Fizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Transkrypt

1 Fizyka 1- Mechanika Wykład 9 1.X.016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

2 Moment bezwładności - koło Krążek wokół osi symetrii: M dm rdr R 4 R R 3 r dmr r dr 4 Względem osi równoległej na obwodzie koła z Tw. Steinera: Tw. Steinera Mh O S 0 M 0 M R MR 3 MR 3.X.015 Wykład 10

3 Przykład: kolaps gwiazdy Gwiazda o promieniu R i =.3 x 10 8 m rotuje z prędkością kątową i =,4 x 10-6 rad/s (T76 godz.). Jaka będzie prędkość kątowa f po kolapsie do gwiazdy neutronowej o promieniu R f = 0.0 km? Moment bezwładności kuli jednorodnej f i f L L i f i i f f 5 5 MR MR 8 6,410 4,310,010 m m i i f R i R rad / s i f 30 i rad / s 50 Mr 5 obr / s 1.X.016 Wykład 9

4 Tarcie toczne Toczące się ciało odkształca zawsze powierzchnię po której się toczy. 1.X.016 Wykład 9 Poza tarciem statycznym i kinetycznym (poślizgowym) mamy tarcie toczne: T t i t F N Współczynnik tarcia tocznego μ t jest zwykle bardzo mały Przykładowo: drewno + drewno, μ t =0,0005m stal hartowana + stal, μt=0,00001m (wymiar długości!) r

5 Prawa ruchu walec na równi Eliminując siłę tarcia, T 1.X.016 Wykład 9 Dla symetrycznej bryły (walec, obręcz, kula) x r a r Ruch postępowy (wzdłuż równi) ma Qsin T Ruch obrotowy (względem środka masy) T r T r a ma mg sin ma r r g sin a 1 mr

6 Walec na równi z tw. Steinera Zagadnienie można rozwiązać inaczej, korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równią): O mg sin r a r mg sin r O Z tw. Steinera O mr Otrzymujemy: a a mr g sin mr g sin 1 mr 1.X.016 Wykład 9

7 Prawa ruchu - uściślenie 1.X.016 Wykład 9 Rozważając zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu obrotowego zakładaliśmy że moment siły jest stały i nie zależy od. Jednak ciężarek też porusza się ruchem przyspieszonym. ciężarek: rotor ma r Q N N mg Q- ciężar ciężarka, N- naprężenie nici Eliminujac: N=m(g-a): r mg r mr mgr N r- promień brązowego krążka mr mgr mr Bezwładność ciężarka efektywnie zwiększa moment bezwładności rotora: = +mr. Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia katowego większego niż max = g/r mgr mgr '

8 Prawa ruchu a mr g sin mr a g sin 1 mr rura a 1 g sin walec a g 3 sin Walec: 1/3 szybciej! 1.X.016 Wykład 9

9 Prawa ruchu wahadło fizyczne Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodzącej w odległości l od środka ciężkości S: ml d dt O mgl sin d mgl dt mgl ml mgl g T ml l 1 ml 0 z tw. Steinera l 1 g ml l z l 1 ml długość zredukowana wahadła, długość wahadła matematycznego o tej samej częstości 1.X.016 Wykład 9

10 Prawa ruchu wahadło fizyczne Wahadło zegara ściennego: Równanie małych drgań wokół osi obrotu O: O Mgd d sin mg sin 1 d Md md m M gd 3 Częstość drgań: dt g d M M m m g d m M długość zredukowana wahadła: M 1m 1 m l z d 3 d 1 M 1 m 6 M długość zredukowana wahadła równa jest d dla m<<m: 1.X.016 Wykład 9

11 Rotacja praca i moc Siła F działająca przy przesunięciu liniowym x generuje pracę: W = F x. Podobnie moment siły M działający przy przesunięciu kątowym generuje pracę: W = M. Włożona praca zmienia się w energię. Moc: P dw dt Analogicznie do mocy w ruchu postępowym M d dt P M F v wektorowo P M 1.X.016 Wykład 9

12 E * k Energia ruchu obrotowego Energia kinetyczna układu ciał: E k E Mv * CM k Dla bryły sztywnej: Energia wewnętrzna to energia kinetyczna ruchu obrotowego. Policzmy energię ruchu obrotowego: mivi m i i i i i i i Dla ciała toczącego się bez poślizgu: E k r m r L 1 v r Mv Mv 1 M 1 Mr Mr 1 - efektywna masa bezwładna przy niezmienionej masie grawitacyjnej 1.X.016 Wykład 9

13 Walec na równi z.zach. energii 1.X.016 Wykład 9 Prędkość jaką uzyska ciało staczające się bez poślizgu z równi o wysokości h. Z zasady zachowania energii: mr gh v mr mv mgh Przyspieszenie liczymy z prędkości: l v l v v t v a t t t v l t v a v l v 1 sin 1 mr mr g l gh l v a

14 Koło Maxwella z.zach. energii Koło o promieniu R toczy się po osi o promieniu r. Jak w przypadku równi pochyłej a obrecz g sin 1 mr Dla obręczy: a g 1 mr mr ; gr R r tarcza Ale =90 0 Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym... Energia potencjalna zamienia się głównie na energię ruchu obrotowego. g 1 mr 1.X.016 Wykład 9

15 Prawa ruchu - wyjaśnienie Dwa klocki na równi poruszają się bez tarcia, są połączone nieważka nicią przerzuconą przez ważki bloczek o momencie bezwładności. N 1 N Powierzchnia równi to więzy, które ograniczają ruch klocków do kierunku równoległego do powierzchni równi. Możemy zredukować problem do ruchu jednowymiarowego. W przypadku ważkiego bloczka, jeśli układ nie jest w równowadze, siły naprężenia mogą być różne! N1 N 1.X.016 Wykład 9

16 Bąk - równowaga Bak wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (względem S i O) moment pędu jest stały orientacja osi obrotu jest stała (bąk symetryczny) L const Jak w przypadku żyroskopu... Czy jest to równowaga trwała? 1.X.016 Wykład 9

17 Bąk moment sił Gdyby bąk nie wirował (L=0) to ustawienie pionowe byłoby stanem równowagi nietrwałej. Wychylenie z tego położenia powodowałoby powstanie wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły wypadkowej, które powodowałyby wywrócenie bąka. Moment siły ciężkości względem punktu podparcia O: M M R mg mgrsin R odległość środka ciężkości od punktu podparcia - kąt odchylenia osi od pionu Moment siły M skierowany jest prostopadle do osi bąka... 1.X.016 Wykład 9

18 Bąk - precesja W przypadku gdy bąk wiruje, przyłożony moment siły powoduje zmianę całkowitego momentu pędu: 1.X.016 Wykład 9 M Wektor momentu pędu pokrywa się z osią obrotu L R dl dt natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły M mr g M R wartość momentu pędu nie ulega zmianie dl dt 0 kierunek momentu pędu zmienia się precesja

19 Bąk częstość - precesji 1.X.016 Wykład 9 W przedziale czasu t moment pędu zmieni się o: L M t Spowoduje to obrót poziomej składowej L o kąt L Lsin częstość z jaką wektor L będzie zakreślał stożek: częstość precesji Rmg sin t Rmg sin t Lsin p t mgr L mgrt L Częstość precesji maleje ze wzrostem momentu pędu (częstości ruchu wirowego bąka)

20 Żyroskop efekt żyroskopowy Zasada zachowania momentu pędu Jeśli poprzez specjalne zamocowanie zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie stały niezależnie od działających sił zewnętrznych i ruchu postępowego efekt żyroskopowy Momenty działających sił są równe zero moment pędu jest stały orientacja osi obrotu jest stała L const Rozkręcony żyroskop utrzymuje orientację swojej osi obrotu w przestrzeni. 1.X.016 Wykład 9

21 Żyroskop - równowaga Waga : ciężar żyroskopu jest zrównoważona przez odpowiednio dobrane ciężarki. Jeśli żyroskop jest w równowadze przy L to będzie także w równowadze dla Jak zachowa się żyroskop gdy zwiększymy lub zmniejszymy przeciwwagę? L X.016 Wykład 9

22 Żyroskop - precesja zwiększone obciążenie zmniejszone obciążenie zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrząc z góry) Częstość precesji p mgr L 1.X.016 Wykład 9 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara proporcjonalna do dodanej/brakującej masy

23 Paradoks? Żyroskop Nie-wirujący bąk wychylony z położenia równowagi lub nie-zrównoważony żyroskop L 0 wywracają się Natomiast jeśli L 0 to bąk i żyroskop podlegają precesji nigdy się nie wywrócą (zaniedbując siły tarcia). Czy jest to słuszne dla dowolnie małych wartości? Z doświadczenia wiemy, że nie! Wirujący bąk wywraca się zanim prędkość kątowa jego ruchu wirowego spadnie do zera. Nasze rozważania precesji nie były ścisłe dla małych momentów pędu musimy uwzględnić dodatkowe efekty... L L 0 1.X.016 Wykład 9

24 Żyroskop - precesja Niech moment pędu zrównoważonego żyroskopu wynosi L. Co się dzieje gdy zdejmiemy jeden ciężarek? Wartość całkowitego momentu pędu nie ulega zmianie, gdyż moment siły ciężkości jest prostopadły do L. Obrót żyroskopu z częstością względem pionowej osi p moment pędu L p p p. Aby całkowity moment pędu nie uległ zmianie, oś żyroskopu musi się nachylić o kąt: L p L p L p mrg L p p mgr L Duże L 0 (L p można pominąć) Małe L bąk wywraca się. 1.X.016 Wykład 9

25 Żyroskop - nutacje dealna precesja, gdy koniec ramienia żyroskopu porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, zachodzi tylko przy szczególnym wyborze warunków początkowych. W ogólnym przypadku na precesję nakładają się oscylacje ramienia żyroskopu wokół położenia stacjonarnej precesji nutacje. Charakter tych dodatkowych oscylacji zależy od warunków początkowch. Zazwyczaj są mało widoczne i zanikają w czasie (tłumienie). ch amplituda rośnie dla małych wartości L 1.X.016 Wykład 9