Analiza Matematyczna Praca domowa

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x x n )dx 1 dx n Zadanie 3. Obliczyć na n-wymiarowej kostce (0, 1) n. (0,1) n (x 1... x n )dx 1 dx n Zadanie 4. Obliczyć gdzie: D f(x, y)dxdy, 1. f(x, y) = y + 1, D = {(x, y) R x + y 9, x 0, y 3x}.. f(x, y) = y + 1, D = {(x, y) R x + y + x 0, y 0}. 3. f(x, y) = xy, D = {(x, y) R 1 x + y 4, x 0, y 0}. 4. f(x, y) = (x y) y + 1, D = {(x, y) R 1 x + y 4, x 0, y 0}. 5. f(x, y) = (x+y) x +y, D = {(x, y) R x + y 6x, y 0}. Zadanie 5. Obliczyć P r sin θdrdθ po zbiorze P ograniczone kardioidą o równaniu biegunowym r(θ) = (1 + cos θ), gdzie 0 θ π. 1

2 Zadanie 6. Oblicz gdzie D = {(x, y) R x + y < 4, x, y 0}. D da y + x, Zadanie 7. Obliczyć D sin(x + y)dxdy, gdzie D R jest zbiorem zawartym między prostymi y = 0, y = x i y + x = π/. Zadanie 8. Oblicz gdzie R = {(x, y, z) : x + y z 1}. Zadanie 9. Oblicz R (x + y )dxdydz R xydxdydz gdzie R = {(x, y, z) : 0 z 9 x y, x, y 0, y x}. Zadanie 10. Obliczyć miarę zbioru A = {f(x, y, z) R 3 y > x, z > 0; x + y + z < 1 < x + y + z}. Zadanie 11. Oblicz objętość bryły Ω = {(x, y, z) R 3 1 x + y z, z < 3}. Zadanie 1. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej rozetą trójlistną o równaniu biegunowym r(θ) = a sin(3θ), gdzie a > 0. Zadanie 13. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej linią o równaniu uwikłanym (x + y ) 3 = a (x 4 + y 4 ), gdzie a > 0. (R: 3 4 πa ). Zadanie 14. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej linią o równaniu uwikłanym (x +y ) = y 3. (R: 5 8 π). Zadanie 15. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej linią o równaniu uwikłanym (x +y ) = x 3. (R: 5 8 π). Zadanie 16. Cisoida y = x3, gdzie a 0, dzieli zbiór ograniczony krzywą a x x + y = ax na trzy części. Obliczyć ich pola. Zadanie 17. Oblicz pole tego obszaru ograniczonego krzywą y = x 3 i parabolą y = x + x, który znajduje się w I ćwiartce układu współrzędnych.

3 (R: 5 1 ). Zadanie 18. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = sin x oraz y = cos x pomiędzy x = 0 oraz x = π/. Zadanie 19. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x + 1, y = x i y = 8. Zadanie 0. Oblicz objętość bryły między sferą x + y + z = 4, walcem ρ = cos(θ), θ [ π/4, π/4]. Zadanie 1. Oblicz objętość bryły Ω między sferą x + y + z = a, gdzie a > 0, i stożkiem z = tg α(x + y ), gdzie 0 < α < π/, i z 0. Zadanie. Oblicz pole ograniczone krzywymi z = x + y, z = 0, xy = 4 oraz x + y = 5. (R: 53 4 ). Zadanie 3. Oblicz całkę podwójną z funkcji f(x, y) = xy po obszarze D = {(x, y) R x + y 4, x 0}. (R: ). Zadanie 4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnią o równaniu x a + y b + z c = 1. (R: 4 3 abcπ). Zadanie 5. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej ograniczonej parabolą y = kx oraz prostymi x = b, y = 0. (R:x sc = 3b/4, y sc = 3kb /5). Zadanie 6. Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego stożka kołowego o wysokości H, gęstość ρ i promieniu podstawy R. 3 (R:x sc = 0, y sc = 0, z sc = H/4)

4 Zadanie 7. Wyznaczyć środek ciężkości wycinka okręgu o promieniu R, gęstość ρ, kącie β i kącie położenia α. Zadanie 8. Wyznaczyć środek ciężkości stożka ściętego gęstości ρ. Zadanie 9. Wyznaczyć środek ciężkości wycinka kuli. z sc = 1H R D +R DR G +3RG 4 RD +R DR G. +RG gęstości ρ. Zadanie 30. Oblicz momenty bezwładności następujących brył z sc = 3R cos α 8(1 sin α). Cylindryczna rura o wewnętrznym promieniu r 1, zewnętrznym promieniu r, długości h i gęstości ρ. Wypełniona kula o promieniu r, gęstości ρ i masie m (R= 5 mr ). 4

5 Zadanie 31. Oblicz moment bezwładności względem osi OX jednorodnego trójkąta o masie m i wierzchołkach w punktach: p 1 = (0, 0), p = (a, 0) i p 3 = (a, a) Zadanie 3. Oblicz V (x + y + z )dxdydz po obszarze V ograniczonym powierzchnią o równaniu 3(x + y ) + z = 3 (R: ma 6 ). (R: 4 3 π 3) Zadanie 33. Obliczyć z x + y dxdydz po obszarze V zawartym w R R (0, ) ograniczonym powierzchniami x +y +z =, x y z = 0, położonym na zewnątrz walca x + y = 1/4. Zadanie 34. Oblicz objętości i masy podanych brył: R = {(x, y, z) : 1 x y z 4 x y, x 0, y x} i gęstość ρ(x, y, z) = x + y. R stworzono poprzez wycięcie stożka z = x +y z kuli x +y +z = 1 i gęstość ρ(x, y, z) = z. R stworzono przez wycięcie górnej połowy stożka z górnej półkuli o promieniu 1, stożek był nachylony względem płaszczyzny OXY pod kątem 30 i gęstość ρ(x, y, z) = (x + y + z ) 1. 5