Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej"

Mariusz Mazurkiewicz
6 lat temu
Przeglądów:

1 Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej 4. Stopień Brouwera 5. Zasadnicze Twierdzenie algebry 1 Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona Definiujemy cia lo liczb zespolonych C jako trójke (R 2, +, ) gdzie dla dowolnych (a, b), (c, d) C dzia lania dodawania i mnożenia zdefiniowane sa jako (1) (2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Utożsamiajac liczba zespolona (x, 0) z liczba rzeczywista x R z i k ladac i := (0, 1), dla dowolnego (x, y) C mamy (x, y) = (x, 0) + (y, 0) (0, 1) = x + yi i ponadto i 2 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1. Definiujemy cześć rzeczywista Re z oraz cześć urojona Im z liczby zespolonej z = (x, y) jako Re z := x oraz Im z := y. Modu l liczby zespolonej z = (x, y) C definiujemy jako z := x 2 + y 2, zaś jej sprzeżenie jako z := x yi. Nietrudno zauważyć, że sprzeżenie jest odbiciem symetrycznym wzgledem osi OX, zaś modu l jest d lugościa wektora (x, y). Ponadto ( ) x z = z x 2 + y + i y = z (cos ϕ + i cos ϕ), 2 x 2 + y 2 gdzie ϕ [0, 2π) jest takie, że cos ϕ = x oraz sin ϕ = y. Liczbe x 2 +y 2 x 2 +y 2 ϕ nazywamy argumentem g lównym liczny zespolonej z i oznaczamy Arg (z) := ϕ. 1

2 Można sprawdzić, że iloczynem liczb zespolonych z 1 oraz z 2 danych jako z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i cos ϕ 1 ), z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i cos ϕ 2 ) jest liczba z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i cos(ϕ 1 + ϕ 2 )). Zatem jeśli z = 1 to mnożenie przez liczbe z jest obrotem p laszczyzny zespolonej o kat Arg (z). Wykorzystujac powyższy wzór na iloczyn liczb zespolonych możemy wyprowadzić nastepuj acy wzór de Moivre a: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) dla n Z, n 0. Niech w bedzie wielomianem zmiennej zespolonej danym wzorem w(z) = z n 1. Wielomian ten posiada dok ladnie n pierwiastków zespolonych. Dane sa one wzorami z k = n ( z cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ) dla k = 1, 2,..., n 1. n n Fakt ten można uogólnić w nastepuj acy sposób Twierdzenie 1.1. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Niech w(z) := a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, n 1, a i C, a n 0 b edzie wielomianem o wspó lczynnikach zespolonych. Wówczas istnieje liczba zespolona z 0 C taka, że w(z 0 ) = 0. Dla dowolnego z C zbieżne sa nastepuj ace szeregi S 1 (z), S 2 (z) oraz S 3 (z): (3) S 1 (z) := S 2 (z) := S 3 (z) := z n n! = 1 + z 1! + z2 2! +..., ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 = 1 z3 3! + z5 5! +..., ( 1) n (2n)! z2n = 1 z2 2! + z4 4!

3 Dla dowolnego z C definiujemy sin z := S 1 (z), cos z := S 2 (z) oraz e z := S 2 (z). Prowadzi nas to do postać wyk ladniczej liczby zespolonej z C, która przedstawia sie nastepuj aco Wynika ona ze wzorów (3). z = z e iφ, gdzie ϕ := arg z. 2 Homotopia odwzorowań na okr egu Niech A, B C bed a dowolnymi zbiorami. Powiemy, że odwzorowania f, g : A B sa homotopijne, jeśli istnieje ciag le odwzorowanie H : [0, 1] A B takie, że H(0, ) = f oraz H(1, ) = g. W tej sytuacji odwzorowanie H nazywamy homotopia l acz ac a odwzorowania f i g. Powiemy, że odwzorowanie f : A B jest homotopijne trywialne jeśli istnieje homotopia H : [0, 1] A B takie, że H(0, ) = f oraz H(1, x) = const dla x A. Przyjmujemy, że A = B = S 1 = {z C z = 1}. Wówczas zachodzi nastepuj ace Twierdzenie 2.1. (Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej, wersja dwuwymiarowa) Niech f : S 1 S 1 bedzie odwzorowaniem ciag lym. Wówczas dowolne przed lużenie F : D 1 C odwzorowania f posiada punkt zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy f nie jest homotopijnie trywialne. Dowód. (= ) Gdyby istnia la homotopia H : [0, 1] S 1 S 1 taka, że H(0, ) = f oraz H(1, x) = x 0 dla x S 1, to moglibyśmy zdefiniować odwzorowanie F : D C dane wzorem x 0 jeśli 0 x 1/2, F (x) = H(2 2 x, x/ x ) jeśli 1/2 x 1. Wtedy F S 1 = f oraz F (x) 0 dla x D, co jest sprzecznościa. ( =) Niech F : D C bedzie przed lużeniem odwzorowania f. Jeśli F (x) 0 dla x D, to definiujac H : [0, 1] S 1 S 1 jako H(t, x) = F ((1 t)x) F ((1 t)x) dla (t, x) [0, 1] S 1 mielibyśmy, że i ponadto H(0, x) = H(1, x) = F (0) F (0) f(x) = f(x) dla x S1 f(x) dla (t, x) [0, 1] S 1. Zatem odwzorowanie H jest homotopia l acz ac a f z odwzorowaniem sta lym. Dlatego f jest odwzorowaniem homotopijnie trywialnym co jest sprzecznościa. 3

4 3 Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej Niech γ : [0, 1] C bedzie krzywa zamkniet a kawa lkami klasy C 1, czyli, γ(0) = γ(1) oraz istnieja punkty 0 = t 0 < t 1 <... < t n = 1 takie, że obciecie γ [ti,t i+1 ], i = 1,..., n 1 jest klasy C 1. Niech U C bedzie zbiorem otwartym oraz niech f : U C bedzie odwzorowaniem ciag lym takim, że f(γ(t)) 0 dla t [0, 1]. Niech w : [0, 1] C bedzie odwzorowaniem danym wzorem w(t) := f(γ(t)) dla t [0, 1]. Logarytmem krzywej f γ nazywamy odwzorowanie L : [0, 1] C spe lniajace równość e L(t) = w(t) dla t [0, 1]. Argumentem krzywej f γ nazywamy odwzorowanie A : [0, 1] C dane wzorem Wówczas zachodzi równość Wynika stad, że A(t) = Im L(t) dla t [0, 1]. L(t) = ln w(t) + ia(t) dla t [0, 1]. L(1) L(0) = i(a(1) A(0)) gdyż w(0) = w(1). Ponieważ e L(1) = w(1) = w(0) = e L(0), mamy 1 2πi (L(1) L(0)) Z oraz 1 (A(1) A(0)) Z. 2π Indeksem odwzorowania f wzgledem krzywej γ nazywamy liczbe ca lkowita ind γ f dana jako ind γ f = 1 1 (L(1) L(0)) = (A(1) A(0)). 2πi 2π Interpretacja geometryczna: ind γ f zlicza ile razy wektor f(γ(t)) obróci sie o pe lny kat wokó l punktu 0 C gdy t [0, 1]. Twierdzenie 3.1. (Homotopijna niezmienniczość indeksu wzgledem krzywej) Niech f t : U C \ {0} bedzie homotopia odwzorowań ciag lych oraz niech γ : [0, 1] C bedzie krzywa zamkniet a taka, że γ([0, 1]) U. Wtedy dla każdych t 1, t 2 [0, 1] mamy ind γ f t1 = ind γ f t2. 4 Stopień Brouwera Niech f : S 1 S 1 bedzie odwzorowaniem ciag lym. Zauważmy, że S 1 jest obrazem krzywej γ 0 : [0, 1] C danej wzorem γ 0 (t) = e 2πit dla t [0, 1]. Ponadto f(z) 0 dla z S 1. Definiujemy stopień Brouwera deg B f odwzorowania f jako deg B f := ind γ0 f. 4

5 Rysunek 1: (A) ind γ f = 1, (B) ind γ f = 1, (C) ind γ f = 0, (D) ind γ f = 1, (E) ind γ f = 2 Twierdzenie 4.1. (Homotopijna niezmienniczość stopnia Brouwera) Niech f, g : S 1 S 1 bed a odwzorowaniami homotopijnymi. Wtedy deg B f = deg B g. Lemat 4.2. Niech m Z oraz niech f : S 1 S 1 b edzie dane wzorem f(z) = z m dla z S 1. Wtedy deg B f = m. Wniosek 4.3. Jeśli f : S 1 S 1 jest odwzorowaniem homotopijnie trywialnym, to deg B f = 0. 5 Zasadnicze twierdzenie algebry Twierdzenie 5.1. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Niech w(z) := a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, n 1, a i C, a n 0 b edzie wielomianem o wspó lczynnikach zespolonych. Wówczas istnieje liczba zespolona z 0 C taka, że w(z 0 ) = 0. Dowód. Niech 0 < ε < 1. Jeśli z = 1 oraz r > 0 jest dostatecznie duże, to n a i (rz) i < ε. Definiujemy odwzorowanie h : S 1 [0, 1] C wzorem ) n H(z, t) = (1 t)(rz) n + tw(rz) = (rz) (1 n + t a i (rz) i dla t [0, 1], z S 1. 5

6 Wtedy H(z, 0) = (rz) n oraz H(z, 1) = w(rz) dla z S 1. (z, t) S 1 [0, 1]. Rzeczywiście, jeśli H(z, t) = 0, to Ponadto H(z, t) 0 dla 1 = t n a i z i a to jest sprzecznościa gdyż wartość bezwzgledna prawej strony jest mniejsza od 1. Jeśli wielomian w nie mia lby pierwiastków, to w szczególności w(rz)/ w(rz) 0 dla z S 1. Zatem, korzystajac z podstawowego twierdzenia analizy nieliniowej otrzymujemy, że odwzorowanie g : S 1 S 1 sane wzorem g(z) = w(rz)/ w(rz) dla z S 1 jest homotopijnie trywialne i tym samym jego stopień Brouwera jest równy zero. Z drugiej strony deg B g = deg B H(1, )/ H(1, ) = deg B H(0, )/ H(0, ) = deg B z n = n > 1, co daje sprzeczność. 6

Podobne dokumenty

Grupy i cia la, liczby zespolone

Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n