca wszystkie wartości rzeczywiste i rosnąca Zupełnie analogicznie wyglądają wykresy funkcji: pierwiastek stopnia parzystego i pierwiastek stopnia nieparzystego Przykład Znaleźć dziedziny funkcji f i g określonych wzorami: f ( ) 4 i g( ) 4 Dla funkcji f Ponieważ dziedziną pierwiastka stopnia parzystego jest zbiór liczb nieujemnych, to 4 0 Ze względu na mianownik mamy i poza tym wykorzystując po drodze wzór skróconego mnożenia ( a b)(a + b) = a b otrzymujemy: 4 0 ( ) > 0 (4 ) ( ) 0 ( )( + )( ) 0 I stąd odczytujemy D f = (, ] (, ] - Dla funkcji g Ponieważ dziedziną pierwiastka stopnia nieparzystego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, to jedynie Zr względu jedynie ze względu na mianownik i mamy D g = R \ {} = (,) (, )

4 Przykład 4 Rozwiązać nierówność 8 < Rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny naszych rozważań Jest nią rozwiązanie nierówności 8 = (8 ) 0, a więc przedział D = [ 0,8 ] Mamy 8 < = 9 Ponieważ pierwiastek (każdy) jest funkcją rosnącą, to mamy 8 < 9, więc < 0 Jej rozwiązaniem jest zbiór P = (,4 7 ) (4 + 7, ), ale nie jest to zbiór rozwiązań naszej nierówności, bowiem uwzględnić oczywiście jeszcze należy dziedzinę Mamy 0 = = Zwróćmy uwagę na zapisy uzasadniające kolejność występowania na osi poszczególnych liczb W przypadku bardziej złożonych liczb niewymiernych, ich usytuowanie na osi nie jest czasami rzeczą prostą Wracając do przykładu, z diagramu odczytujemy rozwiązanie wyjściowej nierówności Jest nim zbiór [ 0,4 7 ) (4 + 7,8 ] Przykład Rozwiązać nierówność (*) < Rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny naszych rozważań Jest nią rozwiązanie nierówności 0, czyli zbiór D = (, ] Nie możemy użyć techniki zaprezentowanej w przykładzie Tam zapisaliśmy zgodnie z definicją pierwiastka stopnia parzystego = 9 (bo jest jedyną liczbą nieujemną, której kwadrat daje 9) W tym przykładzie nie możemy zapisać =, bo np dla = mamy: ( ) = 4 = Pierwiastek stopnia parzystego jest liczbą nieujemną, w związku z tym dla liczb nieujemnych mamy =, natomiast dla liczb niedodatnich = Uwaga W następnym rozdziale zajmiemy się tym bliżej Poznamy funkcją moduł i własność =

5 Wracając do przykładu Ponieważ lewa strona nierówności (*) jako pierwiastek stopnia parzystego jest liczbą nieujemną, to z racji kierunku nierówności < stwierdzamy, że > 0 i w 5 konsekwencji = i mamy < = Ponieważ jest funkcją rosnącą, to <, więc > 0 + (obliczamy, rysujemy parabole i odczytujemy rozwiązanie tej nierówności Jest nim zbiór (, ) (, ) Uwzględniając dziedzinę D = (, ] oraz > 0 mamy 0 Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest zbiór (, ] Przykład 4 Rozwiązać nierówność (**) > Rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny naszych rozważań Jest nią rozwiązanie nierówności 0, czyli zbiór D = (, ] Tym razem nie możemy zastąpić Zauważmy jednak, że dla 0 =, bowiem nierówność (**) nie wymusza nieujemności nierówność (**) jest oczywiście spełniona (prawa jej strona jako pierwiastek stopnia parzystego jest nieujemna, podczas gdy lewa jest niedodatnia) Po rozważeniu przypadku 0 pozostaje rozważyć przypadek > 0 Teraz możemy przyjąć = i analogicznie jak w przykładzie otrzymujemy: + < 0 (obliczamy, rysujemy parabole i odczytujemy rozwiązanie tej nierówności Jest nim zbiór (,) 0 I rozwiązaniem jest zbiór (,) (,0 ] = (,) Jak z zamieszczonych przykładów wynika rozwiązywanie nierówności wymiernych nie jest rzeczą łatwą Często kuszeni jesteśmy chęcią pozbycia się pierwiastków przez podniesienie obu

6 stron nierówności do kwadratu, co jest możliwe (tzn otrzymujemy równoważną nierówność), ale tylko, gdy obie strony nierówności są nieujemne (lub obie ujemne, wtedy mnożone przez (-) będą dodatnie) Przykład 5 6 Rozwiązać nierówność (***) + Rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny naszych rozważań Jest nią rozwiązanie nierówności 0 0, czyli zbiór D = [, ) Obie strony nierówności (***) są nieujemne, więc możemy podnosić stronami do kwadratu i mamy Ostatecznie uwzględniając dziedzinę stwierdzamy, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór [, ) 9 Przykład 6, 7 Rozwiązać nierówność (a) + (b) + Postępując analogicznie jak w przykładzie 5 stwierdzamy, że rozwiązaniem nierówności (a) jest jednoelementowy zbiór {}, zaś rozwiązaniem nierówności (b) jest zbiór pusty ( ), czyli żadna liczba rzeczywista tej nierówności nie spełnia Przykład 8 Rozwiązać nierówność (****) 8 + < + 7 Rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny naszych rozważań Pod pierwiastkiem stopnia nieparzystego (tu trzeciego) znaleźć się może każda liczba rzeczywista Wprawdzie widzimy, że występuje tam mianownik, ale natychmiast widać, że jest on od zera różny (większy jest od zera, a nawet nie mniejszy niż 7) Tak więc dziedziną jest tu cały zbiór liczb rzeczywistych D = R Z pierwiastkami stopni nieparzystych nie ma takich kłopotów jak z pierwiastkami stopni parzystych Tu zawsze a n+ n+ = a Mamy więc < = 8 Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, to mamy 8 + < < > I rozwiązaniem jest przedział (,4) < 0 4 < 4

7 Funkcja moduł 7 Definicja Funkcję :R R zdefiniowaną następująco: dla dla 0 < 0 nazywamy wartością bezwzględną (modułem) ε > 0 - ε ε y = y = - Wprost z powyższej definicji mamy: 7 = 7; - 7 = 7; 0 = 0 Pewne obserwacje związane z tą funkcją (O) R ( 0 = < 0 = - ) (O) R = - 0 (O) R - (O4),y R y = y (O5) R ε > 0 < ε ε < < ε (O5 ) R ε > 0 ε ε ε (O6) Dla dowolnej funkcji f: R R mamy R f() f() f() (O7),y R + y + y Uwaga Na ogół + y + y Istotnie = = (O8) R =

8 8 Przykład Rozwiązać nierówność 5 < Dziedziną jest oczywiście zbiór R Wykorzystując własność O5 mamy: < 5 < 8 ; < < 8 ; < < 4, czyli rozwiązaniem jest przedział (,4) Przykład Rozwiązać nierówność Dziedziną jest oczywiście zbiór D = R \ { } Wykorzystując własność O6 mamy: ; ; ( ) ( ) 0 + = + 0 = + 0 = + 0 ( ) > 0 Dla + = 4, więc jest to 0 ( )( ) ; = trójmian o wartościach dodatnich, więc + ( ) 0 > = ; = + ; = X X Jednocześnie: X X Zatem rozwiązaniem jest t zbiór [ +, ) Własności O5 i O6 są więc bardzo użyteczne, ale czasami jednak nieopłacalne w użyciu Np

9 9 Przykład Rozwiązać nierówność (*) + 9 < 5 Ponieważ moduł z sumy, to na ogół nie jest suma modułów, więc własność O5 nie na wiele się tu zda Zaprezentujemy inny sposób Mianowicie pozbędziemy się obu modułów badając znaki funkcji podmodulowych f ( ) g( ) 9 - Dla wygody sporządzimy siatką znaków funkcji podmodułowych f ( ) g( ) - = + + = Dla (, ] nierówność (*) przyjmuje postać ( obie podmodułowe są ujemne, opuszczając moduły zmieniamy znak): (**) < < 0 = 49 = >= ; = = 4 Jak widać w tym przedziale parabola leży nad osią, więc tu zbiór rozwiązań jest pusty D = - 4 Dla (, ] nierówność (*) przyjmuje postać ( g dodatnia opuszczamy moduł bez zmiany znaku, f ujemna opuszczając moduł zmieniamy znak ):

10 (**) < < 0 = 5 = + 5 = = = ; 0 - Tu również nie ma rozwiązań, bo w przedziale (, ] parabola leży nad osią Zbiór rozwiązań D = Dla (, ] nierówność (*) przyjmuje postać ( obie podmodułowe są dodatnie, opuszczając moduły nie zmieniamyich znaku) (***) < < 0 = 9 = = ; = = Tu nierówność spełniają wszystkie liczby z przedziału (, ], więc D = (, ] - Dla (, ) nierówność (*) przyjmuje postać ( f dodatnia opuszczamy moduł bez zmiany znaku, g ujemna opuszczając moduł zmieniamy znak ): (***) < < 0 = 65 = < 0 < ; = > = > W przedziale (, ) zbiór rozwiązań D4 = (, ) X -4

11 a> + 65 Ostatecznie zbiór rozwiązań to D = D D D D4 = (, )