Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)

Transkrypt

1 Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają na nie żadne siły zewnętrzne, lub działające siły się równoważą. II (równanie ruchu) Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły. F = m a = d p Dla ruchu obrotowego: M = I ε = d L III (zasada akcji i reakcji) Względem każdego działania (akcji) siły istnieje równe co do wartości i przeciwnie zwrócone przeciwdziałanie (reakcja) siły.

2 Układy inercjalne. Zasada bezwładności Zasada względności Galileusza. Układ odniesienia, o którym mówi 1. zasada dynamiki, nazywa się układem inercjalnym. Istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych, poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym. Z wcześniejszych rozważań: a = a a 0 + ω 2 r 2( ω v ) ε r Dla układu inercjalnego: ω = 0, ε = 0, a 0 = 0. Wniosek: a = a F = F Siła jest niezmiennicza względem transformacji Galileusza, tzn. jest jednakowa we wszystkich układach inercjalnych. We wszystkich inercjalnych układach odniesienia, w tych samych warunkach, zjawiska mechaniczne przebiegają jednakowo.

3 Masa bezwładna Masa bezwładna jest miarą bezwładności ciała, tzn. oporu, jaki ciało stawia sile, zmieniającej stan jego ruchu (w odróżnieniu do masy grawitacyjnej opisującej oddziaływania grawitacyjne między ciałami). Dla dyskretnego rozkładu N punktowych mas m i : M = i=1 m i Dla rozkładu ciągłęgo o gęstości ρ( r): M = dm dm = ρ( r)dv M = ρ( r)dv V

4 Środek masy Środek masy dyskretnego układu N punktowych mas m i : r CM = 1 M m i r i i=1 Środek masy bryły sztywnej o ciągłej gęstości ρ( r): r CM = 1 rdm = 1 ρ( r) rdv M M V V

5 Pęd Dla punktu materialnego: p = m v Dla układu punktów materialnych p = p i = m i v i i=1 i=1 v CM = d r CM = 1 M i=1 m i d r i = 1 M m i v i i=1 p = M v CM II zasada dynamiki dla ruchu postępowego F = d p, m = const F = d d v (m v) = m = m a F jest wypadkową sił zewnętrznych. Wypadkowa sił zewnętrznych, działających między częściami składowymi układu, wynosi zero, gdyż znoszą się one na mocy III zasady dynamiki.

6 Moment bezwładności Moment bezwładności I dla punktu materialnego leżącego w odległości r od osi obrotu: I = mr 2 Moment bezwładności (rozkład dyskretny) I = m i ri 2 i=1 Moment bezwładności (rozkład ciągły) I = r 2 dm V Masa bezwładna i moment bezwładności są wielkościami addytywnymi.

7 Moment siły Dla punktu materialnego, leżącego w odległości r od nieruchomej osi obrotu, na który działa siła F Dla bryły sztywnej M = r F M i = r i F = r i m i a i sin α i i z = = m i r 2 i a i sin α i i z = I i ε i z = I i ε r i M = i M i = ε I i = I ε i

8 Moment pędu Dla punktu materialnego o pędzie p, leżącego w odległości r od nieruchomej osi obrotu L = r p Dla bryły sztywnej L i = r i p = r i m i v i sin α i i z = = m i r 2 i v i sin α i i z = I i ω i z = I i ω r i L = L i = ω i I i = I ω i II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego dl = I d ω = I ε = M M = d L

9 Zasady zachowania Zasada zachowania pędu F = 0 d p Zasada zachowania momentu pędu = 0 p = const M = 0 d L = 0 L = const

10 Przykład: ruch ciał o zmiennej masie dm v( t) s m( t) w v(t) - prędkość rakiety m(t) - masa rakiety m s (t) - masa spalonego paliwa (masa gazów wylotowych) p(t) = m(t) v(t) w - prędkość strumienia gazów wylotowych względem rakiety µ = dm > 0 - szybkość spalania paliwa F - siły zewnętrzne d p - zmiana pędu w czasie p(t + ) = (m(t) + dm) ( v(t) + d v) + dm s ( v(t) + w) dm s = dm dmd v m(t)d v d p = m(t)d v + dm s w = m(t)d v dm w równanie Mieszczerskiego (1897 r.) F = m(t) d v dm w

11 Przykład: precesja bąka (ruch precesyjny) Ruch wirowy osi symetrii obracającej się bryły sztywnej wokół kierunku pola grawitacyjnego L - moment pędu bryły sztywnej w ruchu obrotowym wokół osi symetrii I - moment bezwładności bryły sztywnej w ruchu obrotowym wokół osi symetrii ω - prędkość kątowa bryły sztywnej w ruchu obrotowym wokół osi symetrii ω p - prędkość kątowa precesji r - położenie środka masy dl = M = r m g dl = mgr sin α dl = L sin αdϕ dl L sin α dϕ = L sin αdϕ = mgr sin α ω p = dϕ = mgr L = mgr Iω

12 Układy nieinercjalne Układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I zasada dynamiki, nazywa się układem nieinercjalnym (np. poruszający się z przyspieszeniem względem dowolnego układu inercjalnego). W układach nieinercjalnych nie jest również spełniona II zasada dynamiki, ponieważ występują w nich siły pozorne, których nie można przypisać oddziaływaniu określonych ciał. a = a a 0 + ω 2 r 2( ω v ) ε r siła d Alemberta (bezwładności) siła Coriolisa {}}{{}}{ m a = m a m a 0 + mω }{{ 2 r } 2m( ω v ) m( ε r ) }{{} siła odśrodkowa siła Eulera F = F + F bezw + F odsr + F C + F E

13 Przykład: siła Coriolisa Wschodnie odchylenie ciał swobodnie spadających. Na półkuli północnej wschodnie odchylenie pocisków balistycznych poruszających się na północ, zachodnie odchylenie dla poruszających się na południe (i odwrotnie na półkuli południowej). Rozety zakreślane przez ciężarek wahadła Faucaulta (dla różnych warunków początkowych ruchu wahadła). Różne kierunki pasatów (wiatrów wiejących od zwrotnika ku równikowi): NE na półkuli północnej (a), SE na południowej (b).

14 Praca, siły zachowawcze, energia potencjalna n n W ab W i = = F i r i i=0 i=0 b b W ab = dw = a a F ( r) d r Jeżeli praca wykonana przez siłę przy przemieszczaniu ciała po dowolnej drodze zamkniętej wynosi zero, taką siłę nazywamy zachowawczą. W polu siły zachowawczej praca nie zależy od drogi, tylko od punktu początkowego i końcowego. Energia potencjalna: praca wykonana przeciwko sile zachowawczej i zmagazynowana w ciele. dla przypadku jednowymiarowego: F (x) = de p dx

15 Przykład: energia potencjalna w jednorodnym polu sił ciężkości x dw = F d r = mgdx g m F=-P F dr r dx x W = x 0 mgdx = mgx = E p Wartość pracy nie zależy od drogi, tylko od różnicy wysokości x. P=mg dw=f dr = mgdx

16 Energia kinetyczna. Zasada zachowania energii Praca wykonana przez siłę zachowawczą jest równa zmianie energii kinetycznej. W = b a F d r = b a v = m v d v = v 0 m a d r = mv 2 2 Całkowita energia mechaniczna v v 0 b a m d v d r b = m = mv2 2 E = E k + E p mv2 0 2 a d r d v = = E k E k0 Zasada zachowania energii mechanicznej: w polu siły zachowawczej całkowita energia mechaniczna pozostaje stała.