Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Transkrypt

1 Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja.. Niech a ) będzie ciągiem iczbowym. SZEREGIEM iczbowym o wyrazach a azywamy wyrażeie postaci Defiicja.2. Sumy a + a 2 + a 3 + = a. S = a S 2 = a + a 2. S = a + a a azywamy sumami częściowymi szeregu a. Liczbę a azywamy -tym wyrazem szeregu, a sumę S def = a + a a azywamy -tą sumą częściową szeregu a. Ciąg S ) będziemy azywać ciągiem sum częściowych powstałych z ciągu a ). Przykład.3. Weźmy astępujący szereg ). Wypiszmy wybrae sumy częściowe tego + szeregu S = 2 S 2 = = 2 3. S = = +.

2 Defiicja.4. Szereg iczbowy a azywamy zbieżym, jeżei jego ciąg sum częściowych S ) jest ciągiem zbieżym ma graicę skończoą), tz. im S = S. + Liczbę S azywamy sumą tego szeregu, tz. a = a + a 2 + a 3 + = S. Jeżei ciąg sum częściowych S ) jest rozbieży tz. ma graicę iewłaściwą + ub abo ie ma graicy) to mówimy, że szereg jest rozbieży. Defiicja.5. -tą reszta szeregu zbieżego a azywamy iczbę R def = a k k=+ Uwaga. Zmiaa skończoej iczby początkowych wyrazów szeregu ie ma wpływu a jego zbieżość. Jeżei szereg ma wyrazy ieujeme, to jest zbieży abo rozbieży do +. Przykład.6. Rozważmy szereg Wtedy -ta suma częściowa tego szeregu ma postać Poieważ im S = im ) =, więc + Przykład.7. Rozważmy szereg ) + S = = +. Wtedy -ta suma częściowa tego szeregu ma postać ) =, czyi szereg ) jest zbieży. + ) 2) S = =. Poieważ im S = im = +, więc szereg 2) jest rozbieży. Twierdzeie.8 Waruek koieczy zbieżości szeregów iczbowych). Jeżei szereg iczbowy zbieży, to im a = 0. a jest Uwaga 2. Jeżei waruek koieczy ie jest spełioy, tz. szereg a jest rozbieży. im a 0 abo Jeżei waruek koieczy jest spełioy, to ie wiemy czy szereg jest zbieży czy rozbieży. im a ie istieje, to 2 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

3 Przykład.9. Rozważmy szereg ) Wówczas im 2 + =, więc waruek koieczy ie jest spełioy, zatem szereg 3) jest rozbieży. 2 Przykład.0. Rozważmy szereg. 4) Poieważ im = 0, więc waruek koieczy jest spełioy, ALE -ta suma częściowa szeregu 4) ma postać S = = Wówczas im S = +, więc szereg 3) jest rozbieży.. Szereg geometryczy Szeregiem geometryczym azywamy szereg postaci =. a q. 5) Szereg geometryczy jest sumą wyrazów ciągu geometryczego o pierwszym wyrazie a i iorazie q... Zbieżość szeregu geometryczego a q Jeżei a = 0, to szereg a q jest zbieży i ma sumę rówą 0. Jeżei a 0 i q, to szereg a q jest rozbieży. Jeżei a 0 i q <, to szereg Wtedy im S = im a q q.2 Szereg harmoiczy Szereg harmoiczy to szereg postaci a q jest zbieży i S = a +a q+a q 2 +a q = a q q. gdy q < ===== a q. Szereg harmoiczy rzędu p szereg Diricheta) to szereg postaci Twierdzeie.. Szereg harmoiczy rzędu p > jest zbieży. Twierdzeie.2. Szereg harmoiczy rzędu p jest rozbieży.. 6) p. 7) 3 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

4 .3 Kryteria zbieżości/rozbieżości szeregów iczbowych Twierdzeie.3 Kryterium całkowe). Niech fukcja f : 0, + ) 0, + ) będzie ierosąca, gdzie 0 N. Wówczas szereg f) jest zbieży całka = 0 szereg f) jest rozbieży do + całka = 0 Uwaga 3. Reszta tego szeregu, to jest wyrażeie R def = + fx)dx R 0 0 i=+ fx)dx jest zbieża. fx)dx jest rozbieża do +. fi), spełia oszacowaie: fx)dx. Twierdzeie.4 Kryterium porówawcze zbieżości szeregów). Jeżei mamy dwa szeregi iczbowe a, b i szereg b jest zbieży oraz od pewego miejsca 0 da każdego N, takiego że 0 spełioa jest ierówość to szereg a rówież jest zbieży. 0 a b, Twierdzeie.5 Kryterium porówawcze rozbieżości szeregów). Jeżei mamy dwa szeregi iczbowe a, b i szereg a jest rozbieży oraz od pewego miejsca 0 da każdego N, takiego że 0 spełioa jest ierówość to szereg b rówież jest rozbieży. 0 a b, Twierdzeie.6 Kryterium d Aemberta). Niech jest zbieży, jeżei g <. jest rozbieży, jeżei g >. im a + a = g. Wtedy szereg a W przypadku, kiedy g =, to zbieżość szeregu aeży badać za pomocą iego kryterium, poieważ z tej iformacji ie wyika zbieżość ai rozbieżość szeregu. Twierdzeie.7 Kryterium Cauchye go). Niech im a = g. Wtedy szereg iczbowy a jest zbieży, jeżei g <. jest rozbieży, jeżei g >. Jeżei g =, to kryterium ie rozstrzyga zbieżości ub rozbieżości. 4 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

5 .4 Szeregi aprzemiee Szereg iczbowy postaci gdzie da każdego N a 0 azywamy aprzemieym. ) a, 8) ) + Przykład.8. Szereg postaci = jest przykładem szeregu aprzemieego. Będziemy azywać go szeregiem 4 aharmoiczym. Twierdzeie.9 Kryterium Leibiza). Jeżei mamy day szereg aprzemiey spełioe są waruki: ) a, taki że ciąg a ) jest ierosący, im a = 0, to szereg jest zbieży. Uwaga 4. Z kryterium Leibiza wyika, że szereg aharmoiczy ) + = jest zbieży poieważ ciąg a = jest ciągiem maejącym dążącym do zera..5 Zbieżość bezwzgęda szeregów Defiicja.20. Szereg iczbowy a azywamy szeregiem bezwzgędie zbieżym, jeżei szereg bezwzgędych wartości) a jest zbieży. Szereg iczbowy, który jest zbieży a ie jest bezwzgędie zbieży azywamy warukowo zbieżym. Twierdzeie.2. Jeżei szereg iczbowy jest bezwzgędie zbieży, to jest o zbieży. 5 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

6 2 Szeregi potęgowe Defiicja 2.. Szeregiem potęgowym o środku w pukcie x 0 R azywamy szereg postaci: c x x 0 ), gdzie x R oraz c R da = 0,, 2,... Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c azywamy współczyikami szeregu potęgowego. 2. Promień zbieżości szeregu potęgowego Twierdzeie 2.2. Da każdego szeregu potęgowego c x x 0 ) istieje dokładie jeda iczba R 0, + ) o własości: jeżei x x 0 < R, to szereg c x x 0 ) jest zbieży bezwzgędie, jeżei x x 0 > R, to szereg c x x 0 ) jest rozbieży. Defiicja 2.3. Liczbę R, której istieie gwaratuje powyższe twierdzeie azywamy promieiem zbieżości szeregu potęgowego c x x 0 ). Promień zbieżości szeregu potęgowego moża wyzaczyć za pomocą wzoru: R = im o ie graice w tych wzorach istieją. Gdy im c =, to R = 0. Gdy im c = 0, to R =. Przykład 2.4. c ub R = im c c, + Szereg ) 5 x + 5) jest szeregiem potęgowym o środku w pukcie x 0 = 5 i promieiu 3 R = 3 5. Szereg 6 3x) jest szeregiem potęgowym o środku w pukcie x 0 = 2 i promieiu R =. Szereg x)! jest szeregiem potęgowym o środku w pukcie x 0 = 0 i promieiu R =. Twierdzeie 2.5 Twierdzeie Cauchy ego-hadamarda). Niech 0 < R < będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego c x x 0 ). Wtedy szereg te jest: zbieży bezwzgędie w każdym pukcie przedziału x 0 R, x 0 + R), rozbieży w każdym pukcie zbioru, x 0 R) x 0 + R, + ). 6 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

7 Uwaga 5. W puktach x 0 R i x 0 + R szereg potęgowy może być zbieży ub rozbieży. Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieży jedyie w pukcie x 0. Gdy R =, to szereg potęgowy jest zbieży bezwzgędie a całej prostej. Defiicja 2.6. Zbiór tych x R, da których szereg potęgowy c x x 0 ) jest zbieży azywamy przedziałem zbieżości tego szeregu. Uwaga 6. Z twierdzeia Cauchy ego-hadamarda wyika, że przedział zbieżości szeregu potęgowego może mieć jedą z postaci: x 0 R, x 0 + R) x 0 R, x 0 + R) x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R, x 0 + R x 0 R, x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R {x 0 }, + ) R = 0 x 0 R = x 0 Przykład 2.7. Da szeregu x 2) mamy R = i przedział zbieżości, 3). Da szeregu Da szeregu ) x =2 2 ) x2 2)! =2 mamy R = i przedział zbieżości,. mamy R = i przedział zbieżości, + ) = R. 2.2 Szereg Tayora i Macauria Defiicja 2.8. Niech fukcja f ma w pukcie x 0 pochode dowoego rzędu. Szereg potęgowy f ) x 0 )! x x 0 ) =fx 0 )+ f x 0 )! x x 0 )+ f x 0 ) x x 0 ) ! azywamy szeregiem Tayora fukcji f o środku w pukcie x 0. f ) 0) Jeżei x 0 = 0, to szereg x azywamy szeregiem Macauria fukcji f.! 7 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

8 Uwaga 7. Ze zbieżości szeregu Macauria fukcji ie wyika, że jego suma jest rówa fukcji f. Na przykład da fukcji mamy f ) 0) = 0, da = 0,, 2, 3,..., i fx) e x 2, x 0 fx) = 0, x = 0 f ) 0) x 0.! Twierdzeie 2.9 Twierdzeie o rozwijaiu fukcji w szereg Tayora). Jeżei fukcja f ma a otoczeiu O puktu x 0 pochode dowoego rzędu, da każdego x O spełioy jest waruek im R x) = 0, gdzie R x) = f +) ξ) x x 0 ) + + )! ozacza -tą resztę we wzorze Tayora da fukcji f, przy czym ξ = x 0 + θx x 0 ), 0 < θ <, to fx) = f ) x 0 )! x x 0 ), da każdego x O. Twierdzeie 2.0 Twierdzeie o jedozaczości rozwiięcia fukcji w szereg potęgowy). Jeżei fx) = c x x 0 ), da każdego x z pewego otoczeia puktu x 0, to c = f ) x 0 )!, da = 0,, 2,... Przykład 2.. Da fukcji fx) = x mamy f) = oraz f x) = x 2 f ) = f x) = 2 x 3 f ) = 2 Wówczas f x) = 6 x 4 f ) = 3! f 4) x) = 24 x 5 f 4) ) = 4!. f ) x) = )! x + f ) ) = )! x = ) x ) = x), da 0 < x < 2. 8 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

9 2.3 Szeregi Macauria iektórych fukcji eemetarych x = si x= e x = cos x = + x) = arc tg x = x = + x + x 2 + x , da x <. x! = + x + x2 2 + x3 +..., da x R. 3! ) 2 + )! x2+ =x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., x R. sih x= cosh x = ) 2)! x2 = x2 2 + x4 4! x6 6! +..., x R. ) + ) x+ = x x2 2 + x3 3 x4 +..., < x. 4 ) 2 + ) x2+ = x x3 3 + x5 5 x7 +..., < x. 7 x 2+ x3 =x )! 3! + x5 5! + x7 7! +..., x R. x 2 2)! = + x2 2 + x4 4! + x6 6! +..., x R. Twierdzeie 2.2 Twierdzeie o różiczkowaiu szeregu potęgowego). Niech 0 < R będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego c x x 0 ). Wtedy: da każdego x x 0 R, x 0 + R). ) c x x 0 ) = c x x 0 ) Twierdzeie 2.3 Twierdzeie o całkowaiu szeregu potęgowego). Niech 0 < R będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego c x x 0 ). Wtedy: x x 0 da każdego x x 0 R, x 0 + R). ) c t x 0 ) dt = c + x x 0) + 9 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

10 2.3. Sumy ważiejszych szeregów potęgowych x = x = x 2 x =, da x <. x, da x <. x) 2 + x, da x <. x) 3 x = x), da x <. 2.4 Aproksymacja fukcji przez wieomia Wzór fx) ==fx 0 )+ f x 0 )! x x 0 ) f ) x 0 ) x x 0 ) + R x),! gdzie R x) = f +) ξ) x x 0 ) + < -ta reszta we wzorze Tayora da fukcji f, przy czym ξ = + )! x 0 + θx x 0 ), 0 < θ <, pozwaa przedstawić w sposób przybiżoy aproksymować) fukcję f za pomocą wieomiau zwaego wieomiaem Tayora) fx) fx 0 )+ f x 0 )! Przykład 2.4. Niech fx) = e x. Wówczas x x 0 ) f ) x 0 ) x x 0 ).! = 2 y = + x + x2 2 e x + x + x2 2 + x3 3! x! y y = e x. y = + x = = 3 y = + x + x2 2 + x3 6 x 3 Szeregi trygoometrycze Defiicja 3.. Szeregiem trygoometryczym a przedziae, azywamy szereg postaci a a cos πx + b si πx ), gdzie a 0 R, a, b R da N, jest pewą iczbą dodatią. 0 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

11 Defiicja 3.2. Niech fukcja f będzie całkowaa a przedziae,. Szeregiem trygoometryczym Fouriera azywamy szereg trygoometryczy gdzie oraz a a cos πx a = b = + b si πx ), fx) cos πx dx, = 0,, 2,... fx) si πx dx, =, 2,... Piszemy symboiczie fx) a a cos πx + b si πx ). Defiicja 3.3. Fukcję f, ograiczoą w przedziae a, b), azywamy przedziałami mootoiczą w tym przedziae, jeżei przedział a, b) moża podzieić a skończoą iczbę podprzedziałów wewątrz których fukcja f jest mootoicza. Defiicja 3.4. Mówimy, że fukcja f spełia a przedziae a, b waruki Diricheta, jeżei f jest przedziałami mootoicza w przedziae a, b), 2 f jest ciągła w przedziae a, b), z wyjątkiem co ajwyżej skończoej iczby puktów ieciągłości x 0, takich że fx 0 ) = 2 3 w końcach przedziału a, b) spełioe są rówości im fx) + im fx) x x 0 x x + 0 fa) = fb) = ) im fx) + im 2 fx) x b x a + Powyższe waruki azywamy odpowiedio: pierwszym, drugim i trzecim warukiem Diricheta. Twierdzeie 3.5 Diricheta). Jeżei fukcja f spełia w przedziae, waruki Diricheta, to jest rozwijaa w tym przedziae w szereg trygoometryczy Fouriera da każdego x,. fx) = a a cos πx ) + b si πx ), 9) Jeżei poadto fukcja f jest okresowa i ma okres 2, to rówość 9) jest prawdziwa da każdego x z dziedziy tej fukcji. Opracowała: Małgorzata Wyrwas

12 Twierdzeie 3.6. Jeżei fukcja f jest parzysta, to oraz a 0 = 2 0 fx)dx i a = 2 b = 0, =, 2,... Wówczas rozwiięcie 9) da fukcji parzystej przyjmuje postać 0 fx) cos πx dx, =, 2,... fx) = a Twierdzeie 3.7. Jeżei fukcja f jest ieparzysta, to a cos πx. 0) oraz b = 2 a = 0, = 0,, 2,... 0 fx) si πx dx, =, 2,... Wówczas rozwiięcie 9) da fukcji ieparzystej przyjmuje postać fx) = b si πx. ) 3. Zagadieie rozwijaia fukcji w szereg trygoometryczy Fouriera siusów ub kosiusów Rozważmy fukcję f, która jest okreśoa i spełia pierwszy i drugi waruek Diricheta w przedziae otwartym 0, ). Fukcję tę moża przedstawić w przedziae 0, ) w postaci szeregu trygoometryczego Fouriera składającego się z samych siusów ), abo samych kosiusów 0). Rozpatrzmy fukcję pomociczą f, okreśoą a przedziae, azywaą przedłużeiem fukcji f. Aby otrzymać rozwiięcie fukcji f w szereg siusów ) aeży przedłużyć fukcję f w sposób ieparzysty. 0, da x = f x), da < x < 0 f x) = 0, da x = 0 fx), da 0 < x < 0, da x = Aby otrzymać rozwiięcie fukcji f w szereg kosiusów ) aeży przedłużyć fukcję f w sposób parzysty. im fx), da x = x f x), da < x < 0 f x) = 0, da x = 0 fx), da 0 < x < im fx), da x = x 2 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

13 , da π < x < 0 Przykład 3.8. Niech fx) = 0, da x { π, 0, π}. Wówczas, da 0 < x < π fx) = 2 ) ) π y si x. x Przykład 3.9. Niech fx) = x, da x π, π. Wówczas fx) = π ) π 2 cos x. y y = x x π, da π < x 0 Przykład 3.0. Niech fx) = π 2, da x = ±π. Wówczas π x, da 0 < x < π fx) = 3 4 π + ) π 2 y cos x + ) y = fx) ) si x. x 3 Opracowała: Małgorzata Wyrwas