1. Liczby zespolone i

Transkrypt

1 Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich liczb x, y R zachodzą równości: (a) ( + yi)(x i) = 7 i; (b) + yi = i ; x i (c) ( + i)x ( + i)x + ( + i)y ( + i) = i? Zadanie W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: (a) z + z = z i; (b) + i = i ; z z + i (c) z + 4i = i z + i ; (d) z 4z + = 0; (e) z + z + = 0; (f) 4z = z + 4; (g) zz + ( i)z = zi; (h) ( + i)z + z = z + + i; (i) z( z + ) im( z) + 4i 6 = i +i ; (j) z + z = (imz) + i; (k) i z + 5 = z + i i; (l) z ( + i)z i = 0; (m) z 5z i = 0; (m) z 4 + z + = 0; (o) z 4 z + 4 = 0; (p) (z + 8)(z + i ) = 0; (r) (z + i )(z + 7) = 0; (s) z i = 0; (t) z + i = 0; (u) z + = 0 Zadanie 4 Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki: (a) z z = 5 z + z ; i (b) re (iz + ) 0; (c) im (z ) < 0; (d) z i = z ; (e) 4 z = z; (f) z z + (5 + i) z + = 0; (g) im + iz iz = ; (h) re z + zi > ; (i) z + i = ; (j) z + i < 4; (k) z + z i ; (l) π 6 < Arg z π ; (m) Arg(z + i) = π; (n) π Arg[( + i)z] π; ( ) i (o) Arg = π z 4 ; (p) Arg( + i) Arg z Arg(--i) Zadanie 5 Obliczyć: c Izolda Gorgol, Ewa Łazuka, Politechnika Lubelska

2 (a) ( + i) 7 ; ( ) (b) i ; (c) ( + i) 004 ; ( (d) ) 9 i ; LICZBY ZESPOLONE ( ) 6 (e) i ; ( (f) ) i ; (g) ( i ) 5 ( + i) 0 ; ( (h) + cos π i sin π ) 6 Zadanie 6 Obliczyć: (a) ; (b) ; (c) 4 ; (d) i; (e) i; (f) 4 i ; (g) 4 + i Zadanie 7 (a) Obliczyć w = ( + i) 4 (b) Wyznaczyć w Zadanie 8 (a) Obliczyć w = ( i) 0 (b) Wyznaczyć w Zadanie 9 Liczba i jest jednym z pierwiastków stopnia z liczby zespolonej z Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z Sporządzić rysunek Zadanie 0 Dane jest równanie: ( ) z z = + i (a) Znaleźć liczbę (z ) 98, gdzie z jest pierwiastkiem równania ( ) takim, że re z < (b) Korzystając z definicji pierwiastka, znaleźć z, gdzie z jest tym pierwiastkiem ( ), że re z > Zadanie Znaleźć liczbę z 5 0, gdy z 0 jest pierwiastkiem równania: z z = + i Zadania dodatkowe Zadanie Niech u = z, v = z + 4 z i, w = z, dla których: z Narysować zbiór wszystkich liczb zespolonych iz + 4 (a) liczba u jest rzeczywista; (b) liczba u jest czysto urojona; (c) liczba v jest rzeczywista; (d) liczba v jest czysto urojona; (e) liczba w jest rzeczywista; (f) liczba w jest czysto urojona Zadanie Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : re[(z + )( z )] 8 z + + i π } Arg (zi) π Zadanie 4 Przedstawić interpretację geometryczną zbioru A = z C: re(z ) = [im(z + i)] = }

3 LICZBY ZESPOLONE Zadanie 5 Przedstawić interpretację geometryczną zbioru B = z C: z i Arg(z + ) π } Zadanie 6 Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym, dla których z + ( + i)z jest liczbą czysto urojoną Zadanie 7 Podać interpretację geometryczną zbioru B = z C: z + re z < } Zadanie 8 Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C: Zadanie 9 Obliczyć i +i z + i z + i π Arg z i π }

4 MACIERZE I WYZNACZNIKI 4 Macierze i wyznaczniki Zadanie Rozwiązać równanie macierzowe: + X = 0 Zadanie Rozwiązać równanie macierzowe: ( ) i X + i i = X I i Zadanie Obliczyć następujące iloczyny:, , Napisać macierze transponowane do otrzymanych macierzy 0 Zadanie 4 Dane są macierze : A = oraz B = 0 0 Które z iloczynów A B T, BA, B A, B T A istnieją? Odpowiedź uzasadnić Obliczyć te iloczyny, które istnieją Zadanie 5 Obliczyć następujące wyznaczniki: i i i + i 0 sin x ctg x sin x 0 sin x ctg x sin x 0, , 0 0 0, Zadanie 6 Dla jakich x R odwracalna jest macierz A = 0 x? x + Zadanie 7 Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy Zadanie 8 W zbiorze wszystkich macierzy nieosobliwych dana jest funkcja f taka, że jeśli X jest taką właśnie macierzą to: f(x) = X X + X Obliczyć wartość tej funkcji dla X = 0 Zadanie 9 Znaleźć macierz X spełniającą równanie AXB + C = D, gdy 0 0 A =, B =, C =, D = 0

5 Zadanie 0 Dla jakich z C odwracalna jest macierz A = Wyznaczyć A dla z = i MACIERZE I WYZNACZNIKI 5 ********************************* z z z z? z z Zadanie Obliczyć wyznaczniki (a) , (b) 4 0, (c) (a) 7 5, (b) 060, (c) 060 Zadanie Znaleźć macierz X spełniającą równanie AXB + C = D, gdy 0 A =, B =, C =, D = 0 Zadanie Znaleźć macierz X spełniającą równanie AXB + C = D, gdy 0 A =, B =, C =, D = 0 Zadanie 4 Obliczyć wartość funkcji f : X X X + 5X, gdy X = Zadanie 5 Niech f(x) = I + X I X oraz A B = A B A =? [ 5 X=[ 7 ] Czy istnieje [f(a)], gdy: ] 5 X = 6 6 f(x) = 4 9 Nie istnieje, gdyż det f(a) = 0 Zadanie 6 W zbiorze wszystkich macierzy nieosobliwych dana jest funkcja f taka, że jeśli X jest taką właśnie macierzą to: f(x) = X X + X Obliczyć wartość tej funkcji, gdy X = f(x) =

6 Zadanie 7 Znaleźć macierz odwrotną do macierzy A = Zadanie 8 Znaleźć macierz odwrotną do macierzy B = MACIERZE I WYZNACZNIKI 6 5 i + i + i i i i 4 + i + i [ B = Zadanie 9 Znaleźć macierz X spełniającą równanie: AX + B = C, gdzie A =, B = 0, C = [ A i = 4 + i i i i 0 0 i i X = ] ] i Zadanie 0 W zbiorze wszystkich macierzy nieosobliwych dana jest funkcja f taka, że jeśli X jest taką właśnie macierzą to: f(x) = X +X X Obliczyć wartość tej funkcji, gdy X = f(x) = a b c Zadanie Wyznaczyć macierz X, jeżeli X = b c a spełnia równanie X 0 + b a c = 4 0 X = Zadanie Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie: AX B = C, gdzie A =, B =, C = Macierz jest nieosobliwa dla z C \, } A = X = z Zadanie Dla jakich z C macierz 0 + z 0 jest nieosobliwa? Obliczyć A dla z = i z 0 i 0 0 i 0 i 0

7 WIELOMIANY 7 Wielomiany Zadanie Dla jakich wartości a oraz b wielomian ax + bx 7x + 0 jest podzielny przez wielomian x 5x + 6? Zadanie Dla jakich wartości p oraz q wielomian x 4 + px + q jest podzielny przez wielomian x + x + 5? Zadanie Dla jakich wartości a oraz b liczba - jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu x 4 + bx + x + ax +? Zadanie 4 Liczba x = + i jest jednym z pierwiastków wielomianu w(x) = x 4 + bx + c, gdzie b, c R Wyznaczyć współczynniki b i c oraz rozłożyć otrzymany wielomian na rzeczywiste czynniki nierozkładalne Zadanie 5 Rozwiązać równanie: (a) 7x 9x x + = 0, (b) x 4 x 8x + x + 6 = 0, (c) x 5 x 4 x + 6x + 6x 7 = 0, (d) x 5 8x 4 45x + 45x + 8x = 0, (e) x 5 x 4 x + 5x x = 0, (f) x 6 x 4 + 4x 8 = 0, (g) x 4 x x + 6x 4 = 0, (h) x 5x + x 5 = 0 Zadanie 6 Wiedząc, że z jest pierwiastkiem wielomianu w(z), obliczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu: (a) w(z) = z 4 + z + 9z + 8 z + 0, z = i, (b) w(z) = z 4 z + z + 9z 0, z = + i, (c) w(z) = z 4 + z + z + z +, z = i, (d) w(z) = z 4 5z + 0z 0z + 4, z = + i, (e) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0, z = + i, (f) w(z) = z 4 z + 8z 6z + 5, z = i, (g) w(z) = z 4 6z + 8z 0z + 5, z = i Zadanie 7 Obliczyć pierwiastki wielomianu w(z): (a) w(z) = z 4 0z + 0z, (b) w(z) = 5z 9z 8z + 40, (c) w(z) = z 4 z + z + z, (d) w(z) = z + 7z + 7z + 6, (e) w(z) = z + 9z + 9z 0, (f) w(z) = z 6 + z 4 + z 4, (g) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0, (h) w(z) = z z + 6, (i) w(z) = z 5 z 4 + z z + z, (j) w(z) = z 5 z 4 z + z z + Powyższe wielomiany rozłożyć na: (a) nierozkładalne czynniki rzeczywiste, (b) czynniki liniowe

8 4 UK ADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8 Zadanie 4 Rozwiązać układ równań: x + x x = 4 x x + x = 7 x + x x = 4 Układy równań liniowych Zadanie 4 W zależności od parametrów a R i b R podać warunki rozwiązalności układu x y + z = b równań: 5x 8y + 9z = x + y + az = Zadanie 4 Dla jakich wartości parametru k R układ równań x + ky z = 0 x + y + z = 0 x + ky z = 0 ma rozwiązanie niezerowe? Wyznaczyć to rozwiązanie Zadanie 44 W zależności od parametru a przedyskutować rozwiązalność układu równań: x y + z + t = 6x + 5y 4z = 0 x + y + az = 0 x y + z t = Zadanie 45 Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać następujące układy równań: x + y + z + t = y z t = x + y + z t = x + y z t = 4 (), (), x + y + t = x z + t = x y + z + t = x + y z = x + y z + t = x y + z + t + u = x 5y + z t = 5 6x y + z + 4t + 5u = (), (4) x y + z = 6x y + 4z + 8t + u = 9 x + z t = 0 4x y + z + t + u = ************* Zadanie 46 Dla jakich wartości parametrów a i b zbiór rozwiązań układu równań: 9x + ay + z = 5x 8y + 9z = b x + y z = jest zbiorem niepustym? Zadanie 47 W zależności od parametru a przedyskutować rozwiązalność układu równań: ( + a)x ay = + a ax () + x ax = 0 ax + ( a)y = a () x + ax x = a x + y z = a x + x x = () x + ay + z = 0 x + ax + ax = a x + y az = a (4) ax + x + ax = ax + ax + x =

9 (5) (6) 4 UK ADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 9 x + y z = 5x y + z + 4t = ay + (a + )z = 4x y + z + 7t = (7) x + 5y = 8x 6y z 5t = 9 x + y + z = 0 7x y + 7z + 7t = a x y + z = 0 x + y + 5z + 4t = x 8y + az = 0 x + y + 6z + 8t = 5 (8) x + 6y + 9z + 0t = 4x + y + 4z + at = Zadanie 48 Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać następujące układy równań: x + x x = 4 x + z t + u = () x x + x = 7 y + z u = 0 (7) x + x x =, x + 5u = x + y + z t = 5, x y + z + t = 0 x + y z t = 4 x + y z = () x z + t = x + y + z t = 0 (8) x + y z = x + 4y t =, y z t =, x + 4y z = 0 x z = () x + y + z = 0 x + y + z = 8 (9) x + 4y z = 0, x + 5z t = z t =, x y + z + t = 6x + 5y 4z = 0 x x + x x 4 = 0 (4) (0) x x + y + z = 0 + x x + x 4 = x x y + z t =, + x x + x 4 =, x x + 5x + 4x 4 = x + y + z + t = () 6x + 4x + 4x + x 4 = x z + t = (5) 9x 6x + x + x 4 = 4, x + y + t = 4x + y + z t = 0, x x + x = x () + x 5x = 0 y + z t = 4x x + x = x + y + z = x + x x = 6, (6) x y z t = x x + x 7x 4 = 5 x + y + z t = 0, () 6x x + x 4x 4 = 7 4x x + 4x x 4 = 8,

10 5 STRUKTURY ALGEBRAICZNE 0 5 Struktury algebraiczne Zadanie 5 Wykazać, że para (F, ), gdzie F jest zbiorem funkcji różnowartościowych (f : R R), zaś operacją składania funkcji, tworzy grupę Zadanie 5 Niech M n będzie zbiorem macierzy kwadratowych stopnia n, M n będzie zbiorem nieosobliwych macierzy kwadratowych stopnia n, zaś +, odpowiednio dodawaniem i mnożeniem macierzy Wykazać, że trójka (M n, +, ), tworzy pierścień z jednością, zaś trójka (M n, +, ) tworzy ciało (nieprzemienne) Zadanie 5 Dla dowolnych liczb wymiernych x, y określamy działania x y i x y w następujący sposób: x y = x + y + oraz x y = x + y + xy Sprawdzić, czy trójka (Q,, ) jest ciałem ************ Zadanie 54 Wykazać, że para (O, ), gdzie O jest zbiorem obrotów płaszczyzny o ustalonym środku O, zaś operacją składania obrotów, tworzy grupę Zadanie 55 Wykazać, że para (T, ), gdzie P jest zbiorem translacji płaszczyzny, zaś operacją składania translacji, tworzy grupę Zadanie 56 Sprawdzić, że zbiór liczb zespolonych C wraz z dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych ma strukturę ciała Zadanie 57 W zbiorze A =, ) określamy działanie Zbadać, czy (A, ) jest grupą a b = ab a b + Zadanie 58 Niech A = x R : x = p s p, s Z s > 0} Wykazać, że zbiór A wraz z działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych tworzy pierścień Czy pierścień ten jest ciałem? Zadanie 59 Niech (K, +, ) będzie ciałem Czy zbiór par (a, b) elementów ciała K wraz z działaniami tworzy ciało? (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, bd) Zadanie 50 W zbiorze Q par liczb wymiernych określone jest działanie (a, b) (c, d) = ( a + c +, b + d + bd ) Wyznaczyć, jeśli istnieją, element neutralny tego działania oraz element symetryczny dla dowolnego elementu z Q Zadanie 5 W zbiorze R określone jest następujące działanie Sprawdzić, czy (R, ) tworzy grupę (x, y ) (x, y ) = (x x y y, x y + x y ) Zadanie 5 W zbiorze R określone jest następujące działanie Sprawdzić, czy (R, ) tworzy grupę (x, x ) (y, y ) = (x y, x + y )

11 5 STRUKTURY ALGEBRAICZNE 50 Pierścienie Z p Zadanie 5 Znaleźć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich niezerowych elementów ciała K = (0,,,, 9, 0},, ) Zadanie 54 Znaleźć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich niezerowych elementów ciała K = (0,,,,, },, ) Zadanie 55 W pierścieniu Z rozwiązać układ równań x + y = 5 x y = 4 Zadanie 56 W pierścieniu Z 5 rozwiązać układ równań x + y = 6 x y = Zadanie 57 W pierścieniu Z 8 rozwiązać układ równań: x + y = 5 x y = Zadanie 58 W ciele GF (5) znaleźć pierwiastki równania x + x + = 0 Zadanie 59 W pierścieniu Z dany jest układ równań: x + y = a x y = Pamiętając, że działania występujące w układzie są działaniami z Z wyznaczyć te warości parametru a (a Z ), dla których układ ma rozwiązania, a następnie dla każdej z uzyskanych wartości parametru a znaleźć zbiory rozwiązań układu Zadanie 50 W Z rozwiązać układ równań x + z = x z = y + z = Zadanie 5 W Z 5 rozwiązać układ równań x + z = x z = y + z =