v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.

Transkrypt

1 Dynamika bryły sztywnej.. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności Na cząstkę o masie kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j działa siła F 3i 4j. Wyznacz wektora momentu tej siły względem początku układu współrzędnych. 17. Cząstka o masie kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j ma prędkość v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych Wektor położenia cząstki o masie kg ma postać: r 3i 4j. Wartość wektora prędkości cząstki wynosi 0 m/s, natomiast wartość momentu pędu względem początku układu współrzędnych tej cząstki wynosi 100 kgm /s. Wyznacz kąt pomiędzy kierunkiem wektora położenia i prędkości Punkt materialny o masie kg porusza się ruchem jednostajnym z prędkością m/s -1 po okręgu promieniu 0 cm. Wyznacz wartość momentu siły dośrodkowej względem środka okręgu Bryłę sztywną tworzy kula o promieniu R i masie M, na której wierzchołku postawiono pionowo pręt o długości L i masie m. Posługując się momentami bezwładności M/(5R ) kuli względem osi przechodzącej przez jej środek oraz momentem bezwładności Ml /1 pręta względem jego osi środkowej wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez: punkt a) styku kuli z podstawą; b) styku kuli z prętem; c) koniec pręta Pokazać, że moment bezwładności dowolnego ciała o masie M względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności cienkiej obręczy o masie M i promieniu (/M) 1/ U sufitu wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się z sufitem: kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie:

2 kuli, sfery, walca, cienkiej obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość R. Która z tych brył ma względem osi obrotu największy/najmniejszy moment bezwładności? 178. Bryłę sztywną tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy o długości L połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok). Wyznaczyć momenty bezwładności tej bryły względem osi obrotu A, B i C zaznaczonych na rysunku. Ws-ka: skorzystać z twierdzenia Steinera. Względem, której z tych osi bryła ta ma 179. Cienki, jednorodny pręt o masie m i długości l obraca się wokół prostopadłej do niego osi. Gdy oś przechodzi przez koniec pręta, to moment bezwładności wynosi ml /3. Korzystając z twierdzenia Steinera wyznacz jego moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek pręta i do niego prostopadłej. 179b. Sztywna konstrukcja (patrz rysunek obok) składa się z kwadratu o boku a połączonego z cienką obręczą o promieniu R. Jednostka długości materiału kwadratu i obręczy ma gęstość liniową λ (jednostką λ jest kg/m). Wyznaczyć moment bezwładności pokazanej obok na rysunku konstrukcji obracającej się względem osi zaznaczonej linią przerywaną.

3 . Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego 180. Koło zamachowe wykonuje początkowo 10 obrotów na sekundę. Po przyłożeniu stałego momentu hamującego koło to zatrzymuje się po 10 s. Jaka jest bezwzględna wartość przyspieszenia kątowego w tym ruchu? 181. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi będącej jego osią symetrii. Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi, a jego energia kinetyczna E k. Wyznacz jego moment pędu. 18. le wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez poślizgu po poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s? 183. Przypuśćmy, że bryła z zadania 8. była nieruchoma i znajdowała się w płaszczyźnie poziomej, a następnie, pod wpływem momentów sił ciężkości, zaczęła opadać obracając się wokół stałej poziomej osi A. le wynosi prędkość kątowa tej bryły w momencie, gdy znajduje się w płaszczyźnie pionowej? 184. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności wirujące z prędkością kątową a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej powierzchni? 185. Kula i walec o jednakowych promieniach i masach staczają się bez poślizgu po równi pochyłej z wysokości h. Które z ciał będzie miało większą prędkość u jej końca? 186. Moment siły o wartości 40 N m nadaje kołu obracającemu się dookoła osi przechodzącej przez jego środek przyspieszenie kątowe 10 rad/s. Wyznacz moment bezwładności koła.

4 187. Do obwodu koła rowerowego o masie m przyłożono stałą siłę styczną F i wprawiono je w ruch obrotowy wokół nieruchomej osi. Koło rowerowe należy rozpatrywać jako cienkościenną obręcz o momencie bezwładności działania siły? m R. le wynosi energia kinetyczna koła po upływie czasu t od rozpoczęcia 188. Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Wiedząc, że moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej przez jego koniec jest równy ml /3, wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w chwili uderzenia o ziemię Ciało obraca się z prędkością kątową 6 rad/s wokół sztywno zamocowanej osi. Jego moment bezwładności względem osi obrotu wynosi 0 kg m. le wynosi jego energia kinetyczna? 190. Podczas odbicia się skoczka do wody od trampoliny prędkość kątowa jego obrotu wokół środka masy wzrasta od zera do 6, rad/s w czasie 0 ms. Obliczyć wartości: a) średniego przyspieszenia kątowego skoczka, b) średniego momentu siły, działającego na niego ze strony trampoliny, jeśli moment bezwładności skoczka względem jego środka masy wynosi 10 kg m Koło rozpędowe o momencie bezwładności i promieniu R wiruje z prędkością kątową 0. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f. Z jaką siłą należy przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby zatrzymać je po upływie czasu t? R, 0 F T 19. Jednorodna sfera o masie M, promieniu R może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi (patrz rysunek obok). Linka o znikomo małej masie jest owinięta wokół sfery w płaszczyźnie równikowej a następnie przełożona przez krążek o momencie bezwładności oraz promieniu r, do której końca jest podczepiona masa m. Krążek obraca się bez tarcia, a linka nie ślizga się po nim. Jaka będzie prędkość m, gdy przebędzie drogę h? le wynosi przyspieszenie masy m podczas ruchu?

5 Autorki rozwiązań ; Za dr E. Pieciul Zad dr S.Szarska Rzad171 M r F (5, 7, 0) (3, 4, 0) (0, 0, ) 0 1 kˆ k ˆ RZad17 J r p m r v 35 4 kˆ 14k ˆ RZad173 J m r v J sin sin 30 m r v 5 0 o RZad174 M r F 0 bo siła dośrodkowa jest równoległa do promienia. RZad175 m- masa pręta, M- masa kuli, R- promień kuli, L- długość pręta a) b) c) 1 1 = MR +MR + ml +m(r + L) = MR +MR + ml = ml MR +M(L+R) 3 5 RZad176 element długości obręczy wycięty małym kątem d wynosidl Rd odpowiadająca mu masa M M M dm dl Rd d R R

6 z definicji momentu bezwładności otrzymujemy: R dm R ( M / ) d R ( M / ) d R ( M / ) MR 0 0 wynik jak dla masy punktowej M w odległości R od osi obrotu. RZad177 Kula Sfera Walec 7 = MR +MR MR = MR +MR MR = MR +MR MR Obręcz =MR +MR MR dla osi prostopadłej do obręczy największy Obręcz Tarcza Tarcza 1 = MR +MR MR 1 3 = MR +MR MR 1 5 = MR +MR MR 4 4 dla osi równoległej do płaszczyzny obręczy dla osi prostopadłej do tarczy jak dla walca dla osi równoległej do płaszczyzny tarczy Pręt 1 R 1 = MR +M MR 1 3 najmniejszy RZad178 A. B. C. 1 4 = ML +ML ML największy = ML + ML ML najmniejszy L = ML + ML M ML 3 3 1

7 RZad179 L ml m ml 3 1 RZad179b 1 1 a a a a R R R R 3 RZad180 k p f 10 rad rad t t 10 s s RZad181 L Ek L E k RZad18 1 v mr mv mv r 3 3 Ek mv ,5 J 4 4 RZad183 =(1/3)ml +ml =(4/3)ml =(3/) g / l RZad184 E k =( )/ E p =mgl +(1/)mgl E k =E p a) W= E k+ E p E p=0 b) W= W= - wynika z tego r mv 3 Eko E r kp

8 RZad185 mgh v r mv mv mgh v m r Dla kuli mr v gh 1 4 Dla walca mr v gh 3 RZad186 M 40 M 4 kg m 10 RZad187 M r F Mdt dl E k L r F t F t mr m RZad188 L v p k k p E mg E E E 0 v 3gL L RZad189 E k 360 J RZad190 t,8 rad / s M 8 Nm

9 RZad191 Korzystamy z definicji momentu siły działającej na klocek. Koło hamuje w wyniku działania siły tarcia. M=ε R, 0 F M=RTsinα T Kat pomiędzy wektorem siły tarcia promieniem tarczy wynosi 90, a wiec sinα=1 Siła tarcia jest równa współczynnikowi tarcia razy siła nacisku. Siłą nacisku w tym zadaniu jest szukana siła F. T=f F Ponieważ prędkość końcowa koła wynosi zero, więc przyspieszenie kątowe (opóźnienie): 0 t t 0 RfT F 0 RfT RZad19 Korzystamy z zasady dynamiki ruchu postępowego (masa m) oraz zasady dynamiki ruchu obrotowego (krążek i sfera): ma=mg-n; N=mg-ma Na ciało m działa siła ciężkości skierowana w dół oraz siła naciągu linki N skierowana w górę. Przyjmujemy, ze wypadkowa siła jest skierowana w dół.

10 Na linkę znajdującą się na obwodzie krążka działa siła naciągu N skierowana w dół równa co do wartości sile działającej na linę przyczepioną do masy m. Druga siła naciągu N 1 działa poziomo i jest skierowana w stronę sfery: Krążek ε=nr-n 1 r Sfera s ε s =N 1 R; s =/3MR ; ε=a/r, stąd N 1 =/3Ma Podstawiając do równania dla krążka siłę naciągu N, N 1 oraz ε=a/r otrzymujemy: a r mg M 3 m Aby obliczyć prędkość masy m po przebyciu drogi h skorzystamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym: h=1/at ; a=v/t; v= ah v r mgh M 3 m