Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Transkrypt

1 Fizyka 1 (mechanika) AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski

2 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych

3 Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m s g z e ρ e ϕ m 0 g Żyroskop nie jest zrównoważony, gdy momenty siły ciężkości wirującego silnika o masie m s i masy m 0 względem punktu podparcia dźwigni dwustronnej nie są sobie równe. Pojawia się wówczas wypadkowy moment siły M obracajacy układ wokół osi z.

4 Żyroskopy, bąki, etc. Precesja żyroskopu - opis w układzie inercjalnym W układzie inercjalnym mamy równanie ruchu: d L = M, czyli przy odpowiednio ustawionych osiach układu biegunowego: d e ϕ = M L e ρ. M jest prostopadły do L, zatem będzie powodować obrót L wokół osi z. Aby znaleźć ruch wektora L zauważmy analogię z ruchem ze stałą wartością prędkości wokół okręgu. Równanie ruchu ma postać: d υ = F d /m, czyli d e ϕ = F d mυ e ρ. Współczynnik F d mυ jest prędkością kątową, z jaką obraca się wektor υ. Mamy przecież w układzie biegunowym d e ϕ = dϕ e ρ. Przez analogię - częstością precesji wektora L jest ω p = M/L. Analogia z ruchem po okręgu F d = F d e ρ M = M e ρ υ = υ e ϕ L=L e ϕ Zauważmy, że ta analogia nie wymaga aby wektor L był związany z poruszającym się po okręgu punktem! Ważna jest tylko zmiana kierunku wektora L.

5 Żyroskopy, bąki, etc. Precesja żyroskopu - opis w układzie nieinercjalnym Układ nieinercjalny to układ sztywno zwiazany z obracajac a się dźwignia - nie należy go wiązać z obracajacym się wirnikiem żyroskopu! Równanie ruchu dla momentu pędu w tym układzie otrzymujemy z równania d L = M transformujac pochodna do układu nieinercjalnego: d L = d L + ω p L = M. W układzie obracajacym się wraz z dźwignia moment pędu jest stały co do kierunku i wartości (w układzie inercjalnym - tylko co do wartości). Zatem, d L = 0 czyli ω p L = M. Skąd, jak poprzednio, ω p = M L.

6 Żyroskopy, bąki, etc. Przechylenie osi żyroskopu Jeśli żyroskop (z kręcacym się wirnikiem, moment pędu L) jest poczatkowo zrównoważony (dźwignia jest pozioma), a następnie zwiększymy masę m 0 od m, to oprócz precesji z prędkościa ω p = M/L obserwujemy pochylenie dźwigni. Wynika to z zasady zachowania momentu pędu: początkowo moment pędu układu był równy L, natomiast, gdy dźwignia się obraca, układ ma dodatkowy moment pędu L p związany z precesja. Zatem, dla zachowania momentu pędu, dźwignia musi się pochylić. Kąt pochylenia θ jest równy w przybliżeniu L p /L. L p L L θ

7 Żyroskopy, bąki, etc. Energia kinetyczna ruchu obrotowego E k = 1 2 i m i υ 2 i = 1 2 i m i ( ω r i ) 2 Korzystamy z tożsamości wektorowej: ( A B) C= A ( B C) skąd mamy( ω r i ) 2 = ω ( r i ( ω r i )). E k = 1 2 ω m i [r i 2 ω r i ( r i ω)]= 1 i 2 ωî ω = 1 2 ω L. E k = 1 2 (ω2 x I xx+ ω 2 y I yy+ ω 2 z I zz+ 2ω x ω y I xy + 2ω x ω z I xz + 2ω x ω z I xz ). W przypadku układu zgodnego z osiami głównymi: E k = 1 2 (ω2 x I xx + ω 2 y I yy + ω 2 z I zz ).

8 Toczenie się koła Toczenie się koła Toczenie się koła bez poślizgu można rozpatrywać jako: złożenie ruchu czysto obrotowego wokół osi koła z prędkościa kątową ω oraz ruchu czysto postępowego z prędkościa υ = ωr, gdzie R jest promieniem koła albo ruch wyłącznie obrotowy względem chwilowej osi obrotu znajdujacej się w punkcie styczności koła z podłożem. W takim przypadku, prędkość kątowa tego obrotu jest też równa ω = υ/r. Zauważmy, że w pierwszym przypadku moment bezwładności wynosi MR 2 /2 a całkowita energia kinetyczna jest równa Mυ 2 /2+MR 2 ω 2 /2=MR 2 ω 2 i składa z części odpowiadajacej ruchowi postępowemu i obrotowemu. W drugim przypadku energia kinetyczna jest równa MR 2 ω 2 i jest energia tylko ruchu obrotowego z momentem bezwładności MR 2.

9 Ruch w polu sił centralnych Siły centralne Siła centralna nazywamy siłę postaci F = F(r) e r, gdzie e r jest wersorem w kierunku wektora wychodzacego z centrum siły znajdujacego się w r = 0. Naturalnym układem odniesienia jest w tym przypadku układ o poczatku w centrum siły. Przykłady: siła grawitacyjna: F(r)= GMm r 2 siła elektrostatyczna F(r)= Qq 4πε 0 r 2 siła sprężysta: F(r) = kr Gdy F(r) jest ujemne, siła jest przyciagaj aca, gdy dodatnie - odpychajaca..

10 Ruch w polu sił centralnych Moment pędu w ruchu w polu siły centralnej Moment siły wywierany przez siłę centralna jest równy M = r F= r F(r) e r = 0, co oznacza, że w ruchu w polu siły centralnej: zachowany jest moment pędu z czego wynika, że ruch jest płaski (bo kierunek momentu pędu się nie zmienia) Wielkość, która jest stała podczas ruchu nazywamy całka ruchu.

11 Ruch w polu sił centralnych Opis ruchu płaskiego W przypadku ruchu płaskiego w polu siły centralnej wygodnie jest opisywać położenie ciała w układzie biegunowym o poczatku w centrum siły, gdyż posługiwanie się zmiennymi r, ϕ, z, a nie x, y i z upraszcza rachunki i pozwala na łatwiejsza interpretację końcowych wyników.

12 Ruch w polu sił centralnych Prędkość polowa ϕ dϕ υ rdϕ r L= r m υ= r m υ ϕ = mr 2 dϕ e z= L e z. Pole trójkata ds zakreślonego przez wektor r w czasie jest równe ds=r 2 dϕ/2, zatem ds = r2 dϕ = L 2 2m = const. W ruchu pod wpływem siły centralnej prędkość polowa jest stała.

13 Ruch w polu sił centralnych Siła centralna jest zachowawcza Siła centralna jest postaci zatem F=F e r = F r r, dw = F d r = F r d r= Fdr r bo rd r = rdr. Jeśli funkcja F(r) jest całkowalna (oczywiste w przypadku fizycznych sił), to możemy napisać, że skąd wynika, że F(r)= de p dr W = B A F d r = (E p (B) E p (A)).