Wykład FIZYKA I. 8. Grawitacja. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Transkrypt

1 Wykład FIZYKA I 8. Gawitacja D hab. inż. Władysław Atu Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wocławskiej

2 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Wzajemne pzyciąganie się ciał jest źódłem jednej z podstawowych sił w fizyce sił pzyciągania, któe podlegają pawu powszechnego ciążenia (gawitacji). Pawo to podał Isaac Newton (1687; piewsze obsewacje już od 1655): F G m m Między każdymi dwoma punktami mateialnymi działa siła wzajemnego pzyciągania, wpost popocjonalna do iloczynu mas tych punktów (m 1 i m ) a odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości między nimi. W postaci wektoowej pawo to można zapisać jako: F 1 1 to siła, z jaką punkt działa na punkt 1, wodzący, łączący punkt dugi z piewszym. 1 to pomień F 1 1 F m m 1 1 G m 1 m

3 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) G 11 6,6710 Nm kg Współczynnik to stała gawitacji, wyznaczona po az piewszy doświadczalnie w pzez Heny`ego Cavendisha pzy użyciu tzw. wagi skęceń. (długie, cienkie włókno kwacowe, ołowiane kule) Pomia Richadsa z 1898

4 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Cięża ciała (inaczej: siła ciążenia) siła pzyciągania, jaka działa na dane ciało ze stony innego ciała (na pzykład Ziemi ). W pobliżu Ziemi będzie ona ówna: P mg gdzie g oznacza tzw. pzyspieszenie ziemskie ówne: M Z to masa Ziemi, R Z to jej pomień. M g G R Cięża pozony to wskazanie wagi spężynowej, na któej ważymy ciało (miaa siły, któa na niego działa, a któą ono z kolei działa na wagę). W pzypadku ciał pouszających się z pewnym pzyspieszeniem, cięża pozony to wypadkowa suma sił wynikających z pzyciągania pzez inną masę (np. Ziemię) i sił bezwładności, wynikających z uchu z tym pzyspieszeniem. Cięża fizjologiczny jest popocjonalny do siły, jaką działa ciecz na zakończeniu newów w półkolistych kanałach ucha wewnętznego... (ile wysiłku tzeba włożyć w uniesienie np. głowy lub amienia). Z Z

5 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Siła gawitacji jest popocjonalna do masy ciała jako miay liczebności mateii (np. liczby nukleonów w jądze) i moglibyśmy ją wobec tego nazwać masą gawitacyjną. Czy jest to ta sama masa, któa występuje w zasadach dynamiki, a któą nazwijmy masą bezwładną? m m1 Oznaczmy masę gawitacyjną ciała pzez a jego masę bezładną pzez. Wtedy masa bezwładna, spadająca swobodnie w pobliżu Ziemi osiągnie pzyspieszenie : a 1 m 1 a 1 1' M Z ' m1 ' G R Podobne ównanie możemy napisać dla innego ciała o masie ównania stonami, otzymamy: m1a m a Z. Dzieląc Czyli: jeśli wszystkie ciała spadają z jednakowym pzyspieszeniem, to oba pojęcia mas są ównoważne (obie masy są ówne). 1 m m 1 ' ' m

6 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Póby zbadania zależności między masą bezwładną a gawitacyjną: - Newton stwiedził ówność pzyspieszeń z dokładnością do 1/1000; Roland Eötvös stwiedził to z dokładnością do 10 8 ; R. Dicke (Univesity of Pinceton, USA): Wyniki tych pomiaów sugeują, że dla wszystkich substancji masa gawitacyjna jest ówna masie bezwładnej > zasada ównoważności podstawowe pawo pzyody, opieające się na wynikach doświadczeń. Konsekwencją tej zasady jest niemożność ozóżnienia pzyspieszenia gawitacyjnego od pzyspieszenia np. całego laboatoium, w któym odbywałyby się pomiay punkt wyjścia do ogólnej teoii względności Einsteina. Również kwestia wykładnika w potędze odległości (R - ) jest zagadnieniem, któe stanowi stały pzedmiot pomiaów.

7 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Zagadnienie obliczenia sił wzajemnego pzyciągania dwóch ciał o dowolnych ozmiaach i kształtach (o dowolnym ozkładzie masy): - ozbijamy ciała na wielką liczbę cząsteczek tak małych, aby można je było potaktować jako punkty mateialne; - sumujemy (wektoowo!) wszystkie siły pzyciągania, działające na dany punkt jednego ciała ze stony punktów dugiego ciała; - sumujemy siły działające na każdy punkt danego ciała aby otzymać wypadkową siłę, działającą na całe ciało. F G m i i1 k1 W pzypadku ciał o ciągłym ozkładzie masy, należy zastosować oczywiście całkowanie zamiast sumowania. n N m k 3 ik ik Newton w swych ozważaniach zakładał, że Ziemię można potaktować tak, jakby cała masa była skupiona w jej śodku, ale udowodnił to dopieo 0 lat później (stąd ozbieżności w podawanych datach odkycia pawa powszechnego ciążenia i stąd opacowanie pzez niego podstaw achunku całkowego!).

8 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Pole gawitacyjne to póba opisu wzajemnego oddziaływania ciał (na wskutek istnienia sił wzajemnego pzyciągania) popzez pewną wielkość wektoową, niezależną od ciała, któe to pole wytwaza. Jest to inaczej pzyspieszenie gawitacyjne w funkcji położenia. Można wtedy obliczyć siłę F, działającą na daną masę m, jako: F mg gdzie g jest natężeniem pola gawitacyjnego, chaakteyzującym siły pola gawitacyjnego. Pole nazywamy jednoodnym, jeśli natężenie we wszystkich jego punktach jest jednakowe. Pole nazywamy centalnym, jeżeli we wszystkich jego punktach wektoy natężenia skieowane są wzdłuż postych, pzecinających się w jednym punkcie, nieuchomym względem dowolnego układu inecjalnego (punkt ten nazywamy śodkiem sił). Pole centalne nazywamy kulisto-symetycznym, jeśli liczbowa watość wektoa natężenia pola zależy tylko od odległości od śodka sił.

9 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Zasada supepozycji pól (nakładania się pól): pzy nałożeniu się kilku pól (np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego ówna się sumie wektoowej natężeń wszystkich tych pól. Pola chaakteyzuje się ównież pewną wielkością skalaną, zwaną potencjałem pola. Równy jest on stosunkowi enegii potencjalnej punktu mateialnego do jego masy: W pzypadku pola gawitacyjnego pojedynczego punktu mateialnego o masie m, potencjał tego pola wyaża się wzoem: V g V E p m Gm Związek pomiędzy natężeniem pola i jego potencjałem: g gad V g

10 CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA) Pole gawitacyjne wewnątz i na zewnątz jednoodnej kuli: - pole gawitacyjne na zewnątz pustej czaszy kulistej (bądź pełnej kuli) o masie M i pomieniu R: g GM R - pole wewnątz tejże czaszy: g 0 - pole wewnątz jednoodnej kuli o gęstości : g 4 M G G 3 R R Pzykład: pole gawitacyjne Ziemi

11 PRAWA KEPLERA Nauki Aystotelesa i Ptolemeusza: wszystkie planety i gwiazdy pouszają się wokół Ziemi po skomplikowanych toach (będących supepozycjami uchów po okęgach); Mikołaj Kopenik (1540): planety kążą wokół Słońca, Księżyc wokół Ziemi. Giodano Buno - zwolennik teoii heliocentycznej Kopenika -> stos (1600). Galileusz (ównież pzełom XVI i XVII wieku): odwołał publicznie swoje teoie w obawie pzed stosem.

12 PRAWA KEPLERA Johannes Keple (kozystając z obsewacji Tycho Bache) podał wypowadzone empiycznie pawa uchu planet pawa te można wypowadzić z pawa powszechnego ciążenia Newtona. Tycho Bahe (właśc. Tyge Ottesen Bahe, także (mylnie) Tycho de Bahe; u. 14 gudnia w zamku Knutstop w Skanii zm. 4 paździenika w Padze) Johannes Keple (u. 7 gudnia w Weil de Stadt, zm. 15 listopada w Ratyzbonie)

13 PRAWA KEPLERA Piewsze pawo Keplea: Każda planeta kąży po obicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy. Dugie pawo Keplea (pawo ównych pól): Linia łącząca Słońce i planetę zakeśla ówne pola w ównych odstępach czasu. Tzecie pawo Keplea: Sześciany półosi wielkich obit jakichkolwiek dwóch planet mają się tak do siebie, jak kwadaty ich okesów obiegu: 3 a1 T1 3 a T

14 PRAWA KEPLERA Rozpatzmy uch ciała w polu sił centalnych: F F Moment siły F względem śodka pola jest ówny zeu: F M F 0 dlatego moment pędu tego ciała względem śodka pola jest zachowany: K mv const Stąd z kolei wynika, że w centalnym polu sił to uchu tego ciała jest kzywą płaską (płaszczyzna, zawieająca wektoy położenia i pędkości v nie zmienia swej oientacji względem śodka pola).

15 PRAWA KEPLERA Skoo kzywa uchu jest kzywą płaską, położenie punktu w pzestzeni okeślimy we współzędnych biegunowych,, a pędkość ozłożymy na postopadłe składowe: adialną i tanswesalną (popzeczną) : v v v Moment pędu układu zależy tylko od pędkości popzecznej: K v v v v d dt d dt mv const Watość momentu pędu jest ówna: K m d dt const

16 PRAWA KEPLERA Pomień wodzący zakeśla pzy swoim obocie o mały kąt w czasie wycinek kołowy, któego pole jest ówne: v p stąd wielkość : v p da dt 1 d dt da 1 d d dt nazywamy pędkością polową (wycinkową). Bioąc pod uwagę powyższą definicję i zasadę zachowania momentu pędu, otzymujemy: v p K m const Pzy uchu ciała w polu siły centalnej jego pędkość polowa (ozumiana jako pole zakeślane pzez pomień wodzący w jednostce czasu) jest stała. (II pawo Keplea)

17 PRAWA KEPLERA Aby wypowadzić I i III pawo Keplea, skozystajmy z zasady zachowania momentu pędu (była) i zasady zachowania enegii: E E k E p const E k mv m d d m d K dt dt dt m skąd otzymujemy: d dt m E E p K m d dt K m a ponieważ: d więc ostatecznie: K E K d m E p

18 PRAWA KEPLERA Aby ozwiązać podane ównanie tajektoii uchu, musimy podstawić konketne wyażenie na enegię potencjalną, któa w pzypadku pola gawitacyjnego ma postać: E p gdzie: Ostateczne ozwiązanie można pzedstawić w postaci: GMm p 1 ecos gdzie: p K EK e 1 m m

19 PRAWA KEPLERA p 1 ecos K p m e EK m 1 To uchu (obita), jest kzywą dugiego stopnia (kzywą stożkową), pzy czym p jest jej paametem ogniskowym a e - mimośodem. W zależności od tego, jaka jest enegia całkowita ciała, możliwe są następujące ozwiązania ównania tou (tajektoii): dla E<0 (czyli e<1) jest to obita eliptyczna; dla E=0 (e=1) jest to obita paaboliczna; dla E>0 (e>1) jest to obita hipeboliczna; dla K=0 (e=1, p=0) jest to to postoliniowy, pzechodzący pzez śodek pola.

20 PRAWA KEPLERA Dla planet, pouszających się w polu gawitacyjnym Słońca: E 0 a więc toami uchu planet są elipsy (I pawo Keplea). Wtedy ównież można wypowadzić wzó na okes T obiegu planety po tej elipsie: T GM 4 gdzie a jest dużą osią elipsy. Stąd otzymujemy III pawo Keplea. a 3

21 PRĘDKOŚCI KOSMICZNE Piewszą pędkością kosmiczną (pędkością kołową) dla Ziemi nazywamy pędkość, któą powinien mieć satelita Ziemi, obiegający ją po obicie kołowej. Znajdziemy ją z zasady zachowania enegii: - całkowita enegia satelity na obicie kołowej (e=0): - enegia kinetyczna satelity: - enegia potencjalna satelity: mv E k E p E GMm stąd: v I GM pzy powiezchni Ziemi: vi gz RZ 7,9 km/ s

22 PRĘDKOŚCI KOSMICZNE Dugą pędkością kosmiczną (pędkością paaboliczną) dla Ziemi nazywamy pędkość, któą tzeba nadać ciału, aby jego obita w polu gawitacyjnym stała się paaboliczna to znaczy, aby ciało mogło pokonać pzyciąganie ziemskie i stać się satelitą Słońca (lot na inne planety). Znajdziemy ją z zasady zachowania enegii: - całkowita enegia satelity na obicie kołowej (e=1): - enegia kinetyczna i potencjalna: jak popzednio E 0 mv E k E p a stąd: GM v II v I pzy powiezchni Ziemi: vii gz RZ 11, km/ s