KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KONSPEKT FUNKCJE cz. 1."

Bernard Borkowski
5 lat temu
Przeglądów:

1 KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy argumentami. Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji Przykład: Dziedzinę funkcji oznaczamy najczęściej literą D, a zbiór wartości funkcji ZW. Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = {a, b, c, d, e, f}, a zbiorem wartości funkcji zbiór {k, l, m, p, r}. Sposoby określania funkcji: Przepis słowny 1. Każdemu uczniowi z klasy przyporządkujemy miesiąc urodzenia 2. Każdej liczbie naturalnej przyporządkujemy liczbę o 1 od niej większą Tabelka Stosuje się ją często dla funkcji liczbowych w przypadku, gdy ich dziedziny mają tylko kilka elementów, np.: x y

2 Diagram Przyporządkowanie jest określone za pomocą strzałek Wzór Jest to najczęstszy sposób opisywania funkcji liczbowych w matematyce Na przykład: Wykres Wykresem funkcji liczbowej nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, f (x)) dla x X

3 PRZYKŁADY FUNKCJI Opis słowny: Każdej rzece w Polsce przyporządkowujemy jej długość Diagram Wzór Tabelka x y Wykres Jedną funkcję można przedstawić kilkoma sposobami:

4 Weźmy przykładowo funkcję, która każdej liczbie ze zbioru {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} przyporządkowuje kwadrat tej liczby. Funkcję tą można opisać wzorem: Przedstawić w postaci następującej tabelki: dla x y Przedstawić za pomocą diagramu: wykresu:

Kraków ma wiele kodów pocztowych) Argumentowi b przyporządkowane są dwie wartości.

5 PRZYKŁADY PRZYPORZĄDKOWAŃ NIE BĘDĄCYCH FUNKCJAMI Każdej osobie w Polsce przyporządkowujemy jej rodzonego brata (nie każda osoba w Polsce ma brata, lub może mieć ich kilku), Każdemu miastu w Polsce przyporządkowujemy kod pocztowy (np. Kraków ma wiele kodów pocztowych) Argumentowi b przyporządkowane są dwie wartości. Argumentowi 2 nie przyporządkowana jest żadna wartość. Przykład 5 Np. argumentowi x = 0 przyporządkowane są dwie wartości: - 2 i 4, podobnie jak argumentowi 1 i wielu innym.

6 DZIEDZINA FUNKCJI Jeżeli funkcja jest określona za pomocą tabelki lub diagramu wyznaczenie jej dziedziny jest bardzo proste. Funkcja jest przedstawiona za pomocą tabelki: x f(x) Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Funkcja jest przedstawiona za pomocą diagramu: Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = {-3, -2, -1, 0, 1} Jeżeli funkcja jest przedstawiona za pomocą wzoru, ale nie ma podanej jej dziedziny, wówczas przyjmujemy, że dziedziną funkcji liczbowej y = f (x) jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których można wyznaczyć wartość funkcji. Wyznaczymy dziedziny kilku przykładowych funkcji: Funkcja ta jest określona dla dowolnej liczby rzeczywistej, zatem jej dziedziną jest zbiór D = R Jedyną liczbą rzeczywista, dla której nie można obliczyć wartości funkcji jest liczba 0, zatem jej dziedziną jest zbiór D = R \ {0} Pierwiastki kwadratowe możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych, więc dziedziną funkcji jest zbiór D = <0 ; )

7 W tym przypadku argumenty funkcji muszą spełniać dwa założenia: jako wyrażenie pod pierwiastkiem i jako wyrażenie z mianownika, zatem ostatecznie: x > 0, czyli dziedziną funkcji jest zbiór D = (0 ; ) W tym przypadku musimy założyć, że mianownik ( ). Iloczyn wyrażeń jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jego czynników jest różny od zera; czyli x i x 0. Dziedziną funkcji jest zbiór D = R \ {0; 2} Mianownik tego ułamka zawsze będzie różny od zera. Zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór D = R Argumenty tej funkcji muszą spełniać dwa założenia: zatem ostatecznie jako wyrażenie pod pierwiastkiem i jako wyrażenie z mianownika, Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-2, ) \ {1} Założenia: Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-5 ; 2>

Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-2 ; 2> Dziedziną funkcji jest zbiór D = R ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI Do zbioru wartości funkcji należą te elementy, które są

8 Na podstawie wykresu funkcji również można łatwo określić jej dziedzinę. Wystarczy wyznaczyć zbiór utworzony z wszystkich pierwszych współrzędnych punktów należących do wykresu. Dziedziną funkcji jest zbiór D = <-2 ; 2> Dziedziną funkcji jest zbiór D = R ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI Do zbioru wartości funkcji należą te elementy, które są przyporządkowane argumentom funkcji. Zbiór wartości funkcji będziemy oznaczać: ZW Mając określony zbiór wartości można też stwierdzić, czy funkcja osiąga wartość największą i najmniejszą Jeżeli funkcja jest określona za pomocą tabelki lub diagramu wyznaczenie zbioru wartości jest bardzo proste. Funkcja jest przedstawiona za pomocą tabelki:

9 x f(x) Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór ZW = {-1, 1} Funkcja osiąga wartość największą równą 1 dla argumentów x = 0, x = 2, x = 4, zaś wartość najmniejszą równą -1 dla argumentów x = 1, x = 3, x = 5. Funkcja jest przedstawiona za pomocą diagramu: Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór ZW = {0, 1, 2, 3} Widać też, że funkcja osiąga wartość największą równą 3 dla argumentu x = - 3, zaś wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu x = 0. Jeżeli funkcja jest przedstawiona za pomocą wzoru, nie zawsze wyznaczenie zbioru wartości będzie łatwe. Dana jest funkcja: Obliczamy wartość funkcji dla każdego argumentu: f (0) = 0, f (1) = 3, f (2) = 6, f (3) = 9, f (4) = 12. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór ZW = {0, 3, 6, 9, 12} Wartość największą równą 12 funkcja osiąga dla argumentu x = 4, a wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu x = 0.

10 Dana jest funkcja: Funkcja y = x + 1 jest funkcją liniową, zatem aby znaleźć zbiór wartości wystarczy wyznaczyć wartości funkcji f na końcach przedziału tzn. f (-1) = 0 i f (1) = 2. Zbiorem wartości funkcji jest przedział ZW = <0 ; 2> Funkcja osiąga wartość największą równą 2 dla argumentu x = 1, a wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu x = -1. Dana jest funkcja: Wyznaczając wartości tej funkcji dla kolejnych argumentów zauważymy, że f (1) = 1, a każda następna wartość będzie mniejsza od 1 ale wieksza od 0. Zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział ZW = (0 ; 1>. Funkcja osiąga wartość największą równą 1 dla argumentu x = 1, wartości najmniejszej nie ma. Na podstawie wykresu funkcji również można łatwo określić jej zbiór wartości czyli zbiór utworzony z wszystkich drugich współrzędnych punktów należących do wykresu. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór ZW = -2 ; Funkcja wartości największej nie osiąga, a wartość najmniejszą równą - 2 osiąga dla argumentu x = - 2.

11 MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Miejsce zerowe funkcji danej wzorem y = f (x) wyznaczamy rozwiązując równanie f (x) = 0 Szukamy miejsca zerowego: Miejscem zerowym tej funkcji jest x = 2 Szukamy miejsca zerowego: Ponieważ 2 nie należy do dziedziny, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

$zbiór D = R \ {-3} Szukamy miejsc zerowych: 0. Zatem dziedziną 3 Î D, zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 3.$

12 Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji rozwiązując założenie: x - 1 jest zbiór D = <1 ; ) Szukamy miejsc zerowych: 0. Zatem dziedziną Ponieważ 0 nie należy do D a 1 D, więc miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 1 Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji rozwiązując założenie: x + 3 jest zbiór D = R \ {-3} Szukamy miejsc zerowych: 0. Zatem dziedziną 3 Î D, zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 3. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji na podstawie jej wykresu, należy odczytać pierwsze współrzędne punktów, w których wykres przecina oś x Miejscem zerowym funkcji jest liczba x = 1. Miejscami zerowymi funkcji są liczby x = - 2, x = 3 oraz wszystkie liczby x <0 ; 1

Miejscami zerowymi funkcji są liczby: x = -3,5, x =

Które rysunki przedstawiają funkcje? a) b) c) d) 2.

przyporządkowujemy liczbę jej dzielników.

13 Miejscami zerowymi funkcji są liczby: x = -3,5, x = 0, x = 3, x = 6. ZADANIA DEFINICJA FUNKCJI 1. Które rysunki przedstawiają funkcje? a) b) c) d) 2. Sporządź tabelki funkcji: b) a) 3. Które z przyporządkowań są funkcjami? a) Każdej dodatniej liczbie całkowitej przyporządkowujemy liczbę jej dzielników. b) Każdemu uczniowi liceum przyporządkowujemy język obcy, którego się uczy. c) Każdemu uczniowi przyporządkowujemy jego numer w dzienniku. d) Każdej instytucji w Polsce przyporządkowujemy jej numer telefonu. 1

14 4. Mając daną funkcję oblicz jej wartości dla x = 0, x = 1, x = -2: a) b) 5. Zapisz funkcje za pomocą wzoru: a) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej liczbę do niej przeciwną. b) Funkcja g przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej kwadrat liczby większej od niej o 1. 2

15 DZIEDZINA FUNKCJI 1. Wyznacz dziedzinę funkcji przedstawionej diagramem lub tabelką: a) b) c) x y Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem: 3. Wyznacz dziedzinę funkcji na podstawie jej wykresu: 3

16 c) ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI 1. Wyznacz zbiór wartości funkcji: 2. Wyznacz zbiór wartości funkcji oraz jej wartość największą i najmniejszą na podstawie wykresu: a) b) c) d) 4

17 MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI 1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji na podstawie wykresu: a) b) c) d) 2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji: a) b) c) 5

18 d) e) 3. Wyznacz miejsca zerowe funkcji: a) b) c) d) e) 6

Podobne dokumenty

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec