Kolorowa płaszczyzna zespolona

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kolorowa płaszczyzna zespolona"

Bernard Stankiewicz
4 lat temu
Przeglądów:

1 Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64

2 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek i 2 = 1. Inaczej i = 1. Liczbami zespolonymi nazywamy obiekty postaci a + bi, gdzie a R, b R. p. 2 of 64

3 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek i 2 = 1. Inaczej i = 1. Liczbami zespolonymi nazywamy obiekty postaci a + bi, gdzie a R, b R. Równanie x = 0 ma w liczbach zespolonych dwa rozwiązania: x = i oraz x = i. p. 3 of 64

4 Zespolone pierwiastki wielomianów Wielomian x 3 1 ma jeden pierwiastek rzeczywisty. (x 3 1) = (x 1)(x 2 + x + 1) Wyznaczymy jego pierwiastki zespolone: x 2 + x + 1 = 0 ( 1) 2 3 x = 0 ( 1) 2 3 x + = 2 4 x = 3 1 lub x = 1 2 x = i lub x = i 2. p. 4 of 64

5 Działania na liczbach zespolonych Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i Mnożenie (a + bi) (c + di) = ac + bdi 2 + (ad + bc)i p. 5 of 64

6 Działania na liczbach zespolonych Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i Mnożenie (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i p. 6 of 64

7 To istotnie są pierwiastki (z 1) (z )(z 2 i ) i 2 ( ( 1 3 = (z 1) z 2 + z 2 i i 2 = (z 1) ( z 2 + z ) = z 3 1. ) + ( 1 2 i 3 2 )( 1 3 )) 2 + i 2 p. 7 of 64

8 To istotnie są pierwiastki (z 1) (z )(z 2 i ) i 2 ( ( 1 3 = (z 1) z 2 + z 2 i i 2 = (z 1) ( z 2 + z ) = z 3 1. Jeszcze jeden przykład: z =(z 2 i)(z 2 + i) ) + ( 1 2 i 3 2 )( 1 3 )) 2 + i 2 =(z + (a + bi))(z (a + bi))(z i(a + bi))(z + i(a + bi)), p. 8 of 64

9 To istotnie są pierwiastki (z 1) (z )(z 2 i ) i 2 ( ( 1 3 = (z 1) z 2 + z 2 i i 2 = (z 1) ( z 2 + z ) = z 3 1. Jeszcze jeden przykład: z =(z 2 i)(z 2 + i) ) + ( 1 2 i 3 2 )( 1 3 )) 2 + i 2 =(z + (a + bi))(z (a + bi))(z i(a + bi))(z + i(a + bi)), gdzie (a + bi) 2 = i, czyli a 2 + 2abi b 2 = i p. 9 of 64

10 Twierdzenie (Najmocniejsze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia n ma n pierwiastków zespolonych (liczonych z krotnościami). Twierdzenie (Najmocniejsze twierdzenie algebry) Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych można przedstawić jako iloczyn jednomianów (o współczynnikach zespolonych). p. 10 of 64

11 Płaszczyzna zespolona Dla każdej liczby zespolonej z = a + bi określamy: Część rzeczywistą: Rez = a, Część urojoną: Imz = b. Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na płaszczyźnie p. 11 of 64

12 Dodawanie liczb zespolonych a + bi + c + di = a + c + (b + d)i p. 12 of 64

13 Postać trygonometryczna liczby zespolonej z moduł odległość od początku układu współrzędnych z = a 2 + b 2. ϕ = argz argument liczby zespolonej p. 13 of 64

14 Postać trygonometryczna liczby zespolonej z = a 2 + b 2. z = a+bi = ( a 2 + b 2 a a 2 + b + b ) 2 a 2 + b i = z ( cos ϕ+i sin ϕ ) 2 p. 14 of 64

15 Mnożenie liczb zespolonych - postać trygonometryczna z 1 z 2 = z 1 (cos α + i sin α) z 2 (cos β + i sin β) = z 1 z 2 ( ) cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) = z 1 z 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ) p. 15 of 64

16 Mnożenie liczb zespolonych - postać trygonometryczna z 1 z 2 = z 1 (cos α + i sin α) z 2 (cos β + i sin β) = z 1 z 2 ( ) cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) = z 1 z 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ) p. 16 of 64

17 Mnożenie liczb zespolonych - postać trygonometryczna z 1 z 2 = z 1 (cos α + i sin α) z 2 (cos β + i sin β) = z 1 z 2 ( ) cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) = z 1 z 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ) p. 17 of 64

18 Potęgowanie liczb zespolonych z 2 = z 2( cos(2α) + i sin(2α) ) p. 18 of 64

19 Potęgowanie liczb zespolonych z 3 = z 3( cos(3α) + i sin(3α) ) p. 19 of 64

20 Kolorowanie płaszyczyzny zespolonej p. 20 of 64

21 Kolorowanie płaszyczyzny zespolonej p. 21 of 64

22 Kolorowanie płaszyczyzny zespolonej identyczność p. 22 of 64

23 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 23 of 64

24 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 24 of 64

25 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 25 of 64

26 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 26 of 64

27 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 27 of 64

28 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 28 of 64

29 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 29 of 64

30 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 30 of 64

31 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 31 of 64

32 Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 32 of 64

33 Kolorowy wykres: f (z) = z 2 p. 33 of 64

34 Kolorowy wykres: f (z) = z 2 p. 34 of 64

35 Kolorowanie płaszczyzny: f (z) = z 3 p. 35 of 64

36 Kolorowanie płaszczyzny: f (z) = z 3 p. 36 of 64

37 Kolorowanie płaszczyzny: f (z) = z 2 1 p. 37 of 64

38 Kolorowy wykres: f (z) = z 2 1 p. 38 of 64

39 Jakiego stopnia to wielomian? p. 39 of 64

40 f (z) = z 3 1 p. 40 of 64

41 f (z) = z 3 1 p. 41 of 64

42 Co możemy powiedzieć o tym wielomianie? p. 42 of 64

43 f (z) = (z 1) 2 (z + 1)(z i 1) p. 43 of 64

44 A cóż to za wielomian? p. 44 of 64

45 Kolorowy wykres: f (z) = (z 1) 2 (z i 1) p. 45 of 64

46 Sprzężenie i dzielenie Liczba sprzężona do z = a + bi to Dzielenie liczb zespolonych: z = a + bi = a bi. a + bi c + di = a + bi c + di c di c di = (a + bi)(c di) c 2 + d 2 p. 46 of 64

47 Sprzężenie i dzielenie Liczba sprzężona do z = a + bi to Dzielenie liczb zespolonych: z = a + bi = a bi. Inaczej: a + bi c + di = a + bi c + di c di c di = z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 2. (a + bi)(c di) c 2 + d 2 p. 47 of 64

48 Sprzężenie i dzielenie Liczba sprzężona do z = a + bi to Dzielenie liczb zespolonych: Inaczej: a + bi c + di W szczególności: z = a + bi = a bi. = a + bi c + di c di c di = z 1 z 2 = z 1z 2 z z = z z 2. (a + bi)(c di) c 2 + d 2 p. 48 of 64

49 Kolorowanie: z i z p. 49 of 64

50 f (z) = z 2 p. 50 of 64

51 f (z) = z 2 p. 51 of 64

52 Kolorowanie: funkcja wymierna p. 52 of 64

53 Kolorowanie: funkcja wymierna f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z i p. 53 of 64

54 Wykres funkcji wymiernej f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z i p. 54 of 64

55 Wykres funkcji wymiernej f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z 2 p. 55 of i

56 Jakiej funkcji to może być wykres? p. 56 of 64

57 p. 57 of 64

58 f (z) = z p. 58 of 64

59 Jakiej funkcji to może być wykres? p. 59 of 64

60 Rzut z góry p. 60 of 64

61 p. 61 of 64

62 f (z) = 3 z p. 62 of 64

63 Obraz kontrolny p. 63 of 64

64 Obraz kontrolny f (z) = e z = e a+bi = e a e bi = e a (cos b + i sin b) p. 64 of 64

Podobne dokumenty

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +