PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

Transkrypt

1 TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ U to przedział losowy U ; U azywamy przedziałem fości dla parametr θ, a poziomie fości -..

2 Jeśli a podstawie próby obliczymy wartości i statystyk U i U to otrzymamy liczbowy przedział fości..

3 Iterpretacja poziom fości -. Na ogół dla różych prób otrzymje się róże liczbowe przedziały fości, lecz ależy oczekiwać, że około - 00% z ich będzie zawierać rzeczywistą wartość parametr θ. Np. dla - 0,99 oczekjemy, że przeciętie w tylko próbie a 00 otrzymay liczbowy przedział fości ie będzie zawierał parametr θ.. 3

4 Uwaga. Z powyższej iterpretacji wyika, że poziom fości ie może być zbyt iski. Jeśli atomiast zwiększamy admierie wartość poziom fości to rośie dłgość przedział fości i spada jakość oszacowaia parametr rośie błąd bezwzględy i błąd względy. Dlatego przyjmje się, że ajbardziej odpowiedie wartości poziom fości mieszczą się w graicach 0,9-0,99.. 4

5 Uwaga. Jeśli chcemy poprawić jakość oszacowaia iezaego parametr przedziałem fości to ależy zwiększyć liczebość próby.. 5

6 Jerzy Neyma , statystyk. Wprowadził i rozwiął pojęcie przedział fości.. 6

7 Zestawieie ajważiejszych przedziałów fości. oziom fości typowe wartości : 0,9; 0,95; 0,99. L.p. 3 arametr Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Rozkład cechy, założeia Normaly Nm,σ, σ jest zae Normaly Nm,σ, σ ie jest zae Dowoly Licza próba > 80 rzedział fości σ σ ; + > ; + > ; + > Wyzaczaie liczby Φ Błąd względy δ σ x T Φ. 7

8 8. 4 Wariacja σ Normaly Nm,σ, > ; Y Y 5 Odchyleie stadardowe σ Normaly Nm,σ, > ; Y Y 6 Odchyleie stadardowe σ Normaly Nm,σ, licza próba > 80 > + ; Φ 7 Wariacja σ Normaly Nm,σ, licza próba > 80 > + ; Φ

9 8 rawdopod obieństwo skces p Rozkład zerojedykowy p, 0 p licza próba, > 00 W Gdzie W W W ; W+ W W > k/ k-liczba skcesów Φ W W W φ dystrybata rozkład ormalego N0, T zmiea losowa o rozkładzie tdeta z stopiami swobody Y zmiea losowa o rozkładzie chi kwadrat χ z stopiami swobody.. 9

10 Uzasadieie Rozpatrjemy stadaryzowaą statystykę m U σ ma rozkład N0;. Rozkład ormaly jest symetryczy więc szkamy przedział [-, ] aby U. Z powyższego wark wyika rówość Φ stąd zajdjemy w tablicach dystrybaty rozkład ormalego N0; wartość. 0

11 rzekształcamy: σ m σ σ m σ σ + m ostateczie σ σ + m

12 Korzystamy z rozkład t-tdeta Rozpatrjemy statystykę m U ma rozkład T -. Rozkład tdeta jest symetryczy więc szkamy przedział [-, ] aby U. Z powyższego wark wyika rówość T stąd zajdjemy w tablicach rozkład tdeta wartość.

13 3 rzekształcamy: m m + m ostateczie + m

14 4 3 Dla dżych prób, statystyka m U ma w przybliżei rozkład ormaly N0,. Wówczas przedział fości ma taki kształt jak w + m

15 Zadaie. Trwałość żarówek z pewej partii jest zmieą losową o rozkładzie ormalym Nm, 00 h. Z partii tej pobrao próbę 6 żarówek i otrzymao x 670 h. Oszacjemy średią trwałość żarówek z tej partii przedziałem fości, a poziomie fości - 0,95. Zajdziemy względy błąd tego oszacowaia. 5

16 Rozwiązaie. Zastosjemy przedział fości r : σ ; + σ >. Mamy Φ 0,975, stąd, 96, więc błąd bezwzględy, czyli połowa dłgości przedział fości σ 00, h, 6

17 zatem szkaym przedziałem fości jest przedział ; > 6 ; 79 >. σ δ 49 Błąd względy x x 670,8%. 7

18 rzykład. Badaa cecha ma rozkład Nm,. Średia z próby 0 elemetowej wyosi 5. Wyzaczymy przedziały fości dla wartości oczekiwaej dla różych poziomów fości. prawdzimy jak zmieia się błąd względy przy rozpatrywaych poziomach fości. 8

19 - / lewy-k prawy-k bł.wzgl 0,8 0,9,8 3,68 6,3 5,9% 0,85 0,95,440 3,5 6,49 5,95% 0,9 0,95,645 3,30 6,70 6,80% 0,9 0,955,695 3,5 6,75 7,00% 0,9 0,96,75 3,9 6,8 7,3% 0,93 0,965,8 3,3 6,87 7,49% 0,94 0,97,88 3,06 6,94 7,77% 0,95 0,975,960,98 7,0 8,0% 0,96 0,98,054,88 7, 8,48% 0,97 0,985,70,76 7,4 8,97% 0,98 0,99,36,60 7,40 9,6% 0,99 0,995,576,34 7,66 0,64% 0,99 0,9955,6,30 7,70 0,79% 0,99 0,996,65,6 7,74 0,96% 0,993 0,9965,697, 7,79,4% 0,994 0,997,748,6 7,84,35% 0,995 0,9975,807,0 7,90,60% 0,996 0,998,878,03 7,97,89% 0,997 0,9985,968,93 8,07,6% 0,998 0,999 3,090,8 8,9,77% 0,999 0,9995 3,90,60 8,40 3,59% 9

20 błąd względy 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% błąd względy jako fkcja poziom fości 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, poziom fości 0

21 rzykład. Zapytao 000 wylosowaych dorosłych osób czy popierają wprowadzeie kary śmierci. ześćset osób odpowiedziało twierdząco. Na poziomie fości 0,95 oszacować odsetek wszystkich dorosłych osób popierających wprowadzeie kary śmierci. Zakładając, że rozpatrywae próby są reprezetatywe rozwiążemy powyższe zadaie dla prób o różych liczebościach. W każdym przypadk obliczymy błąd względy.

22 k - / w ,95 0,975,96 0,6 lewy-k prawy-k bł.wzgl 00 0,5040 0,6960 6,00% 00 0,53 0,6679,3% 300 0,5446 0,6554 9,4% 400 0,550 0,6480 8,00% 500 0,557 0,649 7,6% 600 0,5608 0,639 6,53% 700 0,5637 0,6363 6,05% 800 0,566 0,6339 5,66% 900 0,5680 0,630 5,33% 000 0,5696 0,6304 5,06% 00 0,570 0,690 4,83% 00 0,573 0,677 4,6% 300 0,5734 0,666 4,44% 400 0,5743 0,657 4,8% 500 0,575 0,648 4,3% 600 0,5760 0,640 4,00% 700 0,5767 0,633 3,88% 800 0,5774 0,66 3,77% 900 0,5780 0,60 3,67% 000 0,5785 0,65 3,58%

23 błąd względy jako fkcja liczebości próby błąd względy 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% liczebość próby Wiosek. Błąd względy zmiejsza się wraz ze wzrostem liczebości próby. L.Kowalski