Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Transkrypt

1 Wykład trzeci 1

2 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2

3 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie składa się z dwóch etapów: - wyboru przedziału izolacji; przedziału, w którym unkcja ciągła, na końcach tego przedziału ma różne znaki, czyli a b < 0, - zastosowania algorytmu iteracyjnego do wyszukiwania właściwego rozwiązania. Metody szukania przedziału [a, b]: - tabelka, - oszacowanie przedziału, w którym 1 = 2 3

4 Metody rozwiązywania równań nieliniowych Warunki gwarantujące znalezienie pierwiastka: 1. różne znaki unkcji na końcach przedziału a b 0 2. ciągłość unkcji w przedziale [a, b],, 3. istnienie pierwszej pochodnej, pochodna nie zmienia znaku w całym przedziale, unkcja jest gładka i monotoniczna, 4. druga pochodna ma stały znak w całym przedziale, tj. nie ma punktów przegięcia, przebieg unkcji albo wklęsły, albo wypukły. 4

5 Metody rozwiązywania równań nieliniowych Zakończenie procesu poszukiwania rozwiązania: - k +1 < δ, δ - zależy od poszukiwanej wartości, - zbieżność iteracji, czyli, k1 k ε - zależy od poszukiwanej wartości, - iteracja trwa zbyt długo, warunek k > k ma, koniec obliczeń, - wartości k+1 > k, nieprawidłowy algorytm. Wybór wartości 0. Metody: bisekcji, siecznych, regula alsi, stycznych, iteracji prostej. 5

6 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Metoda bisekcji metoda połowienia = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja przedziale a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek Należy znaleźć przedział a, b a b 0 jest ciągła na zadanym Ustalić liczby ε, δ 6

7 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Przebieg obliczeń: a a, b b 0 0 Ustalamy, że 0 a b pierwsza iteracja Sprawdzamy, czy 0, jeżeli TAK, to 0 jest rozwiązaniem * 0 7

8 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [a, 0 ] spełnia warunek a 0, 0 jeżeli TAK, to a 1 = a, b1 = 0 jeżeli NIE, to a, b = 1 = 0 1 b Następnie 1 a 1 2 b 1 druga iteracja Sprawdzamy, czy, 1 8

9 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja jeżeli TAK, to 1 jest rozwiązaniem * 1 jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [ a 1, 1 ] a, 1 1 spełnia warunek 0 jeżeli TAK, to a 2 = a1, b2 = 1 jeżeli NIE, to a 2 = 1, b2 = b1 Następnie 2 a 2 2 b 2 trzecia iteracja 9

10 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Sprawdzamy, czy, 2 jeżeli TAK, to 2 jest rozwiązaniem * 2. Jeżeli nie, to sprawdzamy. itd. Algorytm k a k 2 b k gdzie k = 0, 1, 2, 3,.. Zakończenie obliczeń k wtedy * k 10

11 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja 0 a 0 b 2 0 0, * 0 1 a b 1 1 1, 2 1 * b Ilustracja graiczna a 2 b 2 a 1 b 1 a b a 0 b a 2 < δ 2 = * 11

12 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Karta następstw START CZYTAJ: a, b, δ = 0 k = 0 k = a+b/2 TAK k <δ * = k NIE a k < 0 NIE STOP TAK b = k a = k k = k

13 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Przykład:

14 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 Lokalizacja przedziału [a, b] k 1. Tabelka Wykres unkcji Przedział [2, 3] 14

15 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Przedział [a, b] a = - 2 b = 15 a b < 0 Przedział [2, 3] a b Obliczamy: 2, pierwsza iteracja Sprawdzamy: 0 4,625 0, 1 2 2,5 3 2,25 Wybieramy przedział: 2 = - 2 2,5 = 4,625 3 = 15 a b , 5 Przedział: [2, 2,5] a 2, b 2, 5 Obliczamy: 2, Sprawdzamy: 2,25 = 0,89 0,89 0, 1 1 Wybieramy przedział: 2 = - 2 2,25 = 0,89 2,5 = 4,625 druga iteracja Przedział: [2, 2,25] a b , 25 2, b Obliczamy: 2 2, a, 2 15

16 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja Sprawdzamy: 2,125 = - 0,82 2 0,82 0, 1 trzecia iteracja Wybieramy przedział: 2 = -2 2,125 = - 0,82 2,25 = 0,89 2 2,125 2,25 a 2, 3 3 Przedział: [2,125, 2,25], 125 b 2 25 a 2125, 2, Obliczamy: b 3, Sprawdzamy: 2,1875 = 0,09 3 0,09 0,1 Rozwiązanie: * 3 2,

17 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Metoda siecznych = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja przedziale a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek jest ciągła na zadanym a b 0 Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ 17

18 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Przebieg obliczeń: Wyznaczamy punkt przecięcia prostej siecznej przechodzącej przez punkty a, a i b, b z osią b b a 1 b b a a 1 Sprawdzamy, czy, 1 b Jeżeli TAK, to 1 jest rozwiązaniem * 1 Jeżeli NIE, to liczymy dalej, ale najpierw musimy określić, który z punktów będzie stanowił punkt odniesienia - punkt wykreślania kolejnych siecznych 18

19 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ustalenie 0 Jeżeli b to b 0 Jeżeli NIE, to a Wyznaczamy punkt przecięcia prostej siecznej przechodzącej przez punkty,,, z osią 19

20 Sprawdzamy, czy, 2 Jeżeli TAK, to 2 jest rozwiązaniem * 2 Jeżeli NIE, to liczymy dalej zgodnie z zależnością k k k k k k k k = 2, 3,, a b 1 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych

21 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Po każdej iteracji sprawdzamy, czy k 1 Koniec obliczeń, gdy k 1 Wtedy * k 1 21

22 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b 1 0 a b a 22

23 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych 1 b < 0 0 = b Ilustracja graiczna b 1 0 a 0 b a 1 < δ TAK koniec obliczeń 1 = * NIE liczymy dalej 23

24 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b a b 0 a 2 < δ TAK koniec obliczeń 2 = * NIE liczymy dalej 24

25 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b a b 3 0 a 3 < δ TAK koniec obliczeń 3 = * NIE liczymy dalej 25

26 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Ilustracja graiczna b 0 a b 0 a b b a 1 b b a k 1 k k k k k 1 k 1 k = 2, 3,, 26

27 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Przykład: 27

28 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji Przedział [2, 3] 28

29 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Przebieg obliczeń: Obliczamy: a = -2 b = 15 Wyznaczamy punkt przecięcia z osią 1 3 b b b a b a 3 0, , b Sprawdzamy, czy 0 0 2, = -0, , czyli < 0 więc b 29

30 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych Sprawdzamy, czy 1, 2,1176 0, 7939 > 0,1 Liczymy dalej , 3 0, , 0, Sprawdzamy, czy 2, 2,159 = - 0,2542 0,2542 > 0,1 Liczymy dalej 30

31 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych , 21176, 0, , 0, , 739 Sprawdzamy, czy 3, 2,18 = 0, , < δ czyli, koniec obliczeń , jest przybliżonym rozwiązaniem równania ,18 * 31

32 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Metoda regula alsi = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek a b 0 jest ciągła na zadanym przedziale Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ 32

33 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Przebieg obliczeń: Wyznaczamy punkt przecięcia prostej przechodzącej przez punkty a, a i b, b z osią a 1 b b a 1 b b a b Jeżeli b to p b a Jeżeli NIE, to 0 a p b Sprawdzamy, czy, 1 Jeżeli TAK, to 1 jest rozwiązaniem * 1 33

34 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Jeżeli NIE, to k 1 k k k k p p k = 1, 2, 3, Koniec obliczeń, gdy k 1 wtedy k 1 * 34

35 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Ilustracja graiczna b 1 0 a b a 35

36 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Ilustracja graiczna 1 b < 0 0 = a p = b b a b p a 1 < δ TAK koniec obliczeń 1 = * NIE liczymy dalej 36

37 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi 1 b < 0 0 = a p = b Ilustracja graiczna b a b 3 p a 2 < δ TAK koniec obliczeń 2 = * NIE liczymy dalej 3 < δ TAK koniec obliczeń 3 = * 37

38 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Przykład

39 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji 2 6 Przedział [2, 3] 39

40 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Obliczamy: 2 = - 2 b = 15 Wyznaczamy punkt przecięcia z osią 1 b b b a b a , , pierwsza iteracja 1 b Sprawdzamy, czy 0 2, = - 0, , czyli < 0 p b 0 a czyli 40

41 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula alsi Sprawdzamy, czy b 0 Obliczamy: 1 2,1176 = - 0, 7939, czyli 0, 7939 > 0,1 1 1 p p 2,161 druga iteracja Sprawdzamy, czy 2, 2,161 = - 0,23 0, 23 > 0,1 Liczymy dalej 2 2 p p 2,173 trzecia iteracja Sprawdzamy, czy 3, 2,173 = - 0,0779 0, 0779 < 0, Warunek spełniony, więc, * 41

42 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Metoda stycznych = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek jest ciągła na zadanym przedziale a b 0 Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ Funkcja musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b] 42

43 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Przebieg obliczeń: Ustalamy, który z końców przedziału będzie traktowany jako 0 a lub 0 b 0 Spełniony musi być warunek '' Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego: k 1 k ' k k k = 0, 1, 2, Po każdej iteracji sprawdzamy, czy k 1 Koniec obliczeń, gdy k 1 wtedy * k 1 43

44 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych b b > 0 b = 0 Ilustracja graiczna X 0 X 2 X 1 1 < δ TAK kończymy obliczenia 1 = * NIE liczymy dalej 2 < δ TAK kończymy obliczenia 2 = * NIE liczymy dalej 44

45 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Przykład: 45

46 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji 2 6 Przedział [2, 3] 46

47 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych W przedziale [a, b] unkcja musi być ciągła, monotoniczna i mieć pierwszą i drugą pochodną Obliczamy: 2 = = 15 = = 6 a a= = - 24 warunek nie jest spełniony, b b= = > 0 warunek spełniony, czyli b 3 0 Obliczamy , '

48 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Sprawdzamy, czy 1 1, Liczymy dalej 1 3, 024 2, 4 2, ' 15, 28 1 Sprawdzamy, czy 2 2, Liczymy dalej 2 0, 273 2, , , 3 2 '

49 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych Sprawdzamy, czy 3 3 0,06 3, 2175 jest przybliżonym rozwiązaniem równania ,175 * 49

50 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Metoda iteracji prostej = 0 1 Zakłada się, że występująca w równaniu 1 unkcja a, b i spełnia w punktach krańcowych warunek jest ciągła na zadanym przedziale a b 0 Należy znaleźć przedział a, b Ustalić liczby ε, δ Funkcja musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b] 50

51 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Przebieg obliczeń: Funkcję przekształcamy do postaci Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego F k F k 1 k = 0, 1, 2,.. Po każdej iteracji sprawdzamy, czy k 1 Obliczenia kończymy, gdy k 1 wtedy * k 1 Początek obliczeń a 0 2 b 51

52 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Warunek zbieżności: Jeżeli istnieje taki ułamek q, że F' q 1 dla a b to iteracja będzie zbieżna. 52

53 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Ilustracja graiczna Ilustracja graiczna F = F 0 a b < δ TAK kończymy obliczenia 1 = * NIE liczymy dalej 53

54 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Przykład: 54

55 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej 3 Należy rozwiązać równanie Obliczenia należy zakończyć, gdy 0, 1 k Lokalizacja przedziału [a, b] 1. Tabelka Wykres unkcji 2 6 Przedział [2, 3] 55

56 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Należy unkcję = 0 przekształcić do postaci = F Propozycja 1 3 Sprawdzamy warunek zbieżności czyli F F' q 1 dla a b 3 2 F' 2 2 dla a = 2,5 F'2,5 = = 9,375 > 1 Warunek zbieżności nie jest spełniony Propozycja Sprawdzamy warunek zbieżności 3 czyli F 6 F' dla a = 2,5 F'2,5 = = 17,75 > Warunek zbieżności nie jest spełniony 56

57 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Propozycja czyli 3 F 2 6 Sprawdzamy warunek zbieżności F' dla a = 2,5 F'2,5 = = = 0,134 < Warunek spełniony 57

58 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Wykonujemy obliczenia kolejnych iteracji zgodnie z regułą iteracyjną 3 k 1 2 k 6 k = 0, 1, 2,. a b Obliczamy pierwszą iterację 2 5 0, Sprawdzamy 0,

59 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej Liczymy dalej , Sprawdzamy 1, Liczymy dalej , , 2 1 Sprawdzamy 2, ,1859 jest przybliżonym rozwiązaniem równania ,1859 * 59

60 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zestawienie wyników Zestawienie wyników Metoda Wynik Liczba iteracji Bisekcja 2, Siecznych 2,18 3 Regula alsi 2,173 3 Stycznych 2,175 3 Iteracji prostej 2,

61 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zadanie domowe Zadania domowe 1. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości metodą bisekcji dla równania: = 0 w przedziale [2; 5]. 2. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości metodą siecznych dla równania: = 0 w przedziale [2; 5]. 3. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości metodą stycznych dla równania: = 0 dla 0 = Zaproponuj z uzasadnieniem przekształcenie unkcji = 0 na postać dogodną do rozwiązania metodą iteracji prostej. 61

62 Metody rozwiązywania równań nieliniowych, pytania na kartkówkę 1. Metoda bisekcji założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 2. Metoda siecznych założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 3. Metoda iteracji prostej założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 4. Metoda stycznych założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji. 62