XXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1

Transkrypt

1 XXX OLMPADA FZYCZNA (1980/1981). Stopień, zadanie teoetyczne T4 1 Źódło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldema Gozowsi; Andzej Kotlici: Fizya w Szole, n 3, 1981.; Andzej Nadolny, Kystyna Pniewsa: Olimpiada Fizyczna XXX XXX. WSiP, Waszawa 1986, st Nazwa zadania: Działy: Słowa luczowe: Analiza uchu z ówni pochyłej uli z taciem tocznym Mechania, dynamia siła, tacie, toczne, posuwiste, poślizg, toczenie, współczynni, nacis, moment, bezwładności, pędość, pzyspieszenie, ąt, pomień, ula, ównia, pochyła, obót. Zadanie 4 teoetyczne T4, zawody stopnia, XXX OF 1 Na ówni o ącie nachylenia znajduje się ula o pomieniu. Współczynni tacia posuwistego uli o ównię wynosi f, natomiast współczynni tacia potoczystego jest ówny. Początowo ula jest nieuchoma ulę pzytzymujemy. Opisz uch uli po jej zwolnieniu w pzypadu, gdy < f. Ja pędość ątowa i liniowa uli zależą od czasu? Pzedysutuj wynii. Rozwiązanie Tacie toczne jest odpowiedzialne za opoy utudniające toczenie walca lub uli po płaszczyźnie. Współczynni tego tacia oeśla się jao stosune watości momentu siły M do watości siły N docisającej walec lub ulę do płaszczyzny: M. N Ja widać, współczynni tacia tocznego ma wymia długości. W pzypadu uli o masie m umieszczonej na ówni o ącie nachylenia (ys. 1 a) siła nacisu N ma watość N mgcos (g pzyspieszenie ziemsie). Moment tacia tocznego (potoczystego) M, tóy działa na ulę w ieunu pzedstawionym stzałą na ys. 1b jest ówny M mg cos. (1) Ponadto na ulę działa siła tacia posuwistego T, pzyłożona do uli w puncie styu z ównią i sieowana wzdłuż ówni u góze. Watość tej siły wynosi T f mg cos. () Równanie (1) dotyczy sytuacji, w tóej zachodzi staczanie się uli, natomiast ównanie () jest spełnione podczas poślizgu uli. 1 Poównaj zadania o podobnej tematyce z olimpiad: XX OF, st. zad. T1: Ruch uli na ówni bez poślizgu; XX OF, st. zad. T3: Pędość uli staczającej się z ówni pochyłej; XX OF, st. zad. dośw.: Wyznaczanie współczynnia tacia uli stalowej o szło; V Międzynaodowa Olimpiada Fizyczna zad. T1: Ruch walców staczających się z ówni; XXV OF, st. zad. dośw. (dodatowe): Wyznaczanie współczynnia tacia posuwistego ui o ównię; XXV OF, st. zad. T1: Ruch uli z ówni z uwzględnieniem tacia potoczystego i posuwistego; XXV OF, st. zad. T: Opis uchu uli po poziomym stole z uwzględnieniem tacia posuwistego i potoczystego; XXX OF; st. wstępny zad. dośw. D1: Wyznaczanie współczynnia statycznego tacia potoczystego stali o szło. Opac. T.M.Molenda, F US, 011-1/5 -

2 Podczas spoczynu watości M i T są jedynie oganiczone od góy M mg cos, (3) T f mg cos. (4) mgsin N mg Rys. 1 a. Zaznaczono dwie siły działające na ulę znajdującą się na ówni pochyłej, pzyłożone do śoda uli: cięża uli o watości mg i siła spężystości ówni postopadła do podłoża ówni sieowana do góy o watości mgcosα (tj. siła eacji na siłę nacisu N uli na podłoże o watości N = mgcosα). Wypadowa tych dwóch sił jest siłą zsuwającą ównoległą do ówni sieowaną w dół ówni o watości mgsinα. Tzecią siłą działającą na ulę jest siła tacia posuwistego T pzyłożona do puntu styczności uli z podłożem ówni (ys. 1 b). T M Rys. 1 b. Na ulę działa siła tacia posuwistego T pzyłożona do puntu styczności uli z podłożem ówni i sieowana wzdłuż ówni u góze oaz moment tacia tocznego pzeciwny do obotu toczącej się uli w ieunu pzedstawionym stzałą (łu) na ys. Wzó (3) obowiązuje ównież podczas poślizgu bez toczenia, natomiast wzó (4) podczas staczania się uli bez poślizgu. Aby nie ompliować, pzyjęto te same współczynnii i f, co dla uchu. W ogólności współczynnii tacia mają óżne watości w spoczynu i w uchu. Rozważmy najpiew sytuację, iedy ula będzie pozostawała na ówni w spoczynu pomimo zapzestania działania sił pzytzymujących ja. Siła tacia T w tej sytuacji ównoważy ównoległą do ówni sładową siły ciężości uli T mg sin. (5) Ponieważ jedna punty pzyłożenia obu tych sił nie są identyczne siła T pzyłożona jest w puncie styu uli z podłożem, siła ciężości zaś w śodu uli wyniiem istnienia Opac. T.M.Molenda, F US, /5 -

3 tych sił jest działający na ulę moment siły ówny mgsin (ten moment siły można tatować na pzyład jao moment siły ciężości uli względem puntu podpacia lub też jao moment siły tacia względem śoda uli). Omawiany moment siły jest z olei ównoważony pzez moment tacia tocznego, a więc Z poównania wzoów (3), (6) oaz (4) i (5)wynia, że M mg sin. (6) mg sin mg cos mg sin f mg cos a stąd wauni na pozostawanie uli w spoczynu są następujące: oaz tg / (7) tg f. (8) Zgodnie z waunami zadania / < f. Pzy spełnieniu waunu (7) waune (8) jest więc zawsze spełniony. Wauniem pozostawania uli w spoczynu jest zatem nieówność (7), czyli ula znajduje się w spoczynu dla ątów actg ( / ). Rozpatzmy teaz ąty więsze od actg ( / ). Zapytamy najpiew, czy możliwe jest zsuwanie się uli bez obotu. Oznacza to óżną od zea pędość v śoda uli pzy zeowej pędości ątowej. Siła tacia w tym pzypadu jest oeślona wzoem (). Moment tej siły względem śoda uli wynosi M T f mg sin. (9) Aby ula się nie obacała, moment ten musi być ównoważony pzez moment M tacia tocznego.masymalną watość M oeśla wzó (1). Poównując ten wzó ze wzoem (9) i uwzględniając podany w zadaniu waune f > stwiedzamy, że M T > M. Wobec tego zsuwanie się uli bez obotu nie jest możliwe. Kula uzysa więc pzyspieszenie ątowe 0, a zatem taże pędość ątową 0. W sytuacji toczenia się uli moment siły tacia tocznego dany jest wzoem (1). Ułóżmy teaz ównanie uchu dla śoda masy uli ma mg sin T (10) oaz dla uchu obotowego uli woół osi pzechodzącej pzez jej śode (i ównoległej do podstawy ówni) T M T mg cos. (11) W ostatnim ównaniu oznacza moment bezwładności uli względem osi pzechodzącej pzez jej śode: m. (1) 5 Rozwiązując uład ównań (10) i (11) pzy waunu = a/, tóy wyaża ba poślizgu, otzymujemy cos sin a g 1 m Opac. T.M.Molenda, F US, 011-3/5 -

4 a po uwzględnieniu wzou (1) 5 a gsin cos. (13) 7 Pzyspieszenie ątowe uli jest oczywiście ówne = a/. Bez tudu znajdujemy też, ozystając z ównania (10), wyażenie na siłę tacia posuwistego: T mg m sin 1 m cos 5 mg cos tg 7 5 Pzy założeniu, ze poślizg nie występuje, T spełnia nieówność (4). Po podstawieniu do tej nieówności wyażenia (14) otzymujemy waune na ąt : Rozwiązanie to obowiązuje dla ątów taich, że czyli taich, że. (14) 5 7 tg f. (15) 5 T fmg cos, 5 tg 7 5 f. Dla tg = / lewa stona pzyjmuje watość /, a więc jest mniejsza niż f. Nieówność ta oeśla góny zaes ątów, dla tóych możliwy jest uch bez poślizgu. Poślizg oznaczałby, że siła T ma więszą watość niż wyliczona. Niech ta więsza, najwięsza możliwa siła wynosi T max. Waune = v nie byłby teaz spełniony. Zwięszenie T oznacza zwięszenie i zmniejszenie v. Oznaczałoby to pojawienie się ujemnego poślizgu, co nie ma sensu. Toczenie się bez poślizgu jest w ozważanym zaesie jedyną możliwą fomą toczenia się. Poównując ten wyni z wauniem (7) widzimy, że nieówność (15) jest słabsza od nieówności (7). Dla ątów spełniających nieówność 5 7 tg f, (16) 5 będzie zachodził poślizg i jednocześnie toczenie. W tej sytuacji M i T są oeślone wzoami (1) i (), a ównania uchu (10) i (11) pzyjmują postać: ma mg sin f mg cos mg cos f mg cos. Jao ozwiązania tego uładu ównań otzymujemy: oaz a g (sin f cos ) Możemy też znleźć pędość poślizgu v p 5 g cos f v. a t Opac. T.M.Molenda, F US, 011-4/5 -

5 v p 5 7 gt cos tg f 5. Ja łatwo spawdzić, dla ątów spełniających waune (16) zachodzi v p > 0. Oznacza to, że śode uli pousza się szybciej, niżby to wyniało z jej pędości ątowej. Zestawienie wyniów analizy uchu uli można pzedstawić w postaci tabeli: Spoczyne Toczenie bez poślizgu Toczenie z poślizgiem tg f 5 a 0 5 sin cos 7 0 a 5 7 f 5 g g sin f cos 5 g cos f v 0 at at 0 v t Opac. T.M.Molenda, F US, 011-5/5 -