Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
|
|
- Dominik Kwiecień
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład trzeci 1
2 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2
3 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie składa się z dwóch etapów: - wyboru przedziału izolacji; przedziału, w którym unkcja ciągła, na końcach tego przedziału ma różne znaki, czyli a b < 0, - zastosowania algorytmu iteracyjnego do wyszukiwania właściwego rozwiązania. Metody szukania przedziału [a, b]: - tabelka, - oszacowanie przedziału, w którym 1 = 2 3
4 Metody rozwiązywania równań nieliniowych Warunki gwarantujące znalezienie pierwiastka: 1. różne znaki unkcji na końcach przedziału a b 0 2. ciągłość unkcji w przedziale [a, b],, 3. istnienie pierwszej pochodnej, pochodna nie zmienia znaku w całym przedziale, unkcja jest gładka i monotoniczna, 4. druga pochodna ma stały znak w całym przedziale, tj. nie ma punktów przegięcia, przebieg unkcji albo wklęsły, albo wypukły. 4
5 Metody rozwiązywania równań nieliniowych Zakończenie procesu poszukiwania rozwiązania: - k +1 < δ, δ - zależy od poszukiwanej wartości, - zbieżność iteracji, czyli, k1 k ε - zależy od poszukiwanej wartości, - iteracja trwa zbyt długo, warunek k > k ma, koniec obliczeń, - wartości k+1 > k, nieprawidłowy algorytm. Wybór wartości 0. Metody: bisekcji, siecznych, regula alsi, stycznych, iteracji prostej. 5
6 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Metoda bisekcji metoda połowienia = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja przedziale a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek Należy znaleźć przedział a, b a b 0 jest ciągła na zadanym Ustalić liczby ε, δ 6
7 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Przebieg obliczeń: a a, b b 0 0 Ustalamy, że 0 a b pierwsza iteracja Sprawdzamy, czy 0, jeżeli TAK, to 0 jest rozwiązaniem * 0 7
8 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [a, 0 ] spełnia warunek a 0, 0 jeżeli TAK, to a 1 = a, b1 = 0 jeżeli NIE, to a, b = 1 = 0 1 b Następnie 1 a 1 2 b 1 druga iteracja Sprawdzamy, czy, 1 8
9 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja jeżeli TAK, to 1 jest rozwiązaniem * 1 jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [ a 1, 1 ] a, 1 1 spełnia warunek 0 jeżeli TAK, to a 2 = a1, b2 = 1 jeżeli NIE, to a 2 = 1, b2 = b1 Następnie 2 a 2 2 b 2 trzecia iteracja 9
10 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Sprawdzamy, czy, 2 jeżeli TAK, to 2 jest rozwiązaniem * 2. Jeżeli nie, to sprawdzamy. itd. Algorytm k a k 2 b k gdzie k = 0, 1, 2, 3,.. Zakończenie obliczeń k wtedy * k 10
11 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja 0 a 0 b 2 0 0, * 0 1 a b 1 1 1, 2 1 * b Ilustracja graiczna a 2 b 2 a 1 b 1 a b a 0 b a 2 < δ 2 = * 11
12 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Karta następstw START CZYTAJ: a, b, δ = 0 k = 0 k = a+b/2 TAK k <δ * = k NIE a k < 0 NIE STOP TAK b = k a = k k = k
13 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Przykład:
14 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 Lokalizacja przedziału [a, b] k 1. Tabelka Wykres unkcji Przedział [2, 3] 14
15 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Przedział [a, b] a = - 2 b = 15 a b < 0 Przedział [2, 3] a b Obliczamy: 2, pierwsza iteracja Sprawdzamy: 0 4,625 0, 1 2 2,5 3 2,25 Wybieramy przedział: 2 = - 2 2,5 = 4,625 3 = 15 a b , 5 Przedział: [2, 2,5] a 2, b 2, 5 Obliczamy: 2, Sprawdzamy: 2,25 = 0,89 0,89 0, 1 1 Wybieramy przedział: 2 = - 2 2,25 = 0,89 2,5 = 4,625 druga iteracja Przedział: [2, 2,25] a b , 25 2, b Obliczamy: 2 2, a, 2 15
16 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Sprawdzamy: 2,125 = - 0,82 2 0,82 0, 1 trzecia iteracja Wybieramy przedział: 2 = -2 2,125 = - 0,82 2,25 = 0,89 2 2,125 2,25 a 2, 3 3 Przedział: [2,125, 2,25], 125 b 2 25 a 2125, 2, Obliczamy: b 3, Sprawdzamy: 2,1875 = 0,09 3 0,09 0,1 Rozwiązanie: * 3 2,
17 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Metoda siecznych = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja przedziale a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek jest ciągła na zadanym a b 0 Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ 17
18 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Przebieg obliczeń: Wyznaczamy punkt przecięcia prostej siecznej przechodzącej przez punkty a, a i b, b z osią b b a 1 b b a a 1 Sprawdzamy, czy, 1 b Jeżeli TAK, to 1 jest rozwiązaniem * 1 Jeżeli NIE, to liczymy dalej, ale najpierw musimy określić, który z punktów będzie stanowił punkt odniesienia - punkt wykreślania kolejnych siecznych 18
19 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ustalenie 0 Jeżeli b to b 0 Jeżeli NIE, to a Wyznaczamy punkt przecięcia prostej siecznej przechodzącej przez punkty,,, z osią 19
20 Sprawdzamy, czy, 2 Jeżeli TAK, to 2 jest rozwiązaniem * 2 Jeżeli NIE, to liczymy dalej zgodnie z zależnością k k k k k k k k = 2, 3,, a b 1 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych
21 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Po każdej iteracji sprawdzamy, czy k 1 Koniec obliczeń, gdy k 1 Wtedy * k 1 21
22 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b 1 0 a b a 22
23 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych 1 b < 0 0 = b Ilustracja graiczna b 1 0 a 0 b a 1 < δ TAK koniec obliczeń 1 = * NIE liczymy dalej 23
24 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b a b 0 a 2 < δ TAK koniec obliczeń 2 = * NIE liczymy dalej 24
25 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b a b 3 0 a 3 < δ TAK koniec obliczeń 3 = * NIE liczymy dalej 25
26 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b 0 a b 0 a b b a 1 b b a k 1 k k k k k 1 k 1 k = 2, 3,, 26
27 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Przykład: 27
28 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji Przedział [2, 3] 28
29 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Przebieg obliczeń: Obliczamy: a = -2 b = 15 Wyznaczamy punkt przecięcia z osią 1 3 b b b a b a 3 0, , b Sprawdzamy, czy 0 0 2, = -0, , czyli < 0 więc b 29
30 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Sprawdzamy, czy 1, 2,1176 0, 7939 > 0,1 Liczymy dalej , 3 0, , 0, Sprawdzamy, czy 2, 2,159 = - 0,2542 0,2542 > 0,1 Liczymy dalej 30
31 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych , 21176, 0, , 0, , 739 Sprawdzamy, czy 3, 2,18 = 0, , < δ czyli, koniec obliczeń , jest przybliżonym rozwiązaniem równania ,18 * 31
32 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Metoda regula alsi = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek a b 0 jest ciągła na zadanym przedziale Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ 32
33 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Przebieg obliczeń: Wyznaczamy punkt przecięcia prostej przechodzącej przez punkty a, a i b, b z osią a 1 b b a 1 b b a b Jeżeli b to p b a Jeżeli NIE, to 0 a p b Sprawdzamy, czy, 1 Jeżeli TAK, to 1 jest rozwiązaniem * 1 33
34 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Jeżeli NIE, to k 1 k k k k p p k = 1, 2, 3, Koniec obliczeń, gdy k 1 wtedy k 1 * 34
35 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Ilustracja graiczna b 1 0 a b a 35
36 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Ilustracja graiczna 1 b < 0 0 = a p = b b a b p a 1 < δ TAK koniec obliczeń 1 = * NIE liczymy dalej 36
37 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi 1 b < 0 0 = a p = b Ilustracja graiczna b a b 3 p a 2 < δ TAK koniec obliczeń 2 = * NIE liczymy dalej 3 < δ TAK koniec obliczeń 3 = * 37
38 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Przykład
39 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji 2 6 Przedział [2, 3] 39
40 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Obliczamy: 2 = - 2 b = 15 Wyznaczamy punkt przecięcia z osią 1 b b b a b a , , pierwsza iteracja 1 b Sprawdzamy, czy 0 2, = - 0, , czyli < 0 p b 0 a czyli 40
41 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Sprawdzamy, czy b 0 Obliczamy: 1 2,1176 = - 0, 7939, czyli 0, 7939 > 0,1 1 1 p p 2,161 druga iteracja Sprawdzamy, czy 2, 2,161 = - 0,23 0, 23 > 0,1 Liczymy dalej 2 2 p p 2,173 trzecia iteracja Sprawdzamy, czy 3, 2,173 = - 0,0779 0, 0779 < 0, Warunek spełniony, więc, * 41
42 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Metoda stycznych = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek jest ciągła na zadanym przedziale a b 0 Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ Funkcja musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b] 42
43 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Przebieg obliczeń: Ustalamy, który z końców przedziału będzie traktowany jako 0 a lub 0 b 0 Spełniony musi być warunek '' Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego: k 1 k ' k k k = 0, 1, 2, Po każdej iteracji sprawdzamy, czy k 1 Koniec obliczeń, gdy k 1 wtedy * k 1 43
44 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych b b > 0 b = 0 Ilustracja graiczna X 0 X 2 X 1 1 < δ TAK kończymy obliczenia 1 = * NIE liczymy dalej 2 < δ TAK kończymy obliczenia 2 = * NIE liczymy dalej 44
45 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Przykład: 45
46 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji 2 6 Przedział [2, 3] 46
47 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych W przedziale [a, b] unkcja musi być ciągła, monotoniczna i mieć pierwszą i drugą pochodną Obliczamy: 2 = = 15 = = 6 a a= = - 24 warunek nie jest spełniony, b b= = > 0 warunek spełniony, czyli b 3 0 Obliczamy , '
48 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Sprawdzamy, czy 1 1, Liczymy dalej 1 3, 024 2, 4 2, ' 15, 28 1 Sprawdzamy, czy 2 2, Liczymy dalej 2 0, 273 2, , , 3 2 '
49 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Sprawdzamy, czy 3 3 0,06 3, 2175 jest przybliżonym rozwiązaniem równania ,175 * 49
50 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Metoda iteracji prostej = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek jest ciągła na zadanym przedziale a b 0 Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ Funkcja musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b] 50
51 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Przebieg obliczeń: Funkcję przekształcamy do postaci Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego F k F k 1 k = 0, 1, 2,.. Po każdej iteracji sprawdzamy, czy k 1 Obliczenia kończymy, gdy k 1 wtedy * k 1 Początek obliczeń a 0 2 b 51
52 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Warunek zbieżności: Jeżeli istnieje taki ułamek q, że F' q 1 dla a b to iteracja będzie zbieżna. 52
53 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Ilustracja graiczna Ilustracja graiczna F = F 0 a b < δ TAK kończymy obliczenia 1 = * NIE liczymy dalej 53
54 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Przykład: 54
55 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji 2 6 Przedział [2, 3] 55
56 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Należy unkcję = 0 przekształcić do postaci = F Propozycja 1 3 Sprawdzamy warunek zbieżności czyli F F' q 1 dla a b 3 2 F' 2 2 dla a = 2,5 F'2,5 = = 9,375 > 1 Warunek zbieżności nie jest spełniony Propozycja Sprawdzamy warunek zbieżności 3 czyli F 6 F' dla a = 2,5 F'2,5 = = 17,75 > Warunek zbieżności nie jest spełniony 56
57 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Propozycja czyli 3 F 2 6 Sprawdzamy warunek zbieżności F' dla a = 2,5 F'2,5 = = = 0,134 < Warunek spełniony 57
58 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Wykonujemy obliczenia kolejnych iteracji zgodnie z regułą iteracyjną 3 k 1 2 k 6 k = 0, 1, 2,. a b Obliczamy pierwszą iterację 2 5 0, Sprawdzamy 0,
59 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Liczymy dalej , Sprawdzamy 1, Liczymy dalej , , 2 1 Sprawdzamy 2, ,1859 jest przybliżonym rozwiązaniem równania ,1859 * 59
60 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zestawienie wyników Zestawienie wyników Metoda Wynik Liczba iteracji Bisekcja 2, Siecznych 2,18 3 Regula alsi 2,173 3 Stycznych 2,175 3 Iteracji prostej 2,
61 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zadanie domowe Zadania domowe 1. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości metodą bisekcji dla równania: = 0 w przedziale [2; 5]. 2. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości metodą siecznych dla równania: = 0 w przedziale [2; 5]. 3. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości metodą stycznych dla równania: = 0 dla 0 = Zaproponuj z uzasadnieniem przekształcenie unkcji = 0 na postać dogodną do rozwiązania metodą iteracji prostej. 61
62 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, pytania na kartkówkę 1. Metoda bisekcji założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 2. Metoda siecznych założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 3. Metoda iteracji prostej założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 4. Metoda stycznych założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 62
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Zagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Metody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Metody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Iteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Elementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 6 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 31 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1
Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Wstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów
Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków
Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
KADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie
Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem
FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.
Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.
1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.
Zadanie: 1) Dana jest funkcja y=-+7.nie wykonując wykresu podaj a) miejsce zerowe b)czy funkcja jest rosnąca czy malejąca(uzasadnij) c)jaka jest rzędna punktu przecięcia wykresu z osią y. ) Wykres funkcji
Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Wykład 5 Podstawowe techniki programownia w przykładach Janusz Szwabiński Plan wykładu: Metoda babilońska wyliczania pierwiastka Liczby pierwsze i sito Eratostenesa Metoda bisekcji
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
x y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO
PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO ZADANIA OPRACOWANE PRZEZ Agnieszkę Sumicką Katarzynę Hejmanowską
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów