Ruch drgający i falowy

Transkrypt

1 Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch tłoka w silniku spalinowym, praca ludzkiego serca, ruch huśtawki, ruch strun gitary czy zmiany napięcia na zaciskach pracującej prądnicy. pracującej prądnicy. Cechą charakterystyczną tych ruchów jest ich okresowa powtarzalność co oznacza, że po upływie określonego czasu zwanego okresem, ciało drgające powtarza ten sam ruch od nowa. Spośród wielu mechanicznych ruchów drgających zajmiemy się opisem ruchu harmonicznego. Jest to taki ruch, w którym położenie ciała zmienia się w zależności od czasu sinusoidalnie. Jakie szczególne cechy ma ruch harmoniczny? W celu znalezienia odpowiedzi na powyższe pytanie posłużymy się przykładem kulki zawieszonej na sprężynie. Po zawieszeniu kulki sprężyna się odkształca. Działa na nią siła ciężkości kulki powodując wydłużenie sprężyny. Równocześnie pojawia się siła sprężystości, która po pewnym czasie zrównoważy siłę ciężkości kulki. Kulka przyjmie wtedy tzw. położenie równowagi (rys. l pozycja l). Rys. l. Ruch kulki zawieszonej na sprężynie. Jeżeli wychylimy kulkę z położenia równowagi (działając siłą) a następnie puścimy swobodnie, wówczas kulka będzie wykonywać drgania. W pozycji 2 układ ciał (sprężyna i kulka) posiada energię potencjalną sprężystości, prędkość kulki jest równa zeru a wychylenie z położenia równowagi maksymalne. W tym położeniu na kulkę działa siła ciężkości oraz większa niż w położeniu l sita sprężystości bowiem sprężyna jest bardziej odkształcona. Kulka nie będzie już w równowadze i wypadkowa siła pociągnie ją ku górze. Zaobserwujemy wzrost prędkości kulki a więc wzrost jej energii kinetycznej. Zmniejszać się zaś będzie wychylenie kulki oraz siła sprężystości. W pozycji 3 kulka osiągnie znowu położenie równowagi i wypadkowa sit działających na kulkę będzie równa zeru. Natomiast jej prędkość oraz energia kinetyczna będą maksymalne. Właśnie dzięki zapasowi energii kinetyczne! kulka minie położenie równowagi i poruszać się będzie w górę ściskając

2 sprężynę. Prędkość i energia kinetyczna kulki będą maleć, wzrastać zaś będzie wychylenie oraz energia potencjalna sprężystości. W pozycji 4 kulka zatrzyma się osiągając górne maksymalne wychylenie. Jej energia kinetyczna całkowicie zamieni się w energię sprężystości. Wypadkowa sita działająca na kulkę w tym położeniu zwrócona będzie w dół, bowiem siła sprężystości jest teraz mniejsza od jej siły ciężkości. Siła ta spowoduje ruch kulki w dół. Zwiększać się będzie jej prędkość i energia kinetyczna a maleć energia sprężystości. W pozycji 5 kulka ponownie znajduje się w położeniu równowagi. Pomimo, że wypadkowa siła jest równa zeru kulka nie zatrzymuje się, bo ma nabytą prędkość. Przechodzi znów poniżej punktu równowagi i jej energia kinetyczna przekształca się w energię sprężystości. W pozycji 6 kulka zajmuje maksymalne dolne wychylenie z położenia równowagi. Wypadkowa siła skierowana jest ku górze i powodować będzie powrót kulki do położenia równowagi. Jej energia sprężystości zamieniać się będzie w energię kinetyczną i dalej sytuacja będzie się powtarzała. Po przeanalizowaniu ruchu drgającego kulki zawieszonej na sprężynie możemy wyciągnąć następujące wnioski: torem ruchu drgającego jest odcinek, odcinek ten przebywa ciało w jednakowych odstępach czasu, równych połowie okresu, wartość prędkości ulega zmianie osiągając w położeniu równowagi wartość maksymalną a w skrajnych położeniach prędkość ciała jest równa zeru, wartość siły działającej na ciało nie jest stała co oznacza, że w ruchu drgającym zmianie ulega przyśpieszenie, podczas ruchu następuje przemiana jednej formy energii mechanicznej w drugą. Ponieważ w czasie ruchu drgającego kulki jej położenie względem stanu równowagi zmienia się, wprowadzimy dwie wielkości opisujące to położenie. l tak: maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi oznaczymy symbolem A i nazywać będziemy amplitudą, natomiast położenia pośrednie symbolem x i nazwiemy wychyleniem. Wychylenie jest więc odległością punktu wykonującego drgania harmoniczne od położenia równowagi, zaś maksymalne wychylenie x = A. Z ruchem drgającym harmonicznym związane są dwie wielkości fizyczne, które znane Ci są bardzo dobrze a mianowicie okres ruchu i częstotliwość. Przypomnijmy je tutaj jeszcze raz. Okresem drgań nazywamy czas, w którym ciało wykona jedno pełne drganie (lub jest to odstęp czasu, po upływie którego drganie się powtarza) a częstotliwość jest to liczba drgań przypadająca na jednostkę czasu. Związek pomiędzy okresem T i częstotliwością f jest następujący: 1 f = T Gdybyśmy wykonali serię zdjęć filmowych kulki drgającej ruchem harmonicznym, otrzymalibyśmy obraz umożliwiający sporządzenie wykresu tego ruchu. Wykres taki przypominający sinusoidę jest pokazany na rysunku 2.

3 Rys. 2. Wykres wychylenia x jako funkcji czasu w ruchu harmonicznym. Wartość funkcji sina zawarta jest w przedziale od -l do +1 czyli -l sina l Natomiast wartość wychylenia ograniczona jest amplitudą A x +A. Możemy więc zapisać: gdzie: x - wychylenie z położenia równowagi, A - amplituda, a - faza ruchu. Ponieważ a = w t, więc wzór na wychylenie przyjmie postać: [2] x= A sina t Na podstawie równania 2 możemy potwierdzić zdanie wypowiedziane na początku rzeczywiście wychylenie zmienia się sinusoidalnie. Drgania, w których wartość wychylenia x zmienia się w czasie jak funkcja sinus nazywamy drganiami harmonicznymi. Rys. 3. Rysunek do zadania PA Prędkość w ruchu harmonicznym. Obserwacja ruchu kulki zawieszonej na sprężynie pozwala dostrzec pewne podobieństwa ruchu harmonicznego do ruchu po okręgu. Po pierwsze, oba ruchy są okresowe: po pewnym czasie T powtarzają się. Po drugie, oba ruchy odbywają się po torze zamkniętym: ruch harmoniczny po odcinku, drugi ruch po okręgu. Po trzecie, siła w obu ruchach jest skierowana do środka: odcinka lub okręgu. Skorzystamy z tych podobieństw omawiając kolejno prędkość i siłę w ruchu harmonicznym. Ruch harmoniczny można potraktować jako ruch rzutu punktu poruszającego się po okręgu na prostą. Jeżeli punkt będzie poruszał się po okręgu o promieniu r, to jego rzut będzie się poruszał ruchem drgającym wzdłuż odcinka o długości 2 r. Wobec tego prędkość ciała poruszającego się ruchem

4 harmonicznym jest rzutem prędkości ciała poruszającego się po okręgu (rys. 4). Przeanalizujmy to bardziej dokładnie. Wyobraź sobie ciało poruszające się po okręgu. W pewnej chwili znajduje się ono w punkcie A i posiada prędkość v styczną do toru. Rozkładając prędkość tę na dwie składowe v 1 i v 2 możemy stwierdzić, że na ruch punktu B wpływa tylko składowa v 1. Rys. 4. Prędkość ciała w ruchu harmonicznym jest rzutem prędkości ciała poruszającego się po okręgu. Składowa v 1 jest prędkością punktu poruszającego się ruchem harmonicznym. Obliczmy tę prędkość. Z rysunku 4 mamy cosa = v 1 / v skąd lecz v = w A ponieważ r = A Wobec tego otrzymujemy v 1 = w A cosa v 1 = v cosa Uogólniając możemy stwierdzić, że prędkość v punktu wykonującego drgania harmoniczne wyrażona jest wzorem lub [4] v = w A cosw t (ponieważ a = w t) Zwróć uwagę, że prędkość ciała poruszającego się ruchem harmonicznym zależy od fazy a : dla a = 0, cos 0 = l i prędkość ciała w tym położeniu jest maksymalna, v = w A, dla a =90, cos90 =0 i v=0.

5 Wyniki te zgadzają się z naszymi wcześniejszymi obserwacjami ruchu kulki zawieszonej na sprężynie. Zależność prędkości od czasu ilustruje rysunek 5. Rys. 5. Prędkość w ruchu drgającym harmonicznym zależy od czasu. 2. Siła i przyśpieszenie w ruchu harmonicznym 2.1. Siła w ruchu harmonicznym. Siła działająca na ciało poruszające się ruchem harmonicznym podobnie jak prędkość jest rzutem siły działającej na ciało poruszające się po okręgu. Na punkt A poruszający się ruchem po okręgu działa siła dośrodkowa F skierowana wzdłuż promienia do środka okręgu (rys. 6). Po rozłożeniu jej na dwie składowe f 1 i F 2 ; możemy stwierdzić, że na ruch punktu B wpływa tylko składowa f 1.

6 Rys. 6. Siła działająca na ciało w ruchu harmonicznym jest rzutem siły działającej na ciało poruszające się po okręgu. Jak widać z rysunku 3, siła f 1 wyrazi się wzorem f 1 = F sina Zamiast F możemy podstawić jej wartość F = m v 2 / r Uwzględniając, że r = A i v=w A otrzymujemy [5] F= - m w 2 A sina gdzie minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do kierunku wychylenia ciała. Jest to charakterystyczna cecha siły wywołującej drgania harmoniczne. Siła działająca na ciało poruszające się ruchem harmonicznym podobnie jak prędkość zależy od fazy a : dla a = 0, sin 0 = O i F = O, dla a = 90, sin 90 = l i siła osiąga maksymalną wartość F= - m w 2 A Ponieważ A sina = x (równanie 1) wiec wyrażenie na siłę w ruchu harmonicznym może przybrać inną postać gdzie: [6] F = - m w 2 A x m masa ciała drgającego, w prędkość kątowa, w = 2 p f, x wychylenie ciała z położenia równowagi. Iloczyn masy i prędkości kątowej w równaniu 6 jest dla danego układu drgającego wielkością stałą. Oznaczymy go symbolem k i nazwiemy współczynnikiem sprężystości k = rn w 2 Wobec tego siła działająca na ciało wykonujące ruch harmoniczny będzie miała postać [7] F= - k x Na podstawie równania 7 widać, że wraz ze wzrostem wychylenia ciała z położenia równowagi proporcjonalnie zwiększa się działająca siła. Siła ta w ruchu drgającym harmonicznym powoduje powracanie ciała do położenia równowagi, dlatego czasem nazywana jest silą zwrotną. Znając zależność siły od wychylenia możemy podać inną definicję ruchu harmonicznego. Brzmi ona następująco:

7 Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch drgający, w którym działająca siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi Przyśpieszenie w ruchu harmonicznym. W ruchu harmonicznym zarówno wartość siły działającej na ciało jak i jej zwrot zmieniają się. Obliczmy przyśpieszenie w tym ruchu. Na podstawie II zasady dynamiki mamy a = F / m lecz stąd F= - m w 2 A sina (równanie 5) Przyśpieszenie ciała podobnie jak wychylenie, prędkość czy siła w ruchu harmonicznym zmienia się. Wykres zależności przyśpieszenia od czasu pokazuje rysunek 8. Rys. 8. Przyśpieszenie w ruchu harmonicznym zależy od czasu. Ponieważ przyśpieszenie w ruchu harmonicznym nie jest stałe oznacza to, że ruch harmoniczny nie jest jednostajnie zmiennym. Pytania i zadania 1. Po upływie jakiego czasu ciało drgające ruchem harmonicznym o okresie T = 8 s przebędzie drogę równą: a) całej amplitudzie b) czterem amplitudom? 2. Oblicz przedział czasu odpowiadający odcinkowi AB i AC na rysunku 3, jeżeli częstotliwość w tym ruchu harmonicznym wynosi f =10 Hz. 3. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie drgań T = 4 s. Obliczona prędkość tego ciała w chwili przechodzenia przez położenie równowagi wyniosła v = 0,5 m/s. Jaka będzie prędkość tego ciała po upływie 4 sekund licząc od chwili przejścia przez położenie równowagi?

8 4. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T = 3 s i amplitudzie A =0,2 m. Znajdź wychylenie i prędkość ciała w chwili t = 0,25 s po przejściu przez położenie równowagi. 5. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T = 4 s i amplitudzie A = 20 cm. Oblicz wychylenie dala z położenia równowagi po czasie t = 1, 2, 3 i 4 s. 6. Ciało wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A =- 30 cm. Częstotliwość drgań ciała wynosi f = 0,5 Hz. Oblicz maksymalną prędkość tego data. 7. Jaka jest zależność siły od wychylenia w ruchu drgającym harmonicznym? 8. Jak zmieni się siła działająca na ciało wykonujące drgania harmoniczne, jeżeli wychylenie zwiększymy dwukrotnie?