STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys matematyki wyższej. Część III", A.Plucińska, E.Pluciński, "Probabilistyka", W.Krysicki i ii, "Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza w zadaiach", cz. II. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaiach techiczych (WNT)
ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory zbioru, (dokładie σ ciało podzbiorów)), P prawdopodobieństwo (fukcja przyporządkowująca zdarzeiom szasę ich zajścia). P : S R
Zmieą losową X azywamy fukcję (borelowską czyli praktyczie każdą) przyporządkowującą zdarzeiom elemetarym liczby rzeczywiste. X : Ω R 3
Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F : R R określoą wzorem: F( x) P( X x) P ((, x)) X 4
Własości dystrybuaty: a) F jest fukcją iemalejącą, b) F jest fukcją lewostroie ciągłą, c) F( ) 0; F( ), d) dystrybuata zmieej losowej wyzacza jedozaczie jej rozkład, e) P( a X b) F( b) F( a); a b ozacza graicę prawostroą, (jeśli a jest puktem ciągłości dystrybuaty to P(X = a ) = 0). f) P( X a) F( a ) F( a); gdzie F( a ) 5
Zmiea losowa jest skokowa (dyskreta) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest skończoy lub przeliczaly. Rozkład zmieej losowej skokowej często określamy za pomocą fukcji prawdopodobieństwa: P( X x ) p (własość: ; k pk 0 k k k p ) Liczby p k azywamy skokami, a wartości x k puktami skokowymi. 6
Zmiea losowa X o dystrybuacie F jest ciągła jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R gdzie f jest fukcją spełiającą waruki: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i azywamy ją gęstością prawdopodobieństwa zmieej losowej X. 7
Własości zmieej losowej ciągłej: a) b) a P( X a) f ( x) dx F( a), P( a X P( a b) X b) P( a X b a f ( x) dx b) P( a X b) F( b) F( a) c) P( X a) 0, dla dowolego a R ; (brak puktów skokowych), d) F jest fukcją ciągłą i prawie wszędzie różiczkowalą F( x) f ( x) (rówość zachodzi dla puktów ciągłości gęstości). Wyzaczając gęstość przez różiczkowaie dystrybuaty, w puktach w których F ie jest różiczkowala moża przyjąć, że gęstość jest rówa zero. 8
Własości rozkładu zmieej losowej często charakteryzujemy jej parametrami. 9
Jedym z podstawowych parametrów jest wartość oczekiwaa. Wartość oczekiwaa. Ozaczeie EX lub m. Dla zmieej losowej skokowej EX i x i p i (jeśli ewetualy szereg jest zbieży bezwzględie, takie szeregi są "odpore" p. a zmiaę kolejości wyrazów). Dla zmieej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewetuala całka iewłaściwa jest zbieża bezwzględie). 0
Przykład Dla zmieej losowej o fukcji prawdopodobieństwa x k - 3 p k 0, 0,6 0, EX 0, 0,6 30,,6.
Przykład Dla zmieej losowej o gęstości f ( x) x x 0, 0 x 0, 3 x EX x xdx x dx 3 0 0 0 3
Własości wartości oczekiwaej a) Ec = c; c stała, b) E(aX) = ae(x), c) E(X + Y) = EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y iezależe, to E(XY) = EXEY., 3
Miarą rozrzutu wartości zmieej losowej jest wariacja. Wariacja. Ozaczeie D X lub. D X = E(X EX) Dla zmieej losowej skokowej D X ( xi EX ) pi Dla zmieej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx 4
Własości wariacji a) D c = 0; c stała, b) D (ax) = a D (X), c) D (X + b) = D X, b stała, d) X, Y iezależe, to D (X Y) = D X + D Y e) D X = E(X ) (EX). 5
Uzasadieie e) D X = E(X EX) = E(X XEX + (EX) ) = EX EXEX + (EX) = = E(X ) (EX). 6
Jeśli rozrzut wartości zmieej losowej chcemy (p. z powodu iterpretacji w zastosowaiach) mierzyć w tych samych jedostkach co X to stosujemy odchyleie stadardowe. 7
Odchyleie stadardowe. Ozaczeie DX lub. DX D X 8
Rozkłady skokowe Rozkład jedopuktowy Określamy: P(X = c) = gdzie c ustaloa liczba. 9
EX = c, D X = 0 (tylko te rozkład ma zerową wariację!!!) 0
Rozkład dwupuktowy (zerojedykowy) Niech p ( 0, ) będzie ustaloą liczbą. Określamy: P(X = 0) = q, P(X = ) = p ; gdzie q = p. Umowa: 0 - porażka - sukces
EX = p, D X = pq
Rozkład dwumiaowy Dla daych p ( 0, ), N określamy fukcję prawdopodobieństwa P( X k) k p k q k gdzie q = p k = 0,,,...,. (wzór Beroulliego) 3
Jakub Beroulli (654-705) - szwajcarski matematyk i fizyk. 4
Jeśli przyjmiemy, że ozacza liczbę iezależych doświadczeń z których każde kończy się jedym z dwóch wyików: sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeiu) lub porażką i zmiea losowa X ozacza liczbę sukcesów to powyższy wzór wyzacza prawdopodobieństwo uzyskaia dokładie k sukcesów w doświadczeiach (próbach). 5
Sprawdzeie k0 P( X k) k0 p k k q k p q 6
EX = p, D X = pq 7
8 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaą rozkładu dwumiaowego. p q p p q p k k p q p k k k q p k k EX k k k k k k k k k 0 ) ( )! )!( ( )! ( )!!(!
Rozkład geometryczy X - liczba prób Beroulliego poprzedzających pierwszy sukces q = - p k = 0,,,... P( X k) k pq 9
Sprawdzeie k 0 P( X k) k0 pq k p q 30
EX = q/p; D X = q/p 3
Rozkład Poissoa Dla > 0 określamy fukcję prawdopodobieństwa k P( X k) k! e k = 0,,,... 3
Siméo Deis Poisso (78 840), fracuski mechaik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami ozaczoymi, rówaiami różicowymi i różiczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 33
Sprawdzeie k0 e P( X k) k0 k k! e k0 e k e k! 34
EX = D X = 35
36 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaą rozkładu Poissoa. e e k e e k k EX k k k k 0 )! (!
Rozkład Poissoa (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych (praktyczie 30) i małych p (praktyczie p 0,) przybliżać rozkład dwumiaowy (przybliżeie Poissoa) p k k q k k e k! gdzie p 37
Rozkłady ciągłe Rozkład jedostajy Rozkład którego gęstość jest stała w pewym przedziale azywamy jedostajym. Gęstość rozkładu jedostajego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 38
Poieważ gęstość ta ma oś symetrii w pukcie x = (a + b)/ to EX = (a+b)/ 39
Pokażemy, że DX = (b a)/ 40
4 Przykład Najpierw obliczymy EX 3 3 3 3 3 3 3 b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a Zatem 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D
Rozkład wykładiczy Rozkład te występuje często w zagadieiach rozkładu czasu między zgłoszeiami (awariami) lub czasu oczekiwaia a obsługę w systemach kolejkowych. Gęstość rozkładu wykładiczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x 0 x 0 4
dystrybuatą tego rozkładu jest fukcja ax e x 0 F( x) 0 x 0 (uzasadieie: F'(x) = f(x)) 43
Przykład Obliczymy EX EX 0 Uwaga. xae ax ax ax dx xe e a Podobie moża udowodić, że 0 a D X a 44
45 Własość. ) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozkład Poissoa o parametrze T, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłączych przedziałach czasu są iezależe to czas X między kolejymi zgłoszeiami ma rozkład wykładiczy o parametrze a = /. ) Dla dowolych t, T > 0 mamy T X P t X T t X P (własość braku pamięci) T X P e e e t X P T t X P t X P t X T t X P t X T t X P Ta ta a T t ) ( Jest to jedyy rozkład ciągły o tej własości.
Rozkład ormaly (Gaussa) Dla m R, ( 0, ) Określamy gęstość rozkładu f ( x) e ( xm) x R 46
Carl Friedrich Gauss (777-855) iemiecki matematyk i fizyk. Jego badaia związae z teorią błędów doprowadziły do odkrycia rozkładu ormalego zmieej losowej (azyway także rozkładem Gaussa), który jest ajważiejszym rozkładem w teorii prawdopodobieństwa. 47
48
Uwaga Jeśli X ma rozkład N(m, ) to zmiea losowa Y = (X m)/ ma rozkład N(0, ) (takie przekształceie azywamy stadaryzacją). 49
Wartości dystrybuaty dla argumetów ujemych wyzaczamy a podstawie zależości ( x) = (x) 50
Przykład Dochód miesięczy (zł) w pewej populacji osób ma rozkład ormaly N(600; 300). Jaki procet osób w tej populacji ma dochód miesięczy poiżej 000 zł? X wysokość miesięczego dochodu P( X 000) P X 600 300 000 600 300 P Y ( ) () 0,977 0,08,8% 5
Przykład Czas wykoaia pewego detalu (mi.) jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N(m; ). Wiadomo, że 80% robotików wykouje te detal dłużej iż 0 miut a 60% robotików dłużej iż miut. a) wyzacz parametry rozkładu czasu wykoaia detalu m i, b) jaki odsetek robotików wykouje te detal w czasie krótszym iż 6 miut? X czas wykoaia detalu. 5
P ( X 0) 0,8 stąd m 0 0,84 m 0, P ( X ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy układ rówań otrzymamy m =,85; = 3,39. P( X 6) P X,85 3,39 6,85 3,39 (,0) (,0) 0,07,7% P Y,0 53
Prawo trzech sigm Jeśli X ma rozkład N(m, ) to P( m X m ) 0,683 P( m X m ) 0,955, P ( m 3 X m 3 ) 0,997 Ostatia rówość świadczy o tym, że chociaż rozkład ormaly ma gęstość różą od zera a całej prostej to praktyczie iemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale ( m 3, m 3 ) własość tą azywamy prawem trzech sigm., m 38 m + 38 m 54
Iterpretacja graficza parametrów rozkładu N(m, ) m m 55
Trzy rozkłady ciągłe, które mają duże zaczeie w statystyce matematyczej: Rozkład chi kwadrat, Rozkład Studeta, Rozkład F Sedecora Rozkłady te są stablicowae. 56
Rozkład chi kwadrat (χ ) Y liczba stopi swobody Y X... X X,..., X - iezależe, o rozkładzie N(0, ) EX = ; DX = 57
Karl Pearso (857 936) agielski matematyk, prekursor statystyki matematyczej 58
59 Gęstość rozkładu Y 0 0 0 ) ( y y e y y f y Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (
mediaa domiata m e = x 0,5-0,67 d = -, 60
Odczyt z tablicy dla rozkładu chi kwadrat. (podobie iterpretujemy graficzie odczyt z tablicy F Sedecora.) P( Y k) Uwaga. ) Dla =, wykres gęstości rozkładu chi kwadrat jest iy (tylko część malejąca wykresu) ) dla > 30 stosujemy przybliżeie rozkładem ormalym. ~ N( ;) Y 6
Rozkład Studeta T liczba stopi swobody X, Y - iezależe X o rozkładzie N(0, ); Y o rozkładzie chi kwadrat z stopiami swobody X Y EX = 0 ; dla > DX = /(-) dla > 6
63 Gęstość rozkładu T R t t t f ` ) ( Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (
William Gosset (876 937), statystyk agielski. Publikował pod pseudoimem Studet (stąd azwa wprowadzoego przez iego - w roku 908 - rozkładu prawdopodobieństwa: rozkład Studeta). 64
Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozkładu Studeta. P( T k) Uwaga. T k k N( 0, ) 65
Rozkład F Sedecora ; N stopie swobody Y Y ; F, - iezależe o rozkł. chi kwadrat Y Y ; 66
EX = DX = 4 ( ) dla > dla > 4 67
68 gęstość 0 0 0 ) ( x x x x x f W tablicy ) ( F ; k P
69 TABLICE Tablica I. Rozkład Poissoa. P X k k e k ( )! \ k 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0,9048 887 7408 6703 6065 5488 4966 4493 4066 3679 3 353 08 0498 030 083 0 0067 005 0009 0003 000 0000 0,0905 637 68 3033 393 3476 3595 3659 3679 3347 707 05 494 057 0733 0500 0337 049 0064 007 00 0005 0,0045 064 0333 0536 0758 0988 7 438 646 839 50 707 565 40 850 465 5 084 0446 03 007 0050 003 0,000 00 0033 007 06 098 084 0383 0494 063 55 804 38 40 58 954 687 404 089 05 086 050 0076 0,0000 000 0003 0007 006 0030 0050 0077 0 053 047 090 336 680 888 954 898 755 339 09 0573 0337 089 0,0000 0000 000 000 0004 0007 00 000 003 04 036 0668 008 3 563 708 755 606 77 096 0607 0378 0,0000 0000 0000 000 000 0003 0005 0035 00 078 0504 077 04 8 46 606 490 09 063 0,0000 0000 0000 000 0008 0034 0099 06 0385 0595 084 044 377 490 396 7 090 0,0000 000 0009 003 008 069 098 0463 0653 033 304 396 38 6 0,0000 000 0009 007 0066 03 03 0363 0688 04 4 38 5 0,0000 000 0008 003 0053 004 08 043 070 0993 86 5 0,0000 000 0007 009 0043 008 05 045 07 0970 37 \ k 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0,000 000 0006 006 0034 03 064 048 078 0948 0,0000 000 000 0006 003 005 04 096 0504 079 0,0000 000 000 0005 00 007 069 034 05 0,0000 000 000 0009 0033 0090 094 0347 0,0000 0000 0003 004 0045 009 07 0,000 0006 00 0058 08 0,0000 000 0009 009 007 0,000 0004 004 0037 0,0000 000 0006 009 0,000 0003 0009 0,0000 000 0004 0,0000 000 0,000
Tablica II. Dystrybuata (x) rozkładu ormalego N(0, ) (-x) = - (x) x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 x 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0, 0,5793 0,583 0,586 0,590 0,5949 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0, 0,3 0,679 0,67 0,65 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,3 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,684 0,6879 0,4 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,5 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,7 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 0,9,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9047,,3 0,9030 0,90490 0,90658 0,9084 0,90988 0,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,3,4 0,994 0,9073 0,90 0,9354 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0,93056 0,9389,4,5 0,9339 0,93448 0,93574 0,93699 0,938 0,93943 0,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,9554 0,9554 0,9535 0,95449,6,7 0,95543 0,95637 0,9578 0,9588 0,95907 0,95994 0,96080 0,9664 0,9646 0,9637,7,8 0,96407 0,96485 0,9656 0,96638 0,967 0,96784 0,96856 0,9696 0,96995 0,9706,8,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0,97500 0,97558 0,9765 0,97670,9,0 0,9775 0,97778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,98030 0,98077 0,984 0,9869,0, 0,984 0,9857 0,98300 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,98500 0,98537 0,98574,, 0,9860 0,98645 0,98679 0,9873 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899,,3 0,9898 0,98956 0,98983 0,9 0097 0,9 0358 0,9 063 0,9 06 0,9 06 0,9 344 0,9 576,3,4 0,9 80 0,9 04 0,9 40 0,9 45 0,9 656 0,9 857 0,9 3053 0,9 344 0,9 343 0,9 363,4 70
x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x,5 0,9 3790 0,9 3963 0,9 43 0,9 497 0,9 4457 0,9 464 0,9 4766 0,9 495 0,9 5060 0,9 50,5,6 0,9 5339 0,9 5473 0,9 5604 0,9 573 0,9 5855 0,9 5975 0,9 6093 0,9 607 0,9 639 0,9 647,6,7 0,9 6533 0,9 6636 0,9 6736 0,9 6833 0,9 698 0,9 700 0,9 70 0,9 797 0,9 78 0,9 7365,7,8 0,9 7445 0,9 753 0,9 7599 0,9 7673 0,9 7744 0,9 784 0,9 788 0,9 7948 0,9 80 0,9 8074,8,9 0,9 834 0,9 893 0,9 850 0,9 8305 0,9 8359 0,9 84 0,9 846 0,9 85 0,9 8559 0,9 8605,9 3,0 0,9 8650 0,9 8694 0,9 8736 0,9 8777 0,9 887 0,9 8856 0,9 8893 0,9 8930 0,9 8965 0,9 8999 3,0 3, 0,9 3 034 0,9 3 0646 0,9 3 0957 0,9 3 60 0,9 3 553 0,9 3 836 0,9 3 0,9 3 378 0,9 3 636 0,9 3 886 3, 3, 0,9 3 39 0,9 3 3363 0,9 3 3590 0,9 3 380 0,9 3 400 0,9 3 430 0,9 3 449 0,9 3 463 0,9 3 480 0,9 3 499 3, 3,3 0,9 3 566 0,9 3 5335 0,9 3 5499 0,9 3 5658 0,9 3 58 0,9 3 5959 0,9 3 603 0,9 3 64 0,9 3 6376 0,9 3 6505 3,3 3,4 0,9 3 663 0,9 3 675 0,9 3 6869 0,9 3 698 0,9 3 709 0,9 3 797 0,9 3 799 0,9 3 7398 0,9 3 7493 0,9 3 7585 3,4 3,5 0,9 3 7674 0,9 3 7759 0,9 3 784 0,9 3 79 0,9 3 7999 0,9 3 8074 0,9 3 846 0,9 3 85 0,9 3 88 0,9 3 8347 3,5 3,6 0,9 3 8409 0,9 3 8469 0,9 3 857 0,9 3 8583 0,9 3 8637 0,9 3 8689 0,9 3 8739 0,9 3 8787 0,9 3 8834 0,9 3 8879 3,6 3,7 0,9 3 89 0,9 3 8964 0,9 4 0039 0,9 4 046 0,040799 0,9 4 58 0,9 4 504 0,9 4 838 0,9 4 59 0,9 4 468 3,7 3,8 0,9 4 765 0,9 4 305 0,9 4 337 0,9 4 3593 0,9 4 3848 0,9 4 4059 0,9 4 433 0,9 4 4558 0,9 4 4777 0,9 4 4988 3,8 3,9 0,9 4 590 0,9 4 5385 0,9 4 5573 0,9 4 5753 0,9 4 596 0,9 609 0,9 4 653 0,9 4 6406 0,9 4 6554 0,9 4 6696 3,9 4,0 0,9 4 6833 0,9 4 6964 0,9 4 7090 0,9 4 7 0,9 4 737 0,9 4 7439 0,9 4 7536 0,9 4 7649 0,9 4 7748 0,9 4 7843 4,0 4, 0,9 4 7934 0,9 4 80 0,9 4 806 0,9 4 886 0,9 4 863 0,9 4 8338 0,9 4 8409 0,9 4 8477 0,9 4 854 0,9 4 8605 4, 4, 0,9 4 8665 0,9 4 873 0,9 4 8778 0,9 4 883 0,9 4 888 0,9 4 893 0,9 4 8978 0,9 5 06 0,9 5 0655 0,9 5 066 4, 4,3 0,9 5 460 0,9 5 837 0,9 5 09 0,9 5 545 0,9 5 876 0,9 5 393 0,9 5 3497 0,9 5 3788 0,9 5 4066 0,9 5 433 4,3 4,4 0,9 5 4587 0,9 5 483 0,9 5 5065 0,9 5 588 0,9 5 550 0,9 5 5706 0,9 5 590 0,9 5 6089 0,9 5 668 0,9 5 6439 4,4 4,5 0,9 5 660 0,9 5 6759 0,9 5 6908 0,9 5 705 0,9 5 787 0,9 5 738 0,9 5 744 0,9 5 756 0,9 5 7675 0,9 5 7784 4,5 4,6 0,9 5 7888 0,9 5 7987 0,9 5 808 0,9 5 87 0,9 5 858 0,9 5 8340 0,9 5 849 0,9 5 8494 0,9 5 8566 0,9 5 8634 4,6 4,7 0,9 5 8699 0,9 5 876 0,9 5 88 0,9 5 8877 0,9 5 893 0,9 5 8983 0,9 6 030 0,9 6 0789 0,9 6 35 0,9 6 66 4,7 4,8 0,9 6 067 0,9 6 453 0,9 6 8 0,9 6 373 0,9 6 3508 0,9 6 387 0,9 6 43 0,9 6 440 0,9 6 4696 0,9 6 4958 4,8 4,9 0,9 6 508 0,9 6 5446 0,9 6 5673 0,9 6 5889 0,9 6 6094 0,9 6 689 0,9 6 6475 0,9 6 665 0,9 6 68 0,9 6 698 4,9 Wartości k gdy (k) =. 0,9 0,9 0,9 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 k,8,34,405,476,555,645,75,88,960,054,70,36,576 0,6 0,7 0,8 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 k 0,53 0,54 0,84 k 3,090 3,79 4,65 4,753 7
9 Tablica III. Tablica rozkładu chi kwadrat Tablica podaje wartości x takie, że P Y x ( ), - ilość stopi swobody 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 0,000 0,00 0,5 0,97 0,554 0,87,39,646,088,558 3,053 3,57 4,07 4,660 5,9 5,8 6,408 7,05 7,633 8,60 8,897 9,54 0,96 0,856,54,98,879 3,565 4,56 4,953 0,0006 0,0404 0,85 0,49 0,75,34,564,03,53 3,059 3,609 4,78 4,765 5,368 5,985 6,64 7,55 7,906 8,567 9,37 9,95 0,600,93,99,697 3,409 4,5 4,847 5,574 6,306 0,004 0,03 0,35 0,7,45,635,67,733 3,35 3,940 4,575 5,6 5,89 6,57 7,6 7,96 8,67 9,390 0,7 0,85,59,338 3,09 3,848 4,6 5,379 6,5 6,98 7,708 8,493 0,06 0, 0,584,064,60,04,833 3,490 4,68 4,865 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,3 0,085 0,865,65,443 3,40 4,04 4,848 5,659 6,473 7,9 8,4 8,939 0,599 3,364 0,064 0,446,005,649,343 3,070 3,8 4,594 5,380 6,79 6,989 7,807 8,634 9,467 0,307,5,00,857 3,76 4,587 5,445 6,34 7,87 8,06 8,940 9,80 0,703,588,475 3,364 0,48 0,73,44,95 3,000 3,88 4,67 5,57 6,393 7,67 8,48 9,034 9,96 0,8,7,64 3,53 4,440 5,35 6,66 7,8 8,0 9,0 9,943 0,867,79,79 3,647 4,577 5,508 0,455,386,366 3,357 4,35 5,348 6,346 7,344 8,343 9,34 0,34,340,340 3,339 4,339 5,338 6,338 7,338 8,338 9,337 0,337,337,337 3,337 4,337 5,336 6,336 7,336 8,336 9,336,074,408 3,665 4,878 6,064 7,3 8,383 9,54 0,656,78,899 4,0 5,9 6,6 7,3 8,48 9,5 0,60,689,775 3,858 4,939 6,08 7,096 8,7 9,46 30,39 3,39 3,46 33,530,64 3,665 4,64 5,989 7,89 8,558 9,803,030,4 3,44 4,63 5,8 6,985 8,5 9,3 0,465,65,760 3,900 5,038 6,7 7,30 8,49 9,553 30,675 3,795 3,9 34,07 35,39 36,50,706 4,605 6,5 7,779 9,36 0,645,07 3,36 4,684 5,987 7,75 8,549 9,8,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,4 9,65 30,83 3,007 33,96 34,38 35,563 36,74 37,96 39,087 40,56 3,84 5,99 7,85 9,488,070,59 4,067 5,507 6,99 8,307 9,675,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,44 3,40 3,67 33,94 35,7 36,45 37,65 38,885 40,3 4,337 4,557 43,773 5,4 7,84 9,837,668 3,388 5,033 6,6 8,68 9,679,6,68 4,054 5,47 6,873 8,59 9,633 30,995 3,346 33,687 35,00 36,443 37,659 38,968 40,70 4,566 4,856 44,40 45,49 46,693 47,96 6,635 9,0,345 3,77 5,086 6,8 8,475 0,090,666 3,09 4,75 6,7 7,688 9,4 30,578 3,000 33,409 34,805 36,9 37,566 38,93 40,89 4,638 4,980 44,34 45,64 46,963 48,78 49,588 50,89 0,87 3,85 6,68 8,465 0,57,457 4,3 6,5 7,877 9,588 3,64 3,909 34,58 36,3 37,697 39,5 40,790 4,3 43,80 45,35 46,797 48,68 49,78 5,79 5,60 54,05 55,476 56,893 58,30 59,703 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30
0 Tablica IV. Tablica rozkładu Studeta Tablica podaje wartości x takie, że P T x ( ), - ilość stopi swobody 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 60 0 0,58 0,4 0,37 0,34 0,3 0,3 0,30 0,30 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,6 0,35 0,89 0,77 0,7 0,67 0,65 0,63 0,6 0,6 0,60 0,60 0,59 0,59 0,58 0,58 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,55 0,54 0,54 0,53 0,50 0,445 0,44 0,44 0,408 0,404 0,40 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,77 0,67 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,54 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,530 0,530 0,530 0,59 0,57 0,56 0,54,376,06 0,978 0,94 0,90 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,86 0,86 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,85 0,848 0,845 0,84,963,386,50,90,56,34,9,08,00,093,088,083,079,076,074,07,069,067,066,064,063,06,060,059,058,058,057,056,055,055,050,046,04,036 3,078,886,638,533,476,440,45,397,383,37,363,356,350,345,34,337,333,330,38,35,33,3,39,38,36,35,34,33,3,30,303,96,89,8 6,34,90,353,3,05,943,895,860,833,8,796,78,77,76,753,746,740,734,79,75,7,77,74,7,708,706,703,70,699,697,684,67,658,645,706 4,303 3,8,776,57,447,365,306,6,8,0,79,60,45,3,0,0,0,093,086,080,074,069,064,060,056,05,048,045,04,0,000,980,960 3,8 6,965 4,54 3,747 3,365 3,43,998,896,8,764,78,68,650,64,60,583,567,55,539,58,58,508,500,49,485,479,473,467,46,457,43,390,358,36 63,657 9,95 5,84 4,604 4,03 3,707 3,499 3,355 3,50 3,69 3,06 3,055 3,0,977,947,9,898,878,86,845,83,89,807,797,787,779,77,763,756,750,704,660,67,576 636,69 3,598,94 8,60 6,859 5,959 5,405 5,04 4,78 4,587 4,437 4,38 4, 4,40 4,073 4,05 3,965 3,9 3,883 3,850 3,89 3,79 3,767 3,745 3,75 3.707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,55 3,460 3,373 3,9 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 60 0
Tablica V. Tablica rozkładu F - Sedecora P F ; k) ( 3 4 5 6 7 8 0 0 40 60 00 Tablica dla = 0,05: 6 00 6 5 30 34 37 39 4 48 5 5 53 54 8,5 9,0 9, 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,79 8,66 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,96 5,8 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,56 4,64 4,43 4,4 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,06 3,87 3,77 3,74 3,7 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,44 3,34 3,3 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,5 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,4,94,83,79,76,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,98,77,66,6,59,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,85,65,53,49,46,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,75,54,43,38,35,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,67,46,34,30,6, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,60,39,7,,9,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,54,33,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,49,8,5,,07,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,45,3,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,4,9,06,0,98,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,38,6,03,98,94,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,35,,99,95,9,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,0,96,9,88,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,07,94,89,85,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,05,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,5,03,89,84,80,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,0,87,8,78,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,,99,85,80,76,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,0,97,84,79,74,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,9,96,8,77,73,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,8,94,8,75,7,64 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,6,93,79,74,70,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,08,84,69,64,59,5 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,03,78,63,58,5,44 00 3,94 3,09,70,46,3,9,0,03,93,68,5,45,39,8 00 3,89 3,04,69,4,6,4,06,98,88,6,46,39,3,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,83,57,39,3,4,00
ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ N-WYMIAROWEJ. CIĄGI LOSOWE,S, P- ustaloa przestrzeń probabilistycza. X = (X, X,..., X ) - zmiea losowa - wymiarowa (wektor losowy, ciąg losowy). X : R (fukcja borelowska) P : X R [0, ] - rozkład zmieej losowej X.
Dystrybuata F ( x,..., x) P X x,..., X X azywamy zmieą losową skokową jeśli jej zbiór wartości jest skończoy lub przeliczaly. x 3
X azywamy zmieą losową ciągłą jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci F x x ( x,..., x ) f ( u,..., u ) du... du dla pewej ieujemej fukcji f zwaej gęstością. 4
Uwaga..W puktach ciągłości fukcji f zachodzi: ( ) F( x x,... x..., x ) f ( x,..., x.dla A ( R ) mamy P X ( A)... f ( x,..., x ) dx... dx A ). 5
Rozkłady warukowe. Jeśli P,..., k ( X x j,..., X k xkj ) 0 to rozkład zmieej losowej skokowej ( - k) wymiarowej określoej wzorem: P ( X k x k, j,..., X x j X x j,..., X k x kj ) P P ( X,..., k ( X x j x, j,..., X..., X x k j x ) kj ) azywamy rozkładem warukowym zmieej losowej X, k..., X pod warukiem, że X x,..., X x j k kj. Jeśli gęstość f,..., k 0 to rozkład zmieej losowej ciągłej ( - k) wymiarowej określoej wzorem: f ( x k,..., x x,..., x k ) f ( x f ( x,,..., x..., x azywamy rozkładem warukowym zmieej losowej X k..., X pod warukiem, że X, x,..., X k x k. k ) ) 6
Niezależość zmieych losowych. Zmiee losowe X, X,..., X są iezależe jeśli F( x,..., x) F ( x ) F ( x)... F ( x) dla dowolych x, x,..., x R. gdzie F i - dystrybuaty rozkładów brzegowych jedowymiarowych. Dla zmieych losowych skokowych odpowiedi waruek ma postać: P( X x j,..., X xj) P ( X x )... P ( X j j dla dowolych x j,..., xj R Dla zmieych losowych ciągłych odpowiedi waruek ma postać: f ( x,..., x) f( x ) f( x)... f ( x dla dowolych x, x,..., x R. ) x ) 7
Parametry (mogą ie istieć ) Wartość oczekiwaa E ( X ) EX, EX,..., EX. 8
Wariacja ( X ) D X, D X,...,D X D. 9
Momet (zwyczajy) rzędu l + l +...+ l l l m l E X X... X l... l, l 0
Momet cetraly rzędu l + l +...+ l l l l X EX X EX E... l... l,
Macierz kowariacji K = [k ij ], gdzie k ij E cov( X i, X j E X i EX i X j EX j X X EX EX ) i j i j Uwaga k ii = D X i, jest wariacją i - tej składowej.
Macierz K jest kwadratowa, symetrycza i słabo dodatio określoa ( w szczególości ma wyzaczik ieujemy). 3
Macierz korelacji ij cov( X, X ) DX i i DX Uwaga ii =. j j R = [ ij ], gdzie 4
5 Rozkład ormaly - wymiarowy. K - macierz kowariacyja, iech detk 0. Zmiea losowa - wymiarowa ma rozkład ormaly - wymiarowy gdy gęstość tej zmieej losowej wyraża się wzorem: ) ( ) ( exp ) )( ( exp ),...,, ( ) ( /, / m x L m x L m x m x l L x x x f x f T k j k k j j jk gdzie ) ( i i X E m dla i =,,..., L = [l jk ] j, k =,,..., jest macierzą odwrotą do K. Dla = waruek K 0 jest rówoważy warukowi.
6 Poieważ macierz K ma wtedy postać K to ) ( L Zatem gęstość rozkładu ormalego - wymiarowego N(m, m,,, ) moża zapisać astępująco: exp ), ( m y m y m x m x y x f Powyższa fukcja gęstości ma stałą wartość f(x, y) = h a elipsie: cost m y m y m x m x o środku w pukcie (m, m ). gdzie l h. Dla 0 osie główe mają rówaia:
7 4 m x m y Dla = 0 osie rozpatrywaej elipsy są rówoległe do osi układu współrzędych. Zauważmy, że gdy to jeda oś się wydłuża, a druga skraca, zależość między zmieymi staje się ściśle liiowa. Osie powyższej elipsy tworzą z osią OX kąty i + / gdzie tg
Fukcja charakterystycza: gdy = to ( t) exp im T t t T Kt ( t, t) exp i t t m t m t t t Twierdzeie. Dowoly rozkład brzegowy ormalego rozkładu -wymiarowego jest rozkładem ormalym. 8
Twierdzeie. Jeśli składowe ormalego rozkładu -wymiarowego są parami ieskorelowae to są iezależe. 9
Zbieżość ciągów losowych Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X z prawdopodobieństwem jeśli P : lim X ( ) X ( ) 30
Średiokwadratowa zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest średiokwadratowo zbieży do zmieej losowej X jeśli lim E X X 0 Rozpatrując te rodzaj zbieżości zakładamy, że dla występujących tu zmieych losowych (X ), X istieje skończoy momet rzędu. Niekiedy stosuje się zapis l.i.m. (skrót od limit i mea ). X X 3
Stochastycza zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest stochastyczie (wg prawdopodobieństwa) zbieży do zmieej losowej X jeśli X X lim P 0 lub rówoważie X X 0 lim P 0 3
Zbieżość ciągu zmieych losowych wg dystrybuat (wg rozkładu) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X wg dystrybuat jeśli ciąg ich dystrybuat F jest zbieży do dystrybuaty F w każdym pukcie jej ciągłości (F jest dystrybuatą zmieej losowej X). 33
ZBIEŻNOŚĆ Z PRAWDOPODOBIEŃSTWEM ZBIEŻNOŚĆ ŚREDNIOKWADRATOWA ZBIEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA zbieżość do stałej (tz. gdy graica ma rozkład jedopuktowy) ZBIEŻNOŚĆ WG DYSTRYBUANT 34
Przykład. Rozpatrzmy ciąg zmieych losowych skokowych określoych a przedziale [0, ) w astępujący sposób k k gdy ; X k ( ) k k 0 gdy [0, ) ; P( X k ) ; P( X k 0) Ciąg X 0, X 0, X, X 03, X 3, X 3,... zbieży stochastyczie do zera bo 0 lim P X lim 0 jest Natomiast ciąg te ie jest zbieży w żadym pukcie przedziale [0, ) bowiem dla każdego ustaloego puktu otrzymujemy rozbieży ciąg zer i jedyek (zera i jedyki występują a dowolie dalekich miejscach). 35
Przykład. Ciąg zmieych losowych X ciągłych o rozkładach jedostajych a przedziałach (0, /) jest zbieży do rozkładu jedopuktowego X ( P ( X 0) ) wg dystrybuat. 36
Cetrale twierdzeie graicze Lideberga Levy'ego Jeśli iezależe zmiee losowe X i (i =,,..., ) mają taki sam rozkład oraz istieje E(X ) = m i D (X ) = > 0 to ciąg dystrybuat (F ) stadaryzowaych średich arytmetyczych X (lub stadaryzowaych sum i Y X i ) X / m i X m jest zbieży do dystrybuaty rozkładu N(0, ). 37
Wiosek Dla dużych (w praktyce 30) Pa i X i m b ( b) ( a) 38
W przypadku szczególym gdy X i (i =,,..., ) maja rozkład zerojedykowy to powyższe twierdzeie azywamy twierdzeiem Moivre'a-Laplace'a (zmiee losowe dwumiaowy). Y X i maja rozkład i 39
Wiosek z twierdzeia Moivre'a-Laplace'a: Y p P i a b ( b) ( a) pq Uwaga. Powyższe twierdzeia wskazują a ważą rolę rozkładu ormalego. 40
Przykład Wadliwość partii żarówek wyosi 0,0. Z tej partii żarówek wylosowao 65 żarówek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych żarówek będzie a) miej iż 0 wadliwych, b) ajwyżej 0 wadliwych. 4
Rozwiązaie. Y liczba wadliwych żarówek wśród wylosowaych, Ad a) P( Y i 0) P Y i 65 0,0 65 0,0 0,99 0 65 0,0 65 0,0 0,99 (,5) 0,93448 4
43 Ad b) 0,9793 (,9) 0,99 0,0 65 0,0 65 0,99 0,0 65 0,0 65 ) ( 0) ( 0) ( 0) ( i i i i i Y P Y P Y P Y P Y P
Prawo wielkich liczb Chiczya (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o takim samym rozkładzie oraz iech istieje E(X i ) = m. Y Wtedy ciąg X i jest zbieży i stochastyczie do m. 44
Wiosek Dla dużych jeśli istieje D (X ) = > 0 to 0 Y m P 45
Przypadek szczególy prawo wielkich liczb Beroulliego: (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o rozkładzie dwumiaowym wtedy ciąg jest stochastyczie zbieży do p. X 46
Wiosek Dla dużych : 0 P X p pq 47
Przykład Wadliwość partii żarówek wyosi 0,. Z tej partii żarówek losujemy żarówek. Ile żarówek ależy wylosować aby prawdopodobieństwo, że średia liczba wadliwych żarówek różiła się co do wartości bezwzględej od wadliwości partii o miej iż 0,05 było co ajmiej rówe 0,95. 48
Rozwiązaie Y liczba wadliwych żarówek wśród wylosowaych Y 0,05 0, 0,05 P 0, 0,9 stąd oraz 0,05 0, 0,9 0,05,96 0, 0,9 0,975 0,95 zatem 3, 5 i > 553. 49
Oceę odchyleia wartości zmieej losowej od jej wartości oczekiwaej daje ierówość Czebyszewa: X zmiea losowa oraz istieje E(X) = m i D (X) = > 0 wtedy P X m 0 50
Z ierówością Czebyszewa związae są ie ierówości p. ) ierówość Markowa E X P 0 p0 ) ierówość Czebyszewa II EX PX 0 X p 3) ierówość Czebyszewa III (wykładicza) jeśli Ee X Ee PX 0 e 4) ierówość Bersteia jeśli S liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p to p X L.Kowalski 6.09.0 5