Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych"

Maria Urbaniak
5 lat temu
Przeglądów:

1 Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011

2 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) : (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) elementem odwrotnym do elementu z = (a, b) jest z 1 = (a, b) a 2 +b 2 jest on określony dla każdego niezerowego z. i Zbiór par C z tak określonymi działaniami jest ciałem nazywanym ciałem liczb zespolonych.

3 Struktura ciała Liczby zespolone reprezentowane przez pary (a, 0) nazywamy rzeczywistymi, liczby zespolone reprezentowane przez pary (0, b) nazywamy urojonymi, Liczbę (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczmy jako i. Przy jej pomocy można zapisywać liczbę (a, b) jako a + bi

4 Struktura metryczna W zbiorze liczb zespolonych definiuje się funkcję : C [0, ) wzorem a + bi = a 2 + b 2 nazywaną modułem. Funkcja ta ma następujące własności: z 1 + z 2 z 1 + z 2 z = 0 z = 0 α R + αz = α z i jest normą (długością) w zbiorze liczb zespolonych. Odległość dwóch liczb zespolonych z 1 i z 2 definiujemy jako z 1 z 2. Struktura metryczna zbioru liczb zespolonych jest identyczna jak zbioru R 2 wyposażonego w metrykę euklidesową.

5 Struktura metryczna Dalsze własności modułu: z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 0 z 1 z 2 = z 1 z 2 Zdefiniujmy funkcje: { Re : C R Re(a + bi) = a Im : C R Im(a + bi) = b Re(z), Im(z) z = Re 2 (z) + Im 2 (z) Re(z) + Im(z) ( ) Re(z) 2 ( ) z + Im(z) 2 z = 1

6 Moduł i argument ( ) Re(z) 2 ( ) Im(z) 2 + = 1 z z { Re(z) = z cos φ Im(z) = z sin φ Sprzężenie zespolone: z = a + bi = z e iφ z = a bi = z e iφ z = z (cos φ + i sin φ) = z e iφ Mnożenie dwóch liczb zespolonych: z 1 z 2 = z 1 z 2 e i(φ 1+φ 2 ) Dzielenie dwóch liczb zespolonych: z 1 = z 1 z 2 z 2 ei(φ 1 φ 2 )

7 Funkcje zmiennej zespolonej Funkcja zespolona f : C C odwzorowuje punkty płaszczyzny zespolonej w punkty płaszczyzny zespolonej. (Cztery wymiary do narysowania wykresu!) Funkcję można potraktować jako funkcję R 2 R 2 : [ ] fr (x, y) f (x + iy) = f i (x, y) f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z i

8 Pochodna zespolona Ciąg liczb zespolonych z n jest zbieżny do granicy z 0 z n z 0 0 (jak dla ciągów w R 2 ) Pochodną zespoloną definiujemy jako granicę funkcji f (z 0 ) = lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeżeli ta granica istnieje jej wartość jest niezależna od drogi po jakiej z zbiega do z 0. (definicja Heinego istnienia granicy funkcji, tutaj ilorazu różnicowego)

9 Warunek konieczny różniczkowalności f (z) f (z 0 ) lim z z 0 z z 0 f r (z) f r (z 0 ) = lim z z0 z z 0 + i lim z z0 f i (z) f i (z 0 ) z z 0 Zapiszmy z = x + iy i rozważmy dwie drogi podchodzenia do punktu z 0. Jedną przy ustalonym x (części rzeczywistej), drugą przy ustalonym y (części urojonej). f r (x 0, y) f r (x 0, y 0 ) f i (x 0, y) f i (x 0, y 0 ) lim + i lim y y 0 i(y y 0 ) y y 0 i(y y 0 ) = i f r y (x 0, y 0 ) + f i y (x 0, y 0 ) f r (x, y 0 ) f r (x 0, y 0 ) f i (x, y 0 ) f i (x 0, y 0 ) lim + i lim x x 0 x x 0 x x0 x x 0 = f r x (x 0, y 0 ) + i f i x (x 0, y 0 )

10 Warunek konieczny różniczkowalności Warunki Cauchy ego-riemanna: f r x = f i y f i = f r x y Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie z 0, to pochodne cząstkowe jej części rzeczywistej i urojonej po rzeczywistej i urojonej części argumentu spełniają warunki Cauchy ego-riemanna

11 Warunek konieczny różniczkowalności Przykład: Niech f (z) = z. [ x f (x,y) f = r y f r x f i y f i ] = [ ] Funkcja nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Podobnie każda funkcja odwołująca się do sprzężenia czy do części rzeczywistej lub urojonej (sprawdzić jako proste ćwiczenie).

12 Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0

13 Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 Dowód: Obliczmy przyrost składowej f r, gdy z = x + i y: f r = f r (x 0 + x + i(y 0 + y)) f r (x 0 + iy 0 ) = f r (x 0 + x + i(y 0 + y)) f r (x 0 + iy 0 + i y) + f r (x 0 + iy 0 + i y) f 1 (x 0 + iy 0 ) = y f r (x 0 + x + iy 0 ) y + ɛ ry y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x + ɛ ry y Gdzie ɛ ry, ɛ rx 0 dla y, x 0 (użycie rozwinięcia w szereg możliwe dzięki ciągłości pochodnej w z 0 )

14 Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 Dowód: Ponieważ y f r (x 0 + x + iy 0 ) = y f r (x 0 + iy 0 ) + ɛ r0, gdzie ɛ r0 0 dla x 0 można to zapisać: f r = y f r (x 0 + iy 0 ) y + (ɛ ry + ɛ r0 ) y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x

15 Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 Dowód: Ponieważ y f r (x 0 + x + iy 0 ) = y f r (x 0 + iy 0 ) + ɛ r0, gdzie ɛ r0 0 dla x 0 można to zapisać: f r = y f r (x 0 + iy 0 ) y + (ɛ ry + ɛ r0 ) y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x i tak samo dla przyrostu składowej urojonej: f i = y f r (x 0 + iy 0 ) y + (ɛ iy + ɛ i0 ) y + x f i (x 0 + iy 0 ) x + ɛ ix x

16 Warunek dostateczny różniczkowalności Otrzymujemy w efekcie: f = f 1 + i f 2 = y f r (x 0 + iy 0 ) y + ɛ ry y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x + i ( y f i (x 0 + iy 0 ) y + ɛ iy y + x f i (x 0 + iy 0 ) x + ɛ ix x) Ponieważ spełnione są warunki Cauchy ego-riemanna: f = x f r (x 0 + iy 0 )( x + i y) + (ɛ rx + ɛ ix ) x + i x f i (x 0 + iy 0 )( x + i y) + ( ɛ iy + i ɛ ry ) y [ ] Stąd: f z = xf r (z 0 ) + i x f i (z 0 ) + x z (ɛ rx + ɛ ix ) + y z ( ɛ iy + i ɛ ry ) Ponieważ w ostatnim składniku moduły ułamków są zawsze mniejsze od 1, zmierza on do zera, gdy x, y 0 (z własności epsilonów).

17 Warunek dostateczny różniczkowalności Robiąc przejście graniczne z 0 otrzymujemy: f (z 0 ) = x f r (z 0 ) + i x f i (z 0 ), co odpowiada granicy uzyskiwanej przy zmierzaniu do z 0 przy ustalonej częsci urojonej argumentu. Wynik ten uzyskaliśmy nie zakładając nic o drodze po jakiej z zmierza do z 0, zatem granica ta jest taka sama dla wszystkich ciągów zbieżnych do z 0, zatem funkcja jest różniczkowalna w z 0.

18 Funkcje holomorficzne Definicja: Holomorficzność funkcji Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z 0, jeżeli różniczkowalna w sensie zespolonym na pewnym otoczeniu otwartym punktu z 0. Przykład: f (z) = z. Zapiszmy tą funkcję jako funkcję rzeczywistą o dwóch składowych dwóch zmiennych rzeczywistych: f (x + iy) = x + iy f r (x, y) = x, f i (x, y) = y [ ] 1 0 f = 0 1 Ćwiczenie: Funkcja stała jest holomorficzna Warunki C-R są spełnione. Pochodne są stałe, zatem są ciągłe. Funkcja jest wszędzie różniczkowalna, zatem wszędzie holomorficzna.

19 Funkcje holomorficzne Przykład: f (z) = 1 z. x f r (x) = x 2 + y 2 f i (y) = y x 2 + y 2 f = y 2 x 2 2xy (x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2 2xy y 2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2 Warunki C-R są spełnione, a pochodne są ciągłe wszędzie poza punktem 0. Funkcja jest holomorficzna wszędzie poza punktem 0.

20 Funkcje holomorficzne Twierdzenie: Suma, różnica i iloczyn funkcji holomorficznych są holomorficzne Wniosek: (z holomorficzności funkcji f(z)=z i twierdzenia) n 1 funkcja z n jest holomorficzna Wniosek: Dowolny wielomian jest funkcją holomorficzną.

21 Funkcje holomorficzne Fakt: Funkcja wykładnicza jest funkcją holomorficzną. e z = z n n=0 n!. Szereg ten jest zbieżny dla każdego z. Różniczkując ten szereg po z dostaniemy ten sam szereg, zatem dla każdego z pochodna zespolona istnieje. Wniosek: Funkcje trygonometryczne są holomorficzne. Jako kombinacje funkcji wykładniczych.

Podobne dokumenty

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja