WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie, że funkcja jest wklęsła na przedziale i wypukła na przedziale ; ; lub odwrotnie [tj. Q, f a;b nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie, że funkcja jest wypukła na przedziale ; i wklęsła na przedziale ; ] Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia a;b f, to krzywa y f jest wypukła na przedziale a;b. f, to krzywa y f jest wklęsła na przedziale a;b., f jest punktem przegięcia funkcji f i funkcja ta jest w Jeżeli punkt tym punkcie dwukrotnie różniczkowalna (tj. istnieje f ), to f P Q Punkty przegięcia. Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu, przy czym: o f dla f f dla > albo o f dla f f dla > to jest punktem przegięcia funkcji f > f + - f f > f - + f f
I. Analizę ogólnych własności funkcji. II. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI obejmuje :. Wyznaczenie dziedziny funkcji.. Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów określoności.. * Wyznaczenie (o ile istnieją) asymptot wykresu funkcji. 4. Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.(miejsca zerowe oraz wartość funkcji dla =) 5. * Określenie szczególnych własności funkcji (parzystość, nieparzystość, okresowość) Analizę pierwszej pochodnej funkcji. 6. Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji.. Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej i przedziałów, gdzie pochodna jest dodatnia i ujemna (przedziałów monotoniczności funkcji). 8. Wyznaczenie ekstremów funkcji. III. Analizę drugiej pochodnej funkcji. Przykłady 9. Obliczenie drugiej pochodnej funkcji.. Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej i przedziałów, gdzie drugiej pochodna jest dodatnia i ujemna (przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji).. Wyznaczenie punktów przegięcia funkcji.. Sporządzenie wykresu funkcji. Wyznaczymy przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji 4 4 a) f Dziedziną funkcji jest zbiór D ; ;. Miejsca zerowe to oraz. asymptoty poziome: lim f lim lim f lim 4 4 4 4 asymptoty ukośne (gdyż nie ma asymptot poziomych): f 4 4 lim lim 4 4 4 lim f lim lim f 4 4 lim lim 4 4 4 lim f lim lim Stąd asymptotą funkcji zarówno w jak i w jest prosta y. asymptoty pionowe: 4 4 lim f lim 4 4 lim f lim Funkcja ta jest różniczkowalna na zbiorze D, a jej pochodna wyraża się wzorem 4 4 4 8 f jej dziedziną jest również zbiór D. Funkcja jest stale rosnąca, gdyż jest dodatnia na całej swej dziedzinie 8 f 8 D 8 8 f 4 4 4 4 Nie ma miejsc zerowych, zatem funkcja nie ma punktów przegięcia. 4 f 4
4 f 4 Zauważmy, że f zatem funkcja jest wypukła na całej dziedzinie. D f + + + + + f + + + - - - f 4 - -5 5 - -4 Rys. Do przykładu a) Rys. Do przykładu b) b) f Dziedziną funkcji jest zbiór D \,. Miejsce zerowe to. - - asymptoty poziome: lim f lim lim f lim asymptoty pionowe: lim lim f lim f lim - - - lim lim f lim f lim Funkcja ta jest różniczkowalna na zbiorze D, stąd jej pochodna wyraża się wzorem f jej dziedziną jest również zbiór D. Funkcja jest stale malejąca, gdyż pochodna jest stale ujemna D f gdyż D f 4 Miejsca zerowe drugiej pochodnej f Znaki drugiej pochodnej f ; ; f ; ; - f - - - - f - + - f - +
c) f Dziedziną funkcji jest zbiór Miejsce zerowe to. D \,. asymptoty poziome: lim f lim lim lim lim f lim lim Brak asymptot poziomych. Wówczas sprawdzamy czy występują asymptoty ukośne postaci y = a + b f a lim lim lim lim b lim f a lim lim lim f a lim lim lim lim b lim f a lim lim lim asymptoty pionowe: lim lim f lim lim f 8 lim f lim 8 lim f lim Funkcja ta jest różniczkowalna na zbiorze D, stąd jej pochodna wyraża się wzorem 6 f jej dziedziną jest również zbiór D \,.. Punkty podejrzane o występowanie ekstremum funkcji wyznaczamy z warunku f. Zatem f 6 6 8 Ponieważ zmiana znaku pochodnej następuję w punktach,, stąd funkcja jest malejąca w przedziale ; \,, gdyż pochodna jest stale ujemna 6 f, gdyż ; \, ; \, Natomiast funkcja jest rosnąca w przedziale ; ;, gdyż pochodna jest stale dodatnia 6 f, gdyż ; ; ; ;... f + - - - + f f f ma lokalne min lokalne f 6 6 4
Miejsca zerowe drugiej pochodnej 6 4 f 4 czyli 4 Znaki drugiej pochodnej 6 4 f 6 4 Ponieważ 6 4, pozostaje sprawdzić dla jakich spełniona jest nierówność Spr. 9 ; ; 6 4 f 6 4 ; ; 5 5 5 5 5 5... f - + - + f f Reasumując powyższe badanie można wyniki umieścić w tabeli i na tej podstawie naszkicować wykres funkcji.... f + - - - - - + f - - - + - + + + f f ma lokalne min lokalne f