Ekonomia matematyczna - 1.1

Transkrypt

1 Ekoomia matematycza Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x p j1 Weźmy pod uwagę ryek, a którym występuje skończoa liczba towarów 1, 2,...,. Koszyk (wektor) towarów x x 1,x 2,...,x R składa się z towarów w ilościach x 1,x 2,...,x. Będziemy zakładać,że przestrzeią towarów jest zbiór X R. Na ryku towarów operuje m agetów 1,...,m. Każdy z ich jest scharakteryzoway przez: 1) swój koszyk początkowy x 0 i x 0 i1,x 0 i2,...,x 0 i lub dochód I i, 2) przestrzeń kosumpcyją X i R przestrzeń towarów, w zakresie której, i-ty aget wybiera koszyki, 3) relację prefecji i określoą w przestrzei kosumpcyjej X i. Defiicja 1.1. Relację w X azywamy relacją preferecji (albo słabej preferecji), gdy jest to relacja: 1) zwrota: x x, xx 2) przechodia: x,y,zx 3) zupeła (liiowa): x,yx x y y z x z, x y y x. Defiicja 1.2. Parę X,, gdzie X jest przestrzeią towarów X,X R, a jest relacją słabej preferecji kosumeta w X, azywamy polem preferecji kosumeta. 1

2 Defiicja ) Jeżeli jest relacją słabej preferecji, to relacja zdefiiowaa: x y x yy x jest relacją rówoważości (jest zwrota, przechodia oraz symetrycza, tz. x y x,yx y x). 2) Jeżeli jest relacją słabej preferecji, to relacja zdefiiowaa: x y x yy x lub rówoważie x y x yx y jest relacją silej preferecji. Defiicja 1.4. Obszarami obojętości w przestrzei towarów X azywamy klasy abstrakcji relacji, tj. zbiory: K x y X : y x,x X. Defiicja 1.5. Relację azywamy ciągłą w X, jeśli zbiór x, y : x y jest zbiorem domkiętym w X X. Rówoważie: x, y : y x jest zbiorem otwartym w X X. Twierdzeie 1.1. Następujace waruki są rówoważe: 1) relacja preferecji w zbiorze X R jest ciągła, 2) dla dowolych a, b X zbiory G a x X : a x,g b x X : x b są otwarte, 3) dla dowolych a, b X zbiory F a x X : x a, F b x X : b x są domkięte. Dowód: (ćwiczeie) Defiicja 1.6. Niech para X, tworzy pole preferecji i iech zbiór B, B X. Elemet x B taki,że y x,dla każdego y B, ozaczymy x arg max B i azwiemy B-preferowaym. Ozaczmy też Argmax B x B : y x. yb 2. Fukcja użyteczości 2

3 Defiicja 2.1. Określoą a przestrzei towarów fukcję u : X R azywamy fukcją użyteczości zgodą z relacją preferecji, jeżeli dla dowolych x, y X zachodzi: ux uy x y, Twierdzeie 2.1. Jeżeli u : X R jest fukcją użyteczości zgodą z relacją, to ux uy wtedy i tylko wtedy, gdy x y. Twierdzeie 2.2. Jeśli u : X R jest fukcją użyteczości zgodą z relacją i g : R R jest fukcjąściśle rosącą, to gu też jest fukcją użyteczości zgodą z relacją. Twierdzeie 2.3. Gdy relacja preferecji zdefiiowaa jest przez fukcję użyteczości u : X R, tz. x y def ux uy, przy czym u jest fukcją ciągłą, to relacja jest ciągła. O ile powyższe twierdzeie jest dość oczywiste, to poiższe twierdzeie Debreu jest ietrywiale. Twierdzeie 2.4.(Debreu) Jeśli jest relacją preferecji a X i jest ciągła, to istieje ciągła fukcja użyteczości u : X R taka,że ux uy wtedy i tylko wtedy, gdy x y. Dowód: (ćwiczeie) Defiicja 2.2. Mówimy, że w polu preferecji X, zachodzi zjawisko iedosytu (iaczej: relacja preferecji jest rosąca względem ), gdy: x yx y x y. x,yx 3. Maksymalizacja użyteczości Twierdzeie 3.1.(Weierstrasse a) 3

4 Niech B będzie zwartym, iepustym podzbiorem R i a R daa iech będzie ciągła relacja preferecji.wówczas zbiór ajlepszych w B względem koszyków jest iepusty i zwarty. Twierdzeie 3.2. Niech B będzie wypukłym podzbiorem R. 1) Jeżeli relacja preferecji jest wypukła, tz. dla dowolego x zbiór F x y : x y jest wypukły, to zbiór Argmax B jest wypukły. 2) Jeśli relacja preferecji jestściśle wypukła, tz. dla dowolego x zbiór F x y : x y jestściśle wypukły, czyli v,zf x 0,1 x v1z, to zbiór Argmax B jest zbiorem co ajwyżej jedopuktowym. Uwaga 3.1. Jeśli x y ux uy, gdzie u : X R jest fukcją: 1) quasi-wklęsłą, tz. x,y to relacja jest wypukła. 2)ściśle quasi-wklęsłą, tz. x,y 0,1 0,1 ux 1y miux,uy, ux 1y miux,uy, to relacja jestściśle wypukła. Każda fukcja wklęsła jest quasi-wklęsła. Każda fukcjaściśle wklęsła jestściśle quasi-wklęsła. Wiosek 3.1. Jeśli B jest ograiczoym, domkiętym, wypukłym podzbiorem w R, a fukcja użyteczości u : R R jest ciągła iściśle quasi-wklęsła (relacja preferecji jest ciągła iściśle wypukła), to istieje dokładie jede x B taki,że ux ux, dla każdego x B. Weźmy pod uwagę opisaą wcześiej przestrzeń towarów X oraz operujących a ryku 4

5 agetów (kosumetów). Aget dyspoujący dochodem I scharakteryzoway jest przez fukcję użyteczości u : X R, która jest związaa z jego preferecją, tz. x y ux uy. Aget zgłasza popyt idywidualy Dp x Bp,I : x x, xbp,i gdzie zbiór Bp,I x X : x, p I azywamy jego zbiorem budżetowym. Gdy dochód ageta pochodzi wyłączie z wartości jego koszyka towarów - czyli zależy od ce p, to I Ip x 0, p, a wtedy B x 0p Bp,Ip x X : x x 0, p 0. Iaczej mówiąc: aget rozwiązuje zadaie maksymalizacji z ograiczeiami: 1 p,i max ux max ux 1,...,x przy ograiczeiach x 1 0, x 0, x,p x 1 p 1 x p I, gdzie p 0,I 0. Przy założeiach,że fukcja użyteczości jestściśle wklęsła, rosąca i dwukrotie różiczkowala rozwiązaie x zadaia 1p,I jest fukcją zmieych p 0,I 0 : x p,i. (Gdy I Ip x 0, p,to x p,ip). Przy założeiu wklęsłości fukcji u moża, w oparciu o twierdzeie Kuha-Tuckera, podać waruki koiecze i dostatecze a to, by elemet x był rozwiązaiem tego zadaia. Twierdzeie 3.3.(Kuha-Tuckera) Niech f,g 1,...,g : R R będą fukcjami wypukłymi i róziczkowalymi. Wówczas x R jest rozwiązaiem zadaia programowaia wypukłego: mifx przy ograiczeiach 5

6 g 1 x 0, g x 0, wtedy i tylko wtedy, gdy spełia waruki: a) g 1 x 0, g x 0, b) istieje 1,..., 0 takie,że (b1) j g j x 0, dla każdego j 1,...,, (b2) gdzie fx f x 1 x,..., fx j g j x, j1 f x x g j x g j x 1 x,..., g j x x ozaczają odpowiedio gradiety fukcji f oraz g j, (tz. f x 1 x j1.... f x m x j1 j g j x 1 x j g j x m x.) Aby skorzystać z twierdzeia Kuha-Tuckera zadaie maksymalizacji użyteczości 1 p,i moża zapisać w rówoważej postaci: 2 p,i mi ux przy ograiczeiach g 1 x x,e 1 x 1 0, g x x,e x 0, g 1 x x, p I x 1 p 1...x p I 0. 6

7 Mamy więc z twierdzeia Kuha-Tuckera astępujące wioski: Wiosek 3.2. Jeśli u : R R jest fukcją wklęsłą i róziczkowalą, to x R jest rozwiązaiem zadaia 1 p,i wtedy i tylko wtedy, gdy: a) x 1 0, x 0, x 1 p 1...x p I, b) istieją 1,...,, 1 0 takie,że (b1) j x j 0, dla j 1,...,, 1 x 1 p 1...x p I 0, (b2) ux 1 p 0, gdzie 1,...,, p 0 tz. u x 1 x 1 1 p 1, u x x 1 p. Defiicja 3.1. O koszyku towarów x X mówimy,że leży a hiperpłaszczyźie budżetowej, jeżeli spełia waruek x, p I. Wiosek 3.4. Gdy fukcja użyteczości u jest jak we wiosku 3.2, różiczkowala oraz rosąca względem porządku w R, to wtedy ux 0. Gdy w waruku (b2) ostatiego wiosku, dla pewego j, mamy ierówość u x j x 0, to u x j x 1 p j j 0, stąd 1 p j j 0, 7

8 zatem 1 0. Stąd i z waruku (b1) wyika,że 1 x 1 p 1...x p I 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 p 1...x p I 0. A zatem x, p I. To ozacza,że rozwiązaie zadaia 1p,I leży a hiperpłaszczyźie budżetowej. 4. Krańcowa uzyteczość, substytucja, elastyczośćsubstytucji Defiicja 4.1 Krańcową uzyteczością j tego towaru w koszyku x azwiemy pochodą cząstkową u x j x Defiicja 4.2 Krańcową stopą substytucji i tego towaru przez towar j ty w koszyku x azwiemy liczbę s ij x u x i x u x j x x j x i Defiicja 4.3 Elastyczoscią substytucji i tego towaru przez towar j ty w koszyku x azwiemy liczbę ij x u x i x u x j x x i x j Przykłady fukcji użyteczości (w przestrzei dwóch towarów) ux 1,x 2 x x x j x j x i x i 8

9 s 12 x 1,x 2 ux 1,x 2 x 1 ux 1,x 2 2x 2 3x 1 x 2 12 x 1,x vx 1,x 2 lux 1,x lx lx 2 s 12 x 1,x 2 vx 1,x 2 x 1 2x 2 vx 1,x 2 3x 1 x 2 12 x 1,x

10 Fukcja popytu (popyt Marshalla) Jeśli u jest fukcjąściśle quasi-wklęsłą i ciągłą, to zadaie maksymalizacji użyteczości ma dokładie jedo rozwiązaie x, dla każdego p 0 i każdego I 0, tz. mamy określoą fukcję popytu: p,i p, I x. Bez założeń dotyczących fukcji u, może istieć dokładie jede ajlepszy koszyk, może istieć wiele takich koszyków, lub może w ogóle ie istieć taki koszyk. Twierdzeie 5.1. Jeżeli: 1) relacja preferecji jest ciągła a R, 2) pole preferecji R, jestściśle wypukłe, to odwzorowaie p,i p,i przyporządkowujące każdej parze p 0,I 0 dokładie jede ajlepszy, przy ograiczeiach budżetowych, koszyk jest fukcją. Dowód: Zauważmy,że gdy p 0, to 10

11 Bp,I co 0, I p1 e 1,..., I p e, zatem zbiory Bp,I są zwarte, a relacja preferecji jest ciągła. Wobec tego każdemu dodatiemu wektorowi ce i dodatiemu dochodowi moża przyporządkować przyajmiej jede Bp,I-preferoway koszyk towarów (z twierdzeia 3.1). Bp, I jest wypukły, pole preferecji jest z założeiaściśle wypukłe, zatem istieje ie więcej iż jede Bp,I-preferoway koszyk, dla każdego wektora ce p 0 i dochodu I 0 (z twierdzeia 3.2). Łącząc oba wioski, stwierdzamy,że każdej parze p 0, I 0 przyporządkoway jest dokładie jede Bp,I-preferoway koszyk towarów. Twierdzeie 5.2. Jeśli fukcja użyteczości jestściśle quasi-wklęsła, rosąca i ciągła, to fukcja p,i p,i jest ciągła w każdym p,i takim,że p 0, I 0. Dowód: Niech p k,i k p,i, przy czym p 0, I 0 oraz x k p k,i k, x p, I. Należy wykazać,że x k x, gdy k. Pokażemy ajpierw,że istieją y k Bp k,i k, dla k 1, 2,... takie,że y k x 0, gdy k (tz. w istocie pokażemy,że multifukcja B jest dolie półciągła). Istotie, iech y k j 1,...,). Wtedy y k, p k I k x,p k x, dla odpowiedio dużych k (tz. takich,że p kj 0, dla I k x,p k x, p k I k, a poadto y k I x x, gdyż x, p I. x,p Zauważmy jeszcze,że a mocy defiicji puktów x k mamy (*) uy k ux k. Przypuśćmy teraz,że ciąg x k ie zbiega do x. Wtedy istieje 0 oraz podciąg x kl ciągu x k taki,że x kl x. Ciąg x k jest ograiczoy. Wyika to z astepujących ierówości: v v 2 j j1 j1 v j v j j1 q j miq 1,...,q 1 v, q, miq 1,...,q 11

12 prawdziwych dla v 0,q 0. Zatem x k 1 mip k1,...,p k x k, p k 1 x, p, mip 1,...,p poieważ x k, p k I k I x, p. Wobec tego podciąg x kl też jest ograiczoy, więc moża z iego wybrać podciąg x kls zbieży do pewego x 0 0. Mamy x 0 x lim s x kls x. Poadto x 0, p lim s x kls,p kls lim k I k I oraz ux 0 lim s ux kls. Ze względu aścisłą quasi-wklęsłość fukcji u, mamy u 1 2 x x miux 0,ux. Ale ux 0 lim s ux kls lim s u y kls ux, (patrz (*)). Otrzymujemy więc u 1 2 x x ux, dla puktu z 1 2 x 0x takiego,że z,p I; sprzeczość. 12