Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka liczby zespolone. Wykład 1"

Edyta Walczak
8 lat temu
Przeglądów:

1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce

2 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich. Zbiór C ={ -,-1,0,1,, } nazywamy zbiorem Liczb całkowitych. Zbiór C + ={1,,3, } nazywamy zbiorem liczb całkowitych dodatnich. Zbiór C - ={ -3,-,-1} nazywamy zbiorem liczb całkowitych ujemnych. Liczbę nazywamy wymierną (w) jeżeli da się ją przedstawić jako ułamek p/q gdzie p C, q C i q 0. Zbiór W liczb wymiernych można przedstawić w postaci: W={x: x=p/q Λ p C Λ q C \ {0}}. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego okresowego. Liczbę nazywamy niewymierną (nw) jeżeli nie da się jej przedstawić jako ułamka p/q gdzie p C, q C i q 0. Przykłady takich liczb to π,. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy NW.

3 Liczby rzeczywiste W C N NW R W NW = R W NW = Ø N C W W R, NW R

4 Liczby zespolone Liczbę zespoloną (z) nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a,b). Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci: Z={z=(a,b) a,b R}. Liczbę zespoloną z=(a,b) możemy przedstawić na płaszczyźnie w postaci punktu (x,y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną. Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i. Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci: z=x+iy gdzie x,y R. Ten sposób przedstawienia liczby zespolonej nazywa się postacią algebraiczną. Jeżeli x+iy jest postacią algebraiczną liczby zespolonej wówczas x jest częścią rzeczywistą (z łac. Realis) a y jest częścią urojoną (z łac. Imaginalis). Re (z) x Im (z) y

5 Działania na liczbach zespolonych równość, dodawanie i mnożenie możemy przedstawić ww sposób następujący: a, b c, d a c b d a, b c, d a c, b d a, b c, d ac bd, ad bc Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Przykład: (,-1) i (3,7) (, -1) + (3, 7) = ( + 3, ) = (5, 6) (, -1)(3, 7) = = (13, 11)

6 Działania na liczbach zespolonych Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych. (x,y) = (a,b) (c,d) (x,y) + (c,d) = (a,b) Z definicji dodawania i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy x + c = a i y +d = b, czyli (a, b) - (c, d) = (a - c, b d) Przykład: (,-1) (3,7) = ( 3, -1-7) = (-1,-8).

7 Działania na liczbach zespolonych Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia. Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych. (x, y) = (a,b)/(c,d) (x, y)(c, d) = (a, b) Z definicji mnożenia i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy cx dx dy cy a b Układ ten jest jednoznacznie rozwiązalny, gdy wyznacznik tego układu jest różny od zera, czyli gdy liczba zespolona (c, d) nie jest zerem. Stąd a, b c, d ac c bd ad bc, d c d

8 Jedynka urojona i=(0,1) nazywamy także jedynką urojoną. Urojona dlatego że: i =-1 ponieważ (a,b) (c,d)=(ac-bd,ad+bc) i i=(0,1) (0,1)=(-1,0)=-1 gdy tymczasem nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną! Ponieważ (a, b) = (a, 0) + (0, b) oraz (0, b) = (0, 1)(b, 0) możemy liczbę zespoloną (a, b) zapisać w postaci kanonicznej Gaussa a + bi

9 Postać graficzna liczby zespolonej

10 Oczywiście jeżeli z 1 =z wtedy Re(z 1 )=Re(z ) i Im(z 1 )=Im(z ).

11 Działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej a ib c id a c ib d a ib c id a c ib d a ibc id ac ac bd iad bc ( a ib) /( c id) ( ac c iad ibc i bd) d ( bc c bd ad) d

12 Interpretacja geometryczna dodawania i odejmowania Dodawanie liczb zespolonych = dodawanie wektorów Odejmowanie liczb zespolonych = odejmowanie wektorów i y y x x i y x i y x z z i y y x x i y x i y x z z

13 Moduł liczby zespolonej Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym przez z, nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby: z a b Przykład: 3 4i 3 4 5, 1 1, i 1, 0 0.

14 Moduł liczby zespolonej Liczbą sprzężoną z liczbą z=a+bi nazywamy liczbę postaci a-bi oraz oznaczamy jako: Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą, nazywamy liczbami sprzężonymi. WNIOSKI Liczby sprzężone mają równe moduły, z a Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu zz z bi z z a b a bia bi

15 sprzężenie liczby zespolonej postać graficzna

16 Argument liczby zespolonej Argumentem liczby z=x+yi 0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą φ, spełniającą dwa warunki: cos x z, sin y z Gdzie: z x y 0 Argument główny liczby z argument liczby z, który należy do przedziału (-π, π>.

17 Moduł i argument liczby zespolonej Moduł liczby zespolonej długość wektora wodzącego punktu odpowiadającego tej liczbie (interpretacja geometryczna). Argument liczby zespolonej - miara względna kąta, jaki tworzy wektor wodzący punktu z z osią rzeczywistą (interpretacja geometryczna).

18 Moduł różnicy liczb zespolonych Moduł różnicy dwóch liczb zespolonych z 1 i z jest długością odcinka łączącego punkty z 1 i z na płaszczyźnie zespolonej.

19 Postać trygonometryczna liczby zespolonej z r cos i sin r moduł liczby zespolonej φ - argument liczby zespolonej 1. Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów. Argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy sumie ich argumentów 3. Moduł ilorazu liczb zespolonych jest równy ilorazowi ich modułów 4. Argument ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy różnicy ich argumentów

20 Własności działań na liczbach zespolonych Jeśli z 1, z i z 3 są dowolnymi liczbami zespolonymi wówczas prawdziwe są następujące własności: 1. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne z 1 +z =z +z 1. Dodawanie liczb zespolonych jest łączne (z 1 +z )+z 3 =z 1 +(z +z 3 ) 3. Dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona 0 tj. (0,0) spełnia równość z+0=z 4. Dla każdej liczby zespolonej z(x,y) liczba zespolona z(-x,-y) spełnia równość: z+(-z)=0 5. Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne: z 1 *z =z *z 1

21 Własności działań na liczbach zespolonych 6. Mnożenie liczb zespolonych jest łączne (z 1 *z )*z 3 =z 1 *(z *z 3 ) 7. Dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona 1 tj.(1,0) spełnia równość z*1=z 8. Dla każdej liczby zespolonej z(x,y) 0 liczba zespolona 1/z 1 z = x x + y, y x + y spełnia równość: 1/z*z=1 9. Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania: z 1 *(z +z 3 )=z 1 *z +z 1 *z 3

22 Tematyka dalszych wykładów Macierze, Macierz odwrotna Wyznaczniki Układy równań liniowych Ciągi liczbowe Rachunek rożniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

23 Zalecana literatura 1. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 008. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, wyd. XII, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowania w naukach ekonomicznych, Wydawnictwo AE, Poznań 1993

Podobne dokumenty

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +