Estymacja przedziałowa:

Transkrypt

1 Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem. Def. Przedziałem ufości dla parametru azywamy przedział (Z 1, Z ), gdzie Z 1 = u 1 (X 1, X, X ), Z = u (X 1, X, X ) są statystykami iezależymi od takimi, że P θ Z 1, Z = 1 α. Liczbę 1 - azywamy poziomem ufości. Zazwyczaj = 0.1 lub = 5 lub = 1 (ajczęściej = 5). Poziom ufości mówi am, że możemy mied (1 - ) 100% ufości, że wyzaczoy a podstawie próby (X 1, X, X ) przedział (Z 1, Z ) będzie zawierał. Przedziały ufości dla średiej EX = m: Model I: populacja geerala ma rozkład N(m, ), gdzie jest zae Statystyka X = 1 X i<1 i ma rozkład N(m, σ X;m ), atomiast statystyka U = σ ma rozkład N(0,1) iezależy od m. Niech u α będzie dobrae tak, aby P U > u α = α. Zauważmy wtedy, że P( u α U u α ) = = Φ u α (1 Φ(u α ) = Φ u α 1 = 1 α Φ u α = 1 α u α jest kwatylem rzędu 1 α rozkładu U. Przedziałem ufości dla parametru m a poziomie 1 - będzie wtedy (X u α σ, X + u α σ )

2 Np. Zajdź przedział ufości a poziomie 1 - = 0.95 dla średiej m w rozkładzie N(m,), jeżeli a podstawie próbki o liczości 16 wyzaczoo x = 34.1 Z tablicy kwatyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 5 = ξ = 1.96 czyli przedział ufości (Z 1, Z ) = (33.1, 35.08) Model II. populacja geerala ma rozkład N(m, ), gdzie jest iezae p ξ p X = 1 X i<1 i i S = 1 X i X zależą od parametru m, atomiast statystyka i<1 t = X;m 1 ma rozkład t-studeta o -1 stopiach swobody iezależy od m S Niech t α będzie takie, że P t > t α = α t α jest kwatylem rzędu 1 - α rozkładu t S Przedziałem ufości dla parametru m a poziomie 1 - będzie wtedy (X t α ;1, X + t α Np. Zmierzoo wytrzymałośd 10 losowo wybraych elemetów kostrukcyjych i otrzymao: 383, 84, 339, 340, 305, 386, 378, 335, 344, 346. Zakładając, że rozkład wytrzymałości jest N(m, ), wyzacz 95% realizację przedziału ufości dla m. x = 344, s = 968.8, s = Z tablicy kwatyli rozkładu t-studeta o 9 stopiach swobody odczytujemy t 5 = ξ =.6 p ξ p S ;1 )

3 czyli przedział ufości (Z 1, Z ) = (30.55, ) Model III. populacja geerala ma rozkład dowoly o iezaej skooczoej wariacji σ, przy czym próba ma liczośd 100. z tw. Lideberga-Levy ego statystyka U = X;m σ ma rozkład asymptotyczie ormaly N(0,1) iezależy od m. Dla dużych moża zatem rozkład U przybliżad rozkładem N(0,1). Dla daej próbki obliczamy x i s, a astępie stosujemy model I. Przedziałem ufości dla parametru m a poziomie 1 - będzie wtedy (x u α s, x + u α Np. Z populacji włókie pobrao 300-elemetową próbkę i zmierzoo ich długośd, grupując dae w szereg rozdzielczy. Zajdź 95% realizację przedziału ufości dla wartości oczekiwaej. s ) [a i;1, a i ) x i i [0,5.5).75 [5.5,10.5) [10.5,15.5) [15.5,0.5) [0.5,5.5) [5.5,30.5) [30.5,35.5) [35.5,40.5] x = 1 x i<1 i i = 7.43 s = 1 8 x i x i = ;1 i<1 s = 7.18 u 5 = ξ = 1.96 czyli przedział ufości (Z 1, Z ) = =( , ) = (6.59, 8.1)

4 Przedziały ufości dla wariacji D X = σ : Model I: populacja ma rozkład N(m, ) o iezaych m i, a próba ma liczośd 50 statystyka χ = S = X i ;X σ σ i<1 ma rozkład chi-kwadrat o -1 stopiach swobody iech c 1 i c będą kwatylami rzędów 1 - α i α rozkładu χ Przedziałem ufości dla parametru σ a poziomie 1 - będzie wtedy ( S c 1, (;1)S ) c ( (;1)S c 1, S c ) lub Np. Liczba skrętów dla losowo wybraych odcików przędzy o długości 1 m wyosiła: 87, 10, 119, 81, 97, 93, 100, 114, 99, 100, 113, 93, 95, 85, 13, 99. Zakładając, że liczba skrętów ma rozkład ormaly. zajdź 90% realizację przedziału ufości dla wariacji i odchyleia stadardowego. x = 100, s = 134. Z tablicy kwatyli rozkładu chi-kwadrat o 15 stopiach swobody odczytujemy c 1 = ξ 0.95 = 5, c = ξ 5 = 7.6 p ξ p czyli σ , = (85.97,96.04), σ (9.3,17.)

5 Model II. populacja ma rozkład N(m, ) o iezaych m i, a próba ma liczośd 50 statystyka χ = S σ iech u α będzie kwatylem rzędu 1 - α ma w przybliżeiu rozkład ormaly N( 3, 1) rozkładu ormalego N(0,1) Przedziałem ufości dla parametru σ a poziomie 1 - jest ( S ;3:u α, S ) ;3;u α Np. Przy sprawdzeiu dokładości skrawaia dokoao 50 pomiarów i uzyskao s = Zakładając, że rozkład błędów jest ormaly o iezaym, wyzacz przedział ufości dla odchyleia stadardowego a poziomie czyli σ :1.96, ;1.96 u 5 = ξ = 1.96 = (1,33) Przedział ufości dla wskaźika struktury: Przyjmijmy, że posiadaie przez elemet z daej próby cechy X ozaczymy przez 1 (sukces). Moża teraz wskaźik struktury traktowad jako prawdopodobieostwo sukcesu P(X i = 1) =, P(X i = 0) = 1 - w próbach Beroulliego (X 1, X,, X ). Ozacza to, że populacja geerala ma rozkład dwupuktowy z prawdopodobieostwem sukcesu. Model I. populacja geerala ma rozkład dwupuktowy z parametrem p =, a próba ma liczośd 100

6 Przedziałem ufości dla parametru p a poziomie 1 - jest ( p 1, p ), gdzie P p 1 < p < p = 1 α, a wartości p 1, p są stablicowae. Np. Z partii towaru pobrao losowo 0 sztuk i zaobserwowao sztuki wadliwe. Podaj 95% realizację przedziału ufości dla frakcji sztuk wadliwych w całej partii towaru. z tablicy wartości kooców przedziału ufości dla = 5 k = i -k = 18 odczytujemy p 1 = 1, p = k -k czyli p (1,0.317) Model II. populacja geerala ma rozkład dwupuktowy z parametrem p =, a próba ma liczośd 100 statystyka p = k p(1;p) ma rozkład asymptotyczie ormaly N(p, ), a po stadaryzacji

7 statystyka U = k;p p(1;p) ma rozkład ormaly N(0,1). iech u α będzie kwatylem rzędu 1 - α rozkładu ormalego N(0,1) Przedziałem ufości dla parametru p a poziomie 1 - jest ( :(u α ) [k: u α u α k(;k) + (u α) 4, :(u α ) [k: u α + u α k(;k) + (u α) 4 ) Np. Spośród 10 pracowików daego zakładu 17 ie wykouje ormy wydajości pracy. Wyzacz 95% realizacje przedziału ufości dla frakcji pracowików ie wykoujących ormy w całym zakładzie. mamy k=17, =10, u 5 = ξ = 1.96 stąd = 0.969, k: u α :(u α ) czyli p (9,0.15) = 0.158, u α k(;k) + (u α) 4 = 64 Uogólieie pojęcia przedziału ufości a przypadek dwóch parametrów: Niech cecha X populacji geeralej ma rozkład zależy od dwóch parametrów (θ 1, θ ), a zbiór I(X 1, X,, X ) R taki, że P((θ 1, θ ) I X 1, X,, X ) = 1 α. Def. Zbiór I(X 1, X,, X ) azywamy wtedy (1 - ) 100% obszarem ufości dla parametrów (θ 1, θ ).

8 Model. populacja ma rozkład ormaly N(m, ) o iezaych m,. X;m statystyki G 1 = i G σ = S są iezależe i mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiedio σ 1 i -1 stopiach swobody iech a α będzie kwatylem rzedu 1 - α rozkładu chi-kwadrat o 1 stopiu swobody b α będzie kwatylem rzedu α rozkładu chi-kwadrat o -1 stopiach swobody i 4 c α będzie kwatylem rzedu 1 - α rozkładu chi-kwadrat o -1 stopiach swobody. 4 Wtedy (1 - ) 100% obszarem ufości dla parametrów (m,σ ) będzie I = * m, σ : S c α < σ < S b α σ > (X;m) a α } Np. Wykoao 15 pomiarów czasu likwidowaia zrywów a przędzarce otrzymując: 4.5, 3.6, 6.0, 7.9, 6.9, 6.1, 7.4, 4.3, 6.1, 7.4, 4.3, 6.1, 4.9, 7.5, 5.8, 8., 6.4, 9.0. Zakładając, że rozkład czasu likwidacji jest ormaly, wyzacz 90% realizację obszaru ufości dla (m,σ ). σ = (X;m) a α σ I σ = S b α σ = S c α obliczamy x = 6.3, s =.30, α = 0.1 z tablic kwatyli rozkładu chi-kwadrat x m p

9 odczytujemy a 1 = ξ 0.95 = 3.84, b 0.1 = ξ 5 = 5.63, c 0.1 = ξ = 6.1 zatem I = * m, σ : < 6.1 σ < σ > 15(6.3;m) }= 3.84 = * m, σ : 1.3 < σ < 6.13 σ > 3.91 (6.3 m) } Wyzaczaie miimalej liczości próby potrzebej do realizacji przedziału ufości o zadaej długości: zauważamy, że wraz ze wzrostem liczości próby maleje długośd przedziału ufości, więc moża postawid zadaie zalezieia takiej miimalej liczości próby, aby otrzymad przedział ufości ie przekraczający zadaej długości l lub zadaego proceta wartości szacowaego parametru Model I. populacja ma rozkład ormaly N(m, ) o zaym. Szukamy miimalej liczości próby takiej, aby przy zadaym poziomie ufości 1 -, długośd przedziału ufości dla wartości oczekiwaej m ie przekraczała l (l ustaloe). gdzie u α jest kwatylem rzędu 1 - α 0 = u ασ + 1, l rozkładu ormalego N(0,1) Np. Ilu iezależych pomiarów głębokości morza w pewym miejscu ależy dokoad, aby a poziomie ufości 0.95 wyzaczyd głębokośd z błędem ie większym iż 10 m, przy założeiu, że rozkład błędu pomiarów jest ormaly z wariacją σ = 180 m?

10 l = 5, σ = 180 i u 5 = ξ = = = 8 Model II. populacja ma rozkład ormaly N(m, ) o zaym współczyiku zmieości ν = σ m. Szukamy miimalej liczości próbki, aby a poziomie ufości 1 -, długośd przedziału ufości dla wartości oczekiwaej ie przekraczała mp% (p ustaloe). 0 = u αν p , gdzie u α jest kwatylem rzędu 1 - α rozkładu ormalego N(0,1) Np. Zakładając, że wysokośd ploów żyta w pewym rejoie ma rozkład ormaly o współczyiku zmieości = 0.5, zajdź miimalą liczbę gospodarstw do badaia, aby dla 95% poziomu ufości otrzymad przedział ufości dla wartości oczekiwaej o długości ie przekraczającej 10% tej wartości oczekiwaej. = 0.5, p = 5, u 5 = ξ = = = 384

11 Model III. populacja ma rozkład ormaly N(m, ) o iezaych parametrach m,. Szukamy miimalej liczości próby, aby przy zadaym poziomie ufości 1 -, otrzymad przedział ufości dla wartości oczekiwaej o długości ie przekraczającej l (l ustaloe). gdzie t α jest kwatylem rzędu 1 - α k = t αs + 1, l rozkładu t-studeta o -1 stopiach swobody. Z powyższego wzoru ie moża wyliczyd, gdyż S przyjmuje róże wartości dla różych próbek. Postępujemy więc astępująco: 1. z populacji pobieramy próbkę wstępą o pewej liczości 0 i obliczamy x 0 = 1 0 x i 0 i<1, s 0 = 1 0 x i x 0 0 i<1 z tablicy kwatyli rozkłady t-studeta o 0 1 stopiach swobody odczytujemy t α k = t αs l jeżeli k 0 0, to 0 jest szukaą miimalą liczością próbki. jeżeli k 0 > 0, to do próbki wstepej dobieramy próbkę o liczości 1 = k i *k+ + 1 jest szukaą miimalą liczością próbki Pozostaje jedak istote pytaie jak sesowie wybrad liczośd próbki wstępej 0. Praktyczie dobiera się 0 tak, aby wartośd oczekiwaa liczości obydwu próbek E( ) była jak ajmiejsza. Okazuje się, że zależy oa od wartości 0 i współczyika c = l σ. Wartości E( ) przy ustaloym poziomie ufości 1 - są stablicowae.

12 = 0.95 c mie( ) Np. 1. Czasy wyładowaia ośmiu baterii z partii wyosiły: 1, 15, 05, 14, 16, 08, 10, 15. Zakładając, że czas wyładowaia ma rozkład ormaly, wyzacz miimala liczbę pomiarów, jakich ależy jeszcze dokoad, aby otrzymad 95% realizację przedziału ufości dla wartości oczekiwaej ie przekraczającego długości 4.

13 otrzymujemy x = , s = 8.313, l =, t 5 = ξ =.365 dla rozkładu t-studeta o 7 stopiach swobody zatem p ξ p k = = 1.6 poieważ k 0 = 4.6 > 0, to ależy dokoad jeszcze 1 = = 5 pomiarów. Z populacji o rozkładzie ormalym wybrao 1 elemetową próbę i otrzymao x = 11.3, s = 11.. Wyzacz przybliżoą wartośd oczekiwaą liczby obserwacji potrzebych do wyzaczeia przedziału ufości o długości ie większej iż, przyjmując poziom ufości Czy liczośd próby została wybraa sesowie? poieważ ie zamy, które jest potrzebe do wyliczeia współczyika c = l, przyjmijmy, że σ w przybliżeiu s, wtedy c 1 = z tabeli dla 1 - = 0.95 i 0 1 = 0 odczytujemy E( ) = 48 aby wartośd ta była bliższa wartości miimalej 43 moża uzad, że lepsza byłaby liczośd początkowa próby 0 = 31

14 Model IV. populacja ma rozkład dwupuktowy z parametrem p. Szukamy miimalej liczości próbki, aby przy zadaym poziomie ufości 1 - maksymaly błąd parametru p ie przekroczył d (d ustaloe) 1. jeżeli zamy rząd wielkości parametru p, to miimalą liczośd próby wyzaczamy ze wzoru u α pq d, gdzie u α jest kwatylem rzędu 1 - α rozkładu ormalego N(0,1), a p spodziewaym rzędem wielkości parametru p. jeżeli ie zamy rzędu wielkości parametru p, to przyjmujemy, że pq = 0.5 (ajwiększa możliwa wartośd) i miimalą liczośd próby wyzaczamy ze wzoru u α 4d, przy czym liczośd ta jest dla p 0.5 za duża, czyli maksymaly błąd szacuku jest miejszy od d. Np. Ilu ależy wylosowad studetów pewej uczeli, by oszacowad procet palaczy z błędem maksymalym 5% przy poziomie ufości 0.95, jeżeli przypuszcza się, że szacoway procet palaczy jest rzędu 70%. u 5 = ξ = = 3.69 czyli ależy wylosowad próbę 33 studetów.

15 Przedział toleracji: Niech cecha X badaej populacji ma rozkład o gęstości f oraz (X 1, X,, X ) będzie próbą prostą z tej populacji. Def. Przedział (L 1, L ) azywamy 100p% przedziałem toleracji zmieej X a poziomie ufości 1 - L 1 = L 1 (X 1, X,, X ) i L = L (X 1, X,, X ) oraz P f x dx > p = 1 α L 1 poieważ L 1 i L są zmieymi losowymi, to frakcja elemetów populacji zawartych miedzy losowymi graicami L 1 i L : L W = f x dx L 1 też jest zmieą losową. Jeżeli przedział toleracji jest ieograiczoy ( -, L ) lub ( L 1, ), to azywamy go jedostroym przedziałem toleracji. Jeżeli uporządkujemy próbę rosąco ze względu a jej wartości otrzymując statystyki pozycyje (X 1, X,, X ) takie, że x 1 x x, to rozkład statystyki W = X k X k1 f x dx, dla 1 k 1 < k jest rozkładem beta z parametrami k k 1 i k + k 1 1i ie zależy od rozkładu zmieej X. Jeśli dla ustaloych wartości p i zajdziemy, k 1 i k takie, że P(W > p) = 1 -, to przedział (X k1, X k ) jest 100p% ieparametryczym przedziałem toleracji a poziomie ufości 1 -. W praktyce przyjmujemy k 1 = 1 i k =, a iezaą liczośd próby zajdujemy z relacji 1 p ;1 + 1 p 1 α L

16 Tak otrzymaa liczba jest miimalą liczością próby, aby przedział (X 1, X ) był 100p% przedziałem toleracji a poziomie ufości ie miejszym iż 1 -. Miimale wartości spełiające powyższą ierówośd, dla pewych wartości parametrów p i są stablicowae. Niech rozkład cechy X będzie ormaly N(m, ) o iezaych m i. Dla daych i p moża zaleźd taką liczbę k(,,p), aby przedział ( X k(,,p)s, X + k(,,p)s ) był 100p% przedziałem toleracji a poziomie ufości 1 -. Wartości k(,,p) dla iektórych,, p są stablicowae. Dla daych i p moża zaleźd taką liczbę k 1 (,,p), aby przedział ( X k 1 (,,p)s, ) lub ( -, X + k 1 (,,p)s ) był jedostroym 100p% przedziałem toleracji a poziomie ufości 1 -. Wartości k 1 (,,p) dla iektórych,, p są stablicowae. Np. 1. Pewie zakład produkuje wałki o omialej średicy 15 mm. Dla pobraych losowo 10 sztuk średice wyosiły: , , , , , , 15.01, 15.01, , Zakładając, że rozkład średic jest ormaly a poziomie ufości 0.95 zajdź 90% przedział toleracji dla próbki. Czy proces techologiczy jest poprawy, jeśli orma dopuszcza proces, w którym 90% wałków mieści się w graicach od do obliczamy x = , s = 168 z tablicy dla = 5, p = 0.9 i = 10 odczytujemy wartośd k =.839 p

17 szukay przedział toleracji (L 1, L ) = ( , ) poieważ przedział toleracji mieści się w graicach ormy, to proces techologiczy jest poprawy. Ilu elemetową próbę ależy pobrad, aby a poziomie ufości 0.99 otrzymad 98% ieparametryczy przedział toleracji (X 1, X )? p = 0.9, = 1, z tablic odczytujemy miimalą wartośd = p