Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:

Transkrypt

1 Wykład 6 Funkcje Różniczkowalne - cią dalszy Twierdzenie o arytmetycznyc własnościac pocodnej Załóżmy, że funkcje f i są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f +, f, f, i, jeśli ( p) 0, to również f są różniczkowalne w punkcie p i zacodzą wzory: ( f + )( x) f ( x) + ( x), ( f ) ( x) f ( x) ( x), ( f )( x) f ( x) ( x) + f( x) ( x), f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x x. ( x) Dowód f ( p+ ) f( p) ( p+ ) ( p) Mamy f ( p) oraz ( p) i wiemy, że te 0 0 pocodne są skończone. Stąd i z twierdzenia o arytmetycznyc własnościac ranicy funkcji wynika f( p+ ) + ( p+ ) f( p) ( p) f( p+ ) f( p) ( p+ ) ( p) lim + lim f ( p) + ( p) Udowodniliśmy więc twierdzenie o pocodnej sumy dwóc funkcji różniczkowalnyc. W identyczny sposób dowodzimy twierdzenia pocodnej różnicy dwóc funkcji. Zajmiemy się teraz iloczynem funkcji różniczkowalnyc. Tym razem skorzystamy z twierdzenia o ciąłości funkcji różniczkowalnej, które pojawi się nieco dalej. Mamy f( p+ ) ( p+ ) f( p) ( p) ( f( p+ ) f( p)) ( p+ ) + f( p)( ( p+ ) ( p)) lim 0 0 f( p+ ) f( p) ( p+ ) ( p) lim p ( + ) + f( p) lim f( p ) ( p) + f( p ) ( p). 0 0 Teraz kolej na iloraz. Mamy teraz dodatkowe założenie ( p) 0. Wynika stąd, że istnieje liczba δ > 0, taka, że jeśli < δ, to ( p+ ) ( p) < ( p). Wnioskujemy stąd, że ( p+ ) < ( p), czyli, że ( p ) i ( p+ ) leżą po tej samej stronie zera, w szczeólności ( p+ ) 0. Mamy zatem f( p+ ) f( p) ( p+ ) ( p) f( p+ ) ( p) f( p) ( p+ ) lim 0 0 ( p+ ) ( p) f( p+ ) ( p) f( p) ( p) ( f( p) ( p+ ) ( p) f( p)) 0 ( p + ) ( p) f( p+ ) f( p) ( p+ ) ( p) ( p) f( p) f ( p ) ( p) f( p ) ( p) lim. 0 ( p+ ) ( p) ( p) Dowód został zakończony.

2 Twierdzenie o pocodnej złożenia Załóżmy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie p, zaś funkcja f, określona na wzorze zawierającym wszystkie wartości funkcji, jest różniczkowalna w punkcie ( p ). Wtedy złożenie tyc funkcji f jest różniczkowalne w punkcie p i zacodzi wzór: ( f ) ( x) f ( ( x)) ( x). W literaturze anlojęzycznej wzór ten nosi nazwę,, te Cain Rule, z czeo oczywistym motywem jest jeo postać, zwłaszcza jeśli zastosujemy o nie w przypadku złożenia dwu funkcji, lecz większej ic liczby- wtedy łańcuc staje się bardziej widoczny. Dowód Znów mamy do czynienia z dwiema funkcjami różniczkowalnymi: f w punkcie q f( p) ( p+ ) ( p) ( p) oraz w punkcie p. Niec r ( ). Niec r (0) 0. różniczkowalność funkcji w punkcie p równoważna jest ciąłości funkcji r w punkcie 0. Prawdziwa jest zatem równość: ( p+ ) ( p) + ( p) + r ( ). Przyjmijmy f ( ( p) + H) f( ( p) f ( ( p)) H rf ( H) oraz r f (0) 0. Tak jak w przypadku funkcji H funkcja f jest różniczkowalna w punkcie f ( p ) wtedy i tylko wtedy, dy funkcja r f jest ciąła w punkcie 0. Również w tym przypadku zacodzi wzór: f ( ( p) + H) f( ( p) + f ( ( p) + rf ( H) H. Gotowi jesteśmy do,,wydzielenia części liniowej złożenia f w otoczeniu punktu p : f( ( p+ )) f( ( p) + ( p) + r ( ) ) ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( ( p)) + f ( ( p)) ( p) + r ( ) + r ( p) + r ( ) ( p) + r ( ) f( ( p)) + f ( ( p)) ( p) + r ( ) + r ( p) + r ( ) ( p) + r ( ). Granicą wyrażenia znajdująceo się w nawiasie kwadratowym przy 0 jest liczba 0. Stąd wynika ( zobacz twierdzenie carakteryzujące pocodną jako współczynnik wielomianu stopnia najlepiej przybliżająceo funkcję), że pocodną funkcji f w punkcie p jest liczba f ( ( p) ( p ). Dowód został zakończony.

3 Twierdzenie o pocodnej funkcji odwrotnej Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, że f ( p) 0, że funkcja f ma funkcję odwrotną oraz że funkcja f odwrotna do f jest ciąła w punkcie q f( p). Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie q i zacodzi wzór ( f ) ( q). f ( p) Wzór na pocodną funkcji odwrotnej można zapisać również w postaci ( f )( q), f ( f ( q)) lub Dowód ( f ) ( f( p). f ( p) Tym razem wiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, że f ( p) 0 oraz że funkcja f odwrotna do funkcji f jest ciąła w punkcie q f( p). Wystarczy teraz f ( q+ ) f ( q) wykazać, że lim. Oznaczmy H f ( q+ ) f ( q). Oczywiście 0 f ( p) H zależy od. Z ciąłości funkcji f w punkcie q wynika, że lim H 0. Zacodzi też równość q+ q f( f ( q+ )) f( f ( q)) f( f ( q) + H) f( f ( q) f( p+ H) f( p). Z tej równości i z poprzednic wynika, że f ( q+ ) f ( q) H lim. 0 H 0 f( p+ H) f( p) f ( p) Dowód został zakończony. 0 Przykłady π 9. Znajdziemy teraz pocodną funkcji kosinus. Mamy cos( x) sin( x). Skorzystamy ze

4 wzoru wynikająceo z wzoru wykazaneo w przykładzie pierwszym: π π x ( ) x+. Teraz skorzystamy z twierdzenia o pocodnej złożenia: π π ( cos( x) ) sin( x) cos( x) ( ) sin( x) - tutaj rolę funkcji f z wzoru na pocodną złożenia pełni sinus, któreo pocodną jest kosinus, zaś rolę funkcji odrywa π funkcja x, której pocodną jest. 0. Zastosujemy wzór na pocodną ilorazu dla uzyskania wzoru na pocodną funkcji tanens. sin( x) (sin( x))cos( x) sin( x)(cos( x)) cos( x)cos( x) sin( x)( sin( x)) ( t( x) ) cos( x) (cos( x)) cos ( x) + t ( x). cos ( x). Teraz kolej na kotanens. Wzór ten można uzyskać na różne sposoby, np. modyfikując nieznacznie wyprowadzenie wzoru na pocodną funkcji tanens. Można też zastosować metodę znaną już z wyprowadzenia funkcji kosinus i właśnie tak postąpimy: π ( ct( x) ) t( x) ( ) ct ( x). π cos ( x) sin ( x). Przypomnijmy, że funkcją odwrotną do funkcji tanens oraniczonej do przedziału (, ) jest funkcja arct, która przekształca zbiór wszystkic liczb rzeczywistyc R na przedział (, ). Zacodzi zatem wzór: t( arct( x)) x. Funkcja arct jest ciąła. Pocodna funkcji tanens nie jest w żadnym punkcie mniejsza od, więc jest różna od 0. Wobec teo z twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej wynika, że funkcja arct ma pocodną w każdym punkcie. Z twierdzenia o pocodnej złożenia wynika, że musi zacodzić wzór: ( x) ( t( arctx) ( + t ( arctx)) ( arctx) ( + x )( arctx). Stąd wnioskujemy, że ( arctx). + x 3. Wyprowadzimy wzór na pocodną funkcji arcsin, czyli funkcji odwrotnej do funkcji sinus oraniczonej do przedziału [, ]. Funkcja arcsin jest ciąła i przekształca przedział

5 [,] na przedział [, ]. Na tym ostatnim przedziale funkcja kosinus przyjmuje nieujemne wartości. Stąd wynika, że jeśli y, to cos y sin y. Ponieważ pocodna funkcji sinus jest różna od 0 w punktac przedziału otwarteo (, ), więc funkcja arcsin jest różniczkowalna w punktac odpowiadającyc punktom przedziału (, ), czyli w punktac przedziału otwarteo (,). Mamy więc ( x) (sin(arcsin( x))) cos(arcsin( x)) (arcsin( x)) sin (arcsin( x)) (arcsin( x)) x (arcsin( x)). Stąd już łatwo wynika, że zacodzi wzór: (arcsin( x)). Wyprowadziliśmy więc x wzór na pocodną funkcji arcsin w punktac wewnętrznyc jej dziedziny. W punktac leżącyc na jej brzeu, czyli w punktac i można by mówić jedynie o pocodnyc jednostronnyc. Pozostawiamy studentom wskazanie teo, że w obu końcac przedziału [,] funkcja arcsin ma pocodną jednostronną i że ta pocodna jednostronna równa jest +. Warto naszkicować sobie wykres funkcji arcsin - jest on oczywiście symetryczny do wykresu funkcji sinus, oraniczonej do przedziału [, ], wzlędem prostej o równaniu y x. a 4. Niec f ( x) x, dzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś x liczbą dodatnią. a a Wykażemy, że ( x ) ax. ( Dla a jest to znany z nauki w szkole średniej wzór na pocodną pierwiastka kwadratoweo, dla a oraz a 3 otrzymaliśmy wzory wcześniej ). Z definicji wynika, że x a e aln x. Korzystając z twierdzenia o pocodnej złożenia dwu funkcji oraz poprzednio wyprowadzonyc wzorów na pocodne funkcji wykładniczej, loarytmu i a a aln x aln x x a funkcji liniowej otrzymujemy: ( x ) ( e ) e a a ax. x x a Dodać wypada, że potęę x można zdefiniować również w przypadku x 0 i a > 0 oraz w przypadku x < 0, jeśli a jest liczbą wymierną, której mianownik jest całkowitą liczbą nieparzystą, a licznik liczbą całkowitą, po ewentualnym uproszczeniu. Pozostawiamy studentom uzasadnienie teo, że w obu przypadkac podany przez nas wzór na pocodną funkcji potęowej pozostaje w mocy.

6 Oczywiście w przypadku pierwszym mowa jest jedynie o pocodnej prawostronnej, cyba, że a jest wykładnikiem dodatnim, wymiernym o mianowniku nieparzystym ( mowa o zapisie liczby wymiernej w postaci ułamka nieskracalneo, któreo licznik i mianownik są liczbami całkowitymi ). 5. Zajmiemy się przez cwilę funkcją wykładniczą o dowolnej podstawie. Niec a będzie dowolną liczbą dodatnią, x dowolną liczbą rzeczywistą. Postępując jak w przypadku funkcji ln ln potęowej otrzymujemy wzór: ( a x ) ( e x a ) e x a ln a a x ln a. Na tym zakończymy krótki przeląd najbardziej podstawowyc wzorów na pocodne. Pocodne będziemy obliczać wielokrotnie. Przekonamy się niebawem, że można ic używać w celu rozwiązywania rozlicznyc problemów, np. znajdowania najmniejszyc i największyc wartości funkcji. Do teo potrzebne nam jednak twierdzenia pozwalające na wiązanie własności funkcji z własnościami jej pocodnej. Warto nadmienić, że z twierdzeń, które już podaliśmy, wynika, że funkcje zdefiniowane za pomocą,, jedneo wzoru, mają pocodne we wszystkic punktac swej dziedziny z wyjątkiem nielicznyc punktów wyjątkowyc, np. wzór ( x) (( x )) x ma miejsce dla wszystkic x x Istnieją, co prawda, funkcje ciąłe określone na całej prostej, które nie maja pocodnej w żadnym punkcie, ale my się takimi tworami zajmować nie będziemy, bo w elementarnyc zastosowaniac matematyki na politecnice nie są one używane.