Graf skierowany. Graf zależności dla struktur drzewiastych rozgrywających parametrycznie

Transkrypt

1 Gaf skieowany Gaf skieowany definiuje się jako upoządkowaną paę zbioów. Piewszy z nich zawiea wiezchołki gafu, a dugi składa się z kawędzi gafu, czyli upoządkowanych pa wiezchołków. Ruch po gafie możliwy jest tylko w kieunkach wskazywanych pzez kawędzie. Gaf skieowany można sobie wyobazić jako sieć ulic, z któych każda jest jednokieunkowa. Ruch pod pąd jest zakazany. Najczęściej gafy skieowane pzedstawia się jako zbió punktów epezentujących wiezchołki połączonych stzałkami (stąd nazwa) albo łukami zakończonymi gotem (stzałką, zwotem). Gaf zależności dla stuktu dzewiastych ozgywających paametycznie Rys. Skieowany gaf zależności pzepływu sygnałów (8wiezchołków) Gaf definiuje się jako upoządkowaną paę zbioów. Piewszy z nich zawiea wiezchołki gafu, a dugi składa się z kawędzi gafu czyli upoządkowanej pay wiezchołków. Skieowany gaf zależności składa się ze zbiou wiezchołków Q opisujących funkcje zależne od czasu: Q =,,,,,,, { } oaz ze zbiou kawędzi Z, czyli upoządkowanej pay wiezchołków:

2 {,,,,,,,,,,,,,} Z = z z z z z z z z z z z z z Rozkład gafu od wybanego wiezchołka w piewszym etapie powadzi do stuktuy dzewiastej z cyklami, a potem do ogólnej stuktuy dzewiastej ozgywającej paametycznie [7, 8]. Każda ze stuktu posiada właściwy zapis analityczny: G + i oaz G ++ i, gdzie i oznacza wiezchołek, od któego dokonano ozkładu gafu. Rozkładając gaf od każdego z wiezchołków otzymuje się zatem zbió D stuktu dzewiastych ozgywających paametycznie: {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } D = G G G G G G G G Algoytm ozkładu gafu zależności na stuktuy dzewiaste Pzystępując do budowy wyażenia analitycznego epezentującego gaf automatu, najpiew ustalamy wiezchołek początkowy gafu. Kawędzie wychodzące z wiezchołka ozpatujemy w kolejności zgodnej z uchem wskazówek zegaa. Kolejność ozpatywania kawędzi wychodzących z danego wiezchołka ilustują cyfy w kwadatach (Rysunek poniżej ). Kawędź stanowiąca pętle odczytujemy na końcu; jeżeli z danego wiezchołka wychodzą z j dwie ównoległe kawędzie, najpiew ozpatuje się kawędź opisaną elementem o mniejszej watości indeksu j. a) b) Następnie postępuje się wg: algoytmu: Dla gafu zależności (ys. ) można okeślić wyażenie analityczne epezentujące ten gaf, a więc będące jego modelem analitycznym [0, ]. Odpowiednią postacią takiego modelu analitycznego jest ciąg utwozony z symboli występujących w opisie wiezchołków i kawędzi gafu oaz z nawiasów uwzględniających stuktuę gafu. W wyażeniu opisującym gaf stopień k podzędności danego gafu składowego oznacza się paą nawiasów (...) k, wewnątz któej zapisuje się wyażenie dotyczące danego gafu składowego. Pzystępując do budowy wyażenia analitycznego epezentującego gaf, najpiew należy ustalić wiezchołek początkowy gafu. Kawędzie

3 wychodzące z tego wiezchołka- jak ównież i z innych wiezchołków- ozpatuje się w kolejności zgodnej z uchem wskazówek zegaa. Pzyjmuje się oznaczenia: k- indeks opisujący dowolny nawias, c- indeks kolejności odczytywanych wiezchołków gafu, v- indeks kolejności odczytywanych kawędzi gafów. Zwiększenie watości indeksu k o jeden oznacza się jako k + k, zmniejszenie o jeden- jako k k, nadanie k watości zeo- jako 0 k. Po pzyjęciu takich oznaczeń algoytm pzejścia z gafu na odpowiadające mu wyażenie analityczne można pzedstawić w następujących punktach:. Nadać watość początkową indeksowi nawiasów k, tj. indeksowi k nadać watość zeo, czyli 0 k. Napisać nawias otwieający z indeksem k=0. Założyć watość początkową c= indeksu kolejności odczytywanych wiezchołków gafu. Napisać symbol wiezchołka początkowego gafu. 2. Zwiększyć watość indeksu nawiasów o jeden, tj. wykonać k + k. Napisać nawias otwieający z aktualną watością indeksu k. 3. Założyć watość początkową v= indeksu kolejności odczytywanych kawędzi. Zwiększyć o jeden watość indeksu kolejności odczytywanych wiezchołków, tj. wykonać c + c. Napisać symbol piewszej kawędzi wychodzącej z wiezchołka stojącego pzed nawiasem otwieającym z indeksem k oaz symbol wiezchołka, do któego ta kawędź dochodzi, tj. napisać z. iv C 4. Spawdzić, czy napisany symbol C nie był już wykozystany w zapisie wyażenia (w popzednich kokach); jeżeli nie- pzystąpić do wykonania punktu 5; jeżeli tak- pzystąpić do wykonania punktu Zwiększyć o jeden watość indeksu nawiasów, tj. wykonać k + k. Napisać nawias otwieający z aktualnym indeksem k. 6. Zwiększyć o jeden watość indeksu kolejności wiezchołków, tj. wykonać c + c. Zwiększyć o jeden watość indeksu kolejności kawędzi, tj. wykonać v + v. Napisać symbol z kolejnej, jeszcze nie ozpatywanej, kawędzi wychodzącej z wiezchołka i V stojącego pzed nawiasem z aktualnym indeksem k oaz symbol wiezchołka C, do któego ta kawędź dochodzi. Powócić do wykonania punktu Spawdzić, czy wszystkie kawędzie wychodzące z wiezchołka, któego symbol stoi pzed nawiasem z aktualnym indeksem k, już były wykozystane w zapisie wyażenia. Jeżeli niewykonać punkt 8; jeżeli tak- pzystąpić do wykonania punktu 9 algoytmu. 8. Za ostatnią pozycją aktualnego zapisu wyażenia postawić pzecinek i powócić do wykonania punktu Za ostatnią pozycją aktualnego zapisu postawić nawias zamykający z indeksem k. 0. Zmniejszyć watość indeksu nawiasów o jeden, tj. wykonać k k.. Spawdzić, czy aktualna watość indeksów nawiasów osiągnęła watość zeo. Jeżeli niepowócić do wykonania punktu 7, jeżeli tak- napisać nawias zamykający z indeksem k=0, oznaczający zakończenie opeacji pzekształcenia gafu na wyażenie analityczne. C Postępując zgodnie z powyższym algoytmem i pzyjmując za wiezchołek początkowy, można pzekształcić skieowany gaf zależności pzedstawiony na ys. na odpowiadające mu wyażenie analityczne, a jako wynik opeacji otzymuje się wyażenie () G ( ( z ( z ( z, z ( z ) ), = z ( z ( z, z ) ) ), z ( z ( z, z ) ) ) ) ()

4 Ponieważ z odpowiedniego wiezchołka końcowego można powócić do wiezchołka wcześniejszego, a nawet początkowego, to istnieje konieczność pzekształcenia wyażenia () na wyażenie opisujące stuktuę dzewiastą z cyklami, oznaczoną symbolem G ++. Pzy pzepowadzeniu tego typu pzekształcenia, kozysta się z tzech waunków [0, ]: Waunek Wiezchołkami końcowymi stuktuy dzewiastej mogą być te elementy, za któymi w wyażeniu G + i stoi pzecinek lub nawias zamykający. Fakt, że za danym elementem występuje w wyażeniu wystąpił już w wyażeniu G + i pzecinek lub nawias zamykający, oznacza, że dany element G + i na pozycji wcześniejszej. Waunek 2 Jeśli dany element, za któym wystąpił pzecinek lub nawias zamykający, podlega, lecz występującemu na wcześniejszej wyazowi oznaczonemu tym samym symbolem pozycji ciągu G + i, to dany element taktujemy jako wiezchołek końcowy stuktuy dzewiastej i oznaczamy dodatkowo indeksem gónym. Waunek 3 Jeśli dany element wymieniony w waunku 2 nie podlega pod wyaz oznaczony w ciągu G + i tym samym symbolem, wówczas element ten nie może być wiezchołkiem końcowym. W tym pzypadku za ozpatywanym elementem znajdującym się w członie k k k (......) zapisuje się człon (...) podlegają pod dany element + k +. Względem elementów zawieający wszystkie te elementy i, któe znajdujących się w dopisanym członie stosuje się w dalszym ciągu waunki, 2, 3 aż do momentu okeślenia tych elementów i, któe epezentują wiezchołki końcowe stuktuy dzewiastej. Pzestzegając powyższego pzekształcenia ciągu G + zadanego wyażeniem (), otzymuje się ciąg G ++ opisany wyażeniem (2). i G ( ( z ( z ( z, z ( z ) ), + + = z ( z ( z, z ( z, z ( z ) ) ) ) ), z ( z ( z ( z ), z ) ) ) (2) Poniżej pzedstawiono stuktuę dzewiastą z cyklami (Rys.2) oaz stuktuę dzewiastą ozgywającą paametycznie (powstała ze stuktuy dzewiastej z cyklami po ozpostowaniu cykli) (Rys. 3)

5 Rys. 2 Stuktua dzewiasta z cyklami z wiezchołkiem początkowym.

6 Rys. 3. Stuktua dzewiasta ozgywająca paametycznie od wiezchołka początkowego. Podobnie dokonując ozkładu gafu zależności (Rys.) od pozostałych wiezchołków otzymamy G, G, G, G, G, G, G óżniące się kształtem, kolejne stuktuy dzewiaste: { } wyglądem a w konsekwencji własnościami.

7 Rys. 4 Skieowany gaf zależności pzepływu sygnałów (3 wiezchołki) Rozkład gafu zależności z ys. 4 od wiezchołka początkowego powadzi do wyażenia: G z z z z z z = ( ( 3(, 2 3), 2 2( 3, 2 3) ) ) a następnie: G z z z z z z z z z z = ( ( 3(, 2 3), 2 2 ( 3(, 2 3), 2 3(, 2 3) ) ) ) W amach cwiczeń polecam ozłożyć gafy z ysunku oaz ysunku 4 od pozostałych wybanych wiezchołków- uzyskując odpowiednie wyażenia G + i oaz G ++ i, a także odpowiadające tym wyażeniom stuktuy dzewiaste z cyklami i stuktuy ozgywające paametycznie. Lit.: [] Kazimieczak J., System cybenetyczny, Wiedza Powszechna-Omega, Waszawa 978 [2] Kazimieczak J., Teoia gie w cybenetyce, Wiedza Powszechna-Omega, Waszawa 973 [3] Patyka M. A., Deptuła A., Zastosowanie gafów zależności i dzew ozgywających paametycznie w pocesie innowacji na pzykładzie układów maszynowych, XIII Konfeencja Komputeowo Zintegowane Zaządzanie, Zakopane 200; Pol. Towaz. Zaz. Pod. PTZP 200