Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008

Transkrypt

1 Liczby zespolone Katarzyna Grabowska Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

2 Skąd się wzięły liczby zespolone? Muhammad ibn Musa al-khwarizmi Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

3 Skąd się wzięły liczby zespolone? Muhammad ibn Musa al-khwarizmi 780r Khiva (Uzbekistan) ok 850 Bagdad Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

4 Skąd się wzięły liczby zespolone? Muhammad ibn Musa al-khwarizmi 780r Khiva (Uzbekistan) ok 850 Bagdad Kitab al-jabr wa-l-muqabala The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

5 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania kwadratowe - metoda arabska. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

6 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania kwadratowe - metoda arabska. Matematycy arabscy nie używali liczb ujemnych i zera, dlatego wyróżniali kilka typów równań kwadratowych: x 2 + bx = c x 2 + c = bx x 2 = bx + c x 2 = bx x 2 = c Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

7 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania kwadratowe - metoda arabska. Matematycy arabscy nie używali liczb ujemnych i zera, dlatego wyróżniali kilka typów równań kwadratowych: x 2 + bx = c x 2 + c = bx x 2 = bx + c x 2 = bx x 2 = c zajmijmy się rozwiązywaniem równań pierwszego typu: A x 2 B 2 Bx B korzystamy z obrazka x = A B, A 2 = x 2 + B 2 + 2Bx A 2 B 2 = x 2 + 2Bx x porównujemy z równaniem b = 2B c = A 2 B 2 = B = b 2, A = c + b2 4 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

8 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania kwadratowe - metoda arabska. Matematycy arabscy nie używali liczb ujemnych i zera, dlatego wyróżniali kilka typów równań kwadratowych: x 2 + bx = c x 2 + c = bx x 2 = bx + c x 2 = bx x 2 = c zajmijmy się rozwiązywaniem równań pierwszego typu: A x 2 B 2 Bx B korzystamy z obrazka x = A B, A 2 = x 2 + B 2 + 2Bx A 2 B 2 = x 2 + 2Bx x porównujemy z równaniem b = 2B c = A 2 B 2 = B = b 2, A = x = A B = c + b2 4 b 2 c + b2 4 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

9 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Rozwiązujemy równanie: x 3 = px + q B x = A + B x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx x 3 = px + q x p = 3AB, q = A 3 + B 3 p 3 = 27A 3 B 3 A Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

10 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Rozwiązujemy równanie: x 3 = px + q B x = A + B x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx x 3 = px + q x p = 3AB, q = A 3 + B 3 p 3 = 27A 3 B 3 A Otrzymujemy równanie kwadratowe na A 3 : p 3 = 27(A 3 )q 27(A 3 ) 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

11 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Rozwiązujemy równanie: x 3 = px + q B x = A + B x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx x 3 = px + q x p = 3AB, q = A 3 + B 3 p 3 = 27A 3 B 3 A Otrzymujemy równanie kwadratowe na A 3 : p 3 = 27(A 3 )q 27(A 3 ) 2 Rozwiązujemy to równanie i mamy wynik... Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

12 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Jednak są równania trzeciego stopnia, na przykład x 3 = 3x + 1, Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

13 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Jednak są równania trzeciego stopnia, na przykład x 3 = 3x + 1, które mają rozwiązania rzeczywiste dodatnie, Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

14 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Jednak są równania trzeciego stopnia, na przykład x 3 = 3x + 1, które mają rozwiązania rzeczywiste dodatnie, pasują do jednego z możliwych obrazków, ale sprawiają trudności: B B x A A x 3 = px + q x x 3 + px = q Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

15 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Spróbujmy rozwiązywać równanie x 3 = 3x + 1 metodą arabską: Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

16 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Spróbujmy rozwiązywać równanie x 3 = 3x + 1 metodą arabską: Podstawiamy x = A + B, x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

17 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Spróbujmy rozwiązywać równanie x 3 = 3x + 1 metodą arabską: Podstawiamy x = A + B, x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx z porównania z wyjściowym równaniem mamy: 3AB = 3 A 3 + B 3 = 1 A 3 B 3 = 1 A 3 + B 3 = 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

18 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Spróbujmy rozwiązywać równanie x 3 = 3x + 1 metodą arabską: Podstawiamy x = A + B, x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx z porównania z wyjściowym równaniem mamy: 3AB = 3 A 3 + B 3 = 1 A 3 B 3 = 1 A 3 + B 3 = 1 Równanie kwadratowe na A 3, które z tego otrzymujemy ( A 3) 2 A = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych! = 1 4 = 3 < 0 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

19 Skąd się wzięły liczby zespolone? Równania trzeciego stopnia - metoda arabska Spróbujmy rozwiązywać równanie x 3 = 3x + 1 metodą arabską: Podstawiamy x = A + B, x 3 = A 3 + B 3 + 3ABx z porównania z wyjściowym równaniem mamy: 3AB = 3 A 3 + B 3 = 1 A 3 B 3 = 1 A 3 + B 3 = 1 Równanie kwadratowe na A 3, które z tego otrzymujemy ( A 3) 2 A = 0 = 1 4 = 3 < 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych! A samo równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste w tym jedno dodatnie! Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

20 Skąd się wzięły liczby zespolone? CO ROBIĆ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

21 Definicja Skąd się wzięły liczby zespolone? Przydałoby się rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych o dodatkowe elementy, wśród nich także ı taki, że ı 2 = 1, w taki sposób, aby można się było nimi posługiwać jak normalnymi liczbami. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

22 Skąd się wzięły liczby zespolone? Definicja Przydałoby się rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych o dodatkowe elementy, wśród nich także ı taki, że ı 2 = 1, w taki sposób, aby można się było nimi posługiwać jak normalnymi liczbami. co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? co to znaczy rozszerzyć? Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

23 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

24 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

25 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) przemienność: a + b = b + a, ab = ba Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

26 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) przemienność: a + b = b + a, ab = ba istnienie elementu neutralnego: a + 0 = a, a1 = a Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

27 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) przemienność: a + b = b + a, ab = ba istnienie elementu neutralnego: a + 0 = a, a1 = a istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego): a + ( a) = 0, aa 1 = 1 dla a 0 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

28 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) przemienność: a + b = b + a, ab = ba istnienie elementu neutralnego: a + 0 = a, a1 = a istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego): a + ( a) = 0, aa 1 = 1 dla a 0 rozdzielność: (a + b)c = ac + bc Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

29 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) przemienność: a + b = b + a, ab = ba istnienie elementu neutralnego: a + 0 = a, a1 = a istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego): a + ( a) = 0, aa 1 = 1 dla a 0 rozdzielność: (a + b)c = ac + bc nietrywialność: 1 0 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

30 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy posługiwać się jak normalnymi liczbami? Własności dodawania i mnożenia liczb wymiernych Q lub rzeczywistych R łączność: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) przemienność: a + b = b + a, ab = ba istnienie elementu neutralnego: a + 0 = a, a1 = a istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego): a + ( a) = 0, aa 1 = 1 dla a 0 Definicja rozdzielność: (a + b)c = ac + bc nietrywialność: 1 0 Zbiór K z dwoma działaniami spełniającymi powyższe warunki nazywa się ciałem. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

31 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy rozszerzyć? Q jest podzbiorem R, działania są takie same. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

32 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy rozszerzyć? Q jest podzbiorem R, działania są takie same. Szukamy więc zbioru zawierającego R oraz element ı, którego kwadrat jest 1 ze zwykłymi działaniami o zwykłych własnościach. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

33 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy rozszerzyć? Q jest podzbiorem R, działania są takie same. Szukamy więc zbioru zawierającego R oraz element ı, którego kwadrat jest 1 ze zwykłymi działaniami o zwykłych własnościach. Definicja Ciałem liczb zespolonych C nazywamy takie ciało, które Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

34 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy rozszerzyć? Q jest podzbiorem R, działania są takie same. Szukamy więc zbioru zawierającego R oraz element ı, którego kwadrat jest 1 ze zwykłymi działaniami o zwykłych własnościach. Definicja Ciałem liczb zespolonych C nazywamy takie ciało, które zawiera ciało liczb rzeczywistych R, Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

35 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy rozszerzyć? Q jest podzbiorem R, działania są takie same. Szukamy więc zbioru zawierającego R oraz element ı, którego kwadrat jest 1 ze zwykłymi działaniami o zwykłych własnościach. Definicja Ciałem liczb zespolonych C nazywamy takie ciało, które zawiera ciało liczb rzeczywistych R, zawiera element ı taki, że ı 2 = 1, Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

36 Skąd się wzięły liczby zespolone? co to znaczy rozszerzyć? Q jest podzbiorem R, działania są takie same. Szukamy więc zbioru zawierającego R oraz element ı, którego kwadrat jest 1 ze zwykłymi działaniami o zwykłych własnościach. Definicja Ciałem liczb zespolonych C nazywamy takie ciało, które zawiera ciało liczb rzeczywistych R, zawiera element ı taki, że ı 2 = 1, jest najmniejszym ciałem spełniającym poprzednie warunki. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

37 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

38 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

39 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

40 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) łączność, przemienność: oczywiste (lub łatwo sprawdzalne) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

41 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) łączność, przemienność: oczywiste (lub łatwo sprawdzalne) istnienie elementu neutralnego 0, 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

42 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) łączność, przemienność: oczywiste (lub łatwo sprawdzalne) istnienie elementu neutralnego 0, 1 istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego) (a + ıb) = ( a) + ı( b), Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

43 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) łączność, przemienność: oczywiste (lub łatwo sprawdzalne) istnienie elementu neutralnego 0, 1 istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego) (a + ıb) = ( a) + ı( b), (a + ıb) 1 = a a 2 +b 2 + ı b a 2 +b 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

44 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) łączność, przemienność: oczywiste (lub łatwo sprawdzalne) istnienie elementu neutralnego 0, 1 istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego) (a + ıb) = ( a) + ı( b), (a + ıb) 1 = a a 2 +b 2 + ı b a 2 +b 2 rozdzielność: łatwo sprawdzalna Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

45 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Weźmy ciało K spełniające dwa pierwsze warunki i rozważmy jego podzbiór: {a + ıb : a, b R} Sprawdzamy warunki bycia ciałem: dodawanie: (a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d) mnożenie: (a + ıb) (c + ıd) = ac bd + ı(ad + bc) łączność, przemienność: oczywiste (lub łatwo sprawdzalne) istnienie elementu neutralnego 0, 1 istnienie elementu przeciwnego (odwrotnego) (a + ıb) = ( a) + ı( b), (a + ıb) 1 = a a 2 +b 2 + ı b a 2 +b 2 rozdzielność: łatwo sprawdzalna nietrywialność 1 0 oczywista Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

46 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Wniosek: {a + ıb : a, b R} jest podciałem K Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

47 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Wniosek: {a + ıb : a, b R} jest podciałem K Tak naprawdę: {a + ıb : a, b R} jest C Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

48 Skąd się wzięły liczby zespolone? Konstrukcja ciała liczb zespolonych Wniosek: {a + ıb : a, b R} jest podciałem K Tak naprawdę: {a + ıb : a, b R} jest C Czy rzeczywiście zbiór {a + ıb : a, b R} jest najmniejszym spełniającym dwa pierwsze warunki definicji? To trzeba udowodnić! Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

49 Oznaczenia i nazwy Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... z C = z = x + ıy x = Rz część rzeczywista y = Iz część urojona Iz z Rz Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

50 Oznaczenia i nazwy Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... z C = z = x + ıy x = Rz część rzeczywista y = Iz część urojona Iz z Rz Ćwiczenie Obliczyć część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej: z = (1 + ı) 3 (1 ı) 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

51 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Sprzężenie zespolone z C, z = x + ıy = z = x ıy Liczba z nazywa się liczbą sprzężoną do z. z z Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

52 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Sprzężenie zespolone z C, z = x + ıy = z = x ıy Liczba z nazywa się liczbą sprzężoną do z. z z Fakt Własności sprzężenia: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z = z z = z z R Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

53 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Moduł liczby zespolonej z = x + ıy = z = x 2 + y 2 liczbyomodule1 z z 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

54 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Moduł liczby zespolonej z = x + ıy = z = x 2 + y 2 liczbyomodule1 z z 1 Fakt Własności modułu z 2 = z z z = 0 z = 0 z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1 z 1 z 1 z 2. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

55 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Interpretacja geometryczna z Sprzężenie: symetria względem osi 0x z Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

56 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Interpretacja geometryczna z Sprzężenie: symetria względem osi 0x z liczbyomodule1 z z Moduł: odległość od (0, 0) 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

57 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Interpretacja geometryczna z Sprzężenie: symetria względem osi 0x z liczbyomodule1 z z Moduł: odległość od (0, 0) 1 z Odwrotność: inwersja względem okręgu z = 1 i symetria 1 z 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

58 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Interpretacja geometryczna z Sprzężenie: symetria względem osi 0x z liczbyomodule1 z z Moduł: odległość od (0, 0) 1 z Odwrotność: inwersja względem okręgu z = 1 i symetria 1 z 1 z1+z2 z2 z1 Dodawanie: jak wektory na płaszczyźnie 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

59 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... W C R 2 wprowadzamy współrzędne biegunowe: rsinϕ z=e ıϕ r ϕ rcosϕ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

60 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... W C R 2 wprowadzamy współrzędne biegunowe: rsinϕ z=e ıϕ r ϕ rcosϕ z = x + ıy r = z = x 2 + y 2 ϕ : x = r cos ϕ, y = r sin ϕ z = r(cos ϕ + ı sin ϕ) = re ıϕ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

61 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... e ıϕ = cos ϕ + ı sin ϕ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

62 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... e ıϕ = cos ϕ + ı sin ϕ Fakt Własności symbolu Eulera: e ıϕ = 1 cos ϕ + ı sin ϕ = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 e ıϕ e ıψ = e ı(ϕ+ψ) (cos ϕ + ı sin ϕ)(cos ψ + ı sin ψ) = e ıϕ = 1 e ıϕ e ıϕ = e ıψ... ϕ ψ = 2kπ = cos(ϕ + ψ) + ı sin(ϕ + ψ) sin( ϕ) = sin ϕ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

63 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Pożyteczne wzory: sin ϕ = eıϕ e ıϕ 2ı cos ϕ = eıϕ + e ıϕ 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

64 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Pożyteczne wzory: sin ϕ = eıϕ e ıϕ 2ı cos ϕ = eıϕ + e ıϕ 2 Ćwiczenie Korzystając z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i własności symbolu Eulera wyprowadzić wzór na sin ϕ + sin ψ = Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

65 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Co to ma wspólnego z funkcją wykładniczą? e x x n = n! n=0 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

66 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Co to ma wspólnego z funkcją wykładniczą? e x x n = n! n=0 e ıϕ = 1 + ıϕ + 1 2! (ıϕ) ! (ıϕ)3 + = Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

67 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Co to ma wspólnego z funkcją wykładniczą? e x x n = n! n=0 e ıϕ = 1 + ıϕ + 1 2! (ıϕ) ! (ıϕ)3 + = = 1 + ıϕ 1 2 (ϕ)2 1 6 ı(ϕ)3 + Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

68 Symbol Eulera Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Co to ma wspólnego z funkcją wykładniczą? e x x n = n! n=0 e ıϕ = 1 + ıϕ + 1 2! (ıϕ) ! (ıϕ)3 + = = 1 + ıϕ 1 2 (ϕ)2 1 6 ı(ϕ) ϕ2 ϕ 1 ıϕ e ıϕ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

69 Oznaczenia, nazwy, rachunki, obrazki... Interpretacja geometryczna mnożenia ı = 2 eıπ/4 4 3i = 5e ıϕ ( ı)(4 3i) = ı = eı(ϕ+π/4) r= 2/ ı r=5 2/ ı r=5 Mnożenie to jednokładność i obrót: 4 3ı Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

70 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkowanie to inaczej rozwiązywanie równań postaci z n = α, α C Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

71 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkowanie to inaczej rozwiązywanie równań postaci z n = α, α C Umiemy rozwiązywać takie równania w dziedzinie rzeczywistej R. W dziedzinie zespolonej C możemy do problemu podejść geometrycznie. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

72 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkowanie to inaczej rozwiązywanie równań postaci z n = α, α C Umiemy rozwiązywać takie równania w dziedzinie rzeczywistej R. W dziedzinie zespolonej C możemy do problemu podejść geometrycznie. z n = z z z Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

73 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkowanie to inaczej rozwiązywanie równań postaci z n = α, α C Umiemy rozwiązywać takie równania w dziedzinie rzeczywistej R. W dziedzinie zespolonej C możemy do problemu podejść geometrycznie. z n = z z z Mnożenie polega na mnożeniu modułów i dodawaniu argumentów. Dla ułatwienia weźmy na warsztat liczbę o module 1, np ı i policzmy pierwiastek (-tki) 3-go stopnia: z 3 = ı Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

74 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych z 3 = ı Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

75 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych Załóżmy, że z 3 = ı z = re iϕ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

76 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych Załóżmy, że wtedy z 3 = ı z = re iϕ z 3 = re ıϕ re ıϕ re ıϕ = r 3 e 3iϕ = ı (= e ı π 2 ). Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

77 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych z 3 = ı Załóżmy, że z = re iϕ wtedy z 3 = re ıϕ re ıϕ re ıϕ = r 3 e 3iϕ = ı (= e ı π 2 ). To znaczy, że r i ϕ spełniają równania (w dziedzinie rzeczywistej) r 3 = 1, 3ϕ = π ( mod 2π). 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

78 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych z 3 = ı Załóżmy, że z = re iϕ wtedy z 3 = re ıϕ re ıϕ re ıϕ = r 3 e 3iϕ = ı (= e ı π 2 ). To znaczy, że r i ϕ spełniają równania (w dziedzinie rzeczywistej) r 3 = 1, 3ϕ = π ( mod 2π). 2 Jedynym rozwiązaniem dla r jest r = 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

79 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych z 3 = ı Załóżmy, że z = re iϕ wtedy z 3 = re ıϕ re ıϕ re ıϕ = r 3 e 3iϕ = ı (= e ı π 2 ). To znaczy, że r i ϕ spełniają równania (w dziedzinie rzeczywistej) r 3 = 1, 3ϕ = π ( mod 2π). 2 Jedynym rozwiązaniem dla r jest ϕ = π 6 + 2kπ 3 r = 1 a dla ϕ mamy trzy rozwiązania. Biorąc 3ϕ = π 2 + 2kπ mamy ϕ 1 = π/6 k = 0 ϕ 2 = 5π/6 k = 1 ϕ 3 = 3π/2 k = 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

80 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych ϕ 1 = π/6 k = 0 z 1 = e ıπ/6 = ı ϕ 2 = 5π/6 k = 1 z 2 = e ı5π/6 = ı ϕ 3 = 3π/2 k = 2 z 3 = e ı3π/2 = ı Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

81 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych ϕ 1 = π/6 k = 0 z 1 = e ıπ/6 = ı ϕ 2 = 5π/6 k = 1 z 2 = e ı5π/6 = ı ϕ 3 = 3π/2 k = 2 z 3 = e ı3π/2 = ı ı z 2 z 1 z 3 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

82 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych A co będzie jeśli liczba pierwiastkowana ma moduł różny od 1? z 3 = 8i z = re ıϕ, z 3 = r 3 e ıϕ r 3 = 0, 3ϕ = π 2 (mod2π) Rozwiązania równania na ϕ już znamy, a rozwiązaniem równania na r jest pierwiastek arytmetyczny: r = 3 8 = 2. Zatem W innej notacji 3 8ı = { 2e ıπ/6, 2e ı5π/6, 2e ı3π/2} 3 8ı = { 3 + ı, 3 + ı, 2ı } Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

83 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych z 3 = 8ı, 3 8ı = { 3 + ı, 3 + ı, 2ı } Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

84 Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie liczb zespolonych z 3 = 8ı, 3 8ı = { 3 + ı, 3 + ı, 2ı } 8ı z 2 1 z 2 ı z 1 z z 2 2 z = re ıϕ n { z = } n r e ı ϕ+2kπ n, k = 0, 1, 2,..., n 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

85 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Geometrycznie pierwiastki n-tego stopnia z 1 są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1: Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

86 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Geometrycznie pierwiastki n-tego stopnia z 1 są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1: 3 1 ε 1 ε 3 ε 2 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

87 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Geometrycznie pierwiastki n-tego stopnia z 1 są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1: ε 1 ε 1 ε 3 ε 2 ε 4 ε 2 ε 3 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

88 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Geometrycznie pierwiastki n-tego stopnia z 1 są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1: ε 1 ε 1 ε 2 ε 1 ε 3 ε 2 ε 4 ε 3 ε 6 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

89 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Fakt Wzór: ε k = e ı(2kπ)/n, k = 1, 2,... n Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

90 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Fakt Wzór: ε k = e ı(2kπ)/n, k = 1, 2,... n Pierwiastki n-tego stopnia tworzą grupę, tzn: ε k, ε l n 1 ε k ε l n 1 1 n 1, k l : ε k ε l = 1 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

91 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Fakt Niech z C oraz niech w będzie dowolnym rozwiązaniem równania w n = z, wówczas { n z = w ε k, gdzie ε k n } 1, k = 1, 2,..., n Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

92 Pierwiastkowanie Pierwiastki n-tego stopnia z 1 Fakt Niech z C oraz niech w będzie dowolnym rozwiązaniem równania w n = z, wówczas { n z = w ε k, gdzie ε k n } 1, k = 1, 2,..., n Ćwiczenie Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich pierwiastków ustalonego stopnia z 1: ε 1 + ε ε n =? ε 1 ε 2 ε n =? Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

93 Równania trzeciego i czwartego stopnia Nicolo Fontana Tartaglia (1500 Brescia Wenecja) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

94 Równania trzeciego i czwartego stopnia Girolamo Cardano (1501 Pavia Rzym) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

95 Równania trzeciego i czwartego stopnia Równania trzeciego i czwartego stopnia Rozwiązujemy na tablicy... Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

96 Równania trzeciego i czwartego stopnia Równania trzeciego i czwartego stopnia f(x)=x 3 3x 1 2cos(140 ) 2cos(260 ) 1 2cos(20 ) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

97 Homografie Homografie Na zakończenie wycieczki po liczbach zespolonych przyjrzyjmy się szczególnym odwzorowaniom ciała liczb zespolonych w siebie: Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

98 Homografie Homografie Na zakończenie wycieczki po liczbach zespolonych przyjrzyjmy się szczególnym odwzorowaniom ciała liczb zespolonych w siebie: h : C C h(z) = az + b cz + d gdzie a, b, c, d C, oraz ad bc 0. Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

99 Homografie Homografie Na zakończenie wycieczki po liczbach zespolonych przyjrzyjmy się szczególnym odwzorowaniom ciała liczb zespolonych w siebie: h : C C h(z) = az + b cz + d gdzie a, b, c, d C, oraz ad bc 0. Odwzorowania takiej postaci nazywają się HOMOGRAFIE Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

100 Homografie Homografie Homografie mają bardzo szczególne własności: Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

101 Homografie Homografie Homografie mają bardzo szczególne własności: składają się tak jak macierze mnożą f (z) = az + b cz + d h(z) = αz + β γz + δ Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

102 Homografie Homografie Homografie mają bardzo szczególne własności: składają się tak jak macierze mnożą f (z) = az + b cz + d h(z) = αz + β γz + δ f (h(z)) = a αz+β γz+δ + b c αz+β γz+δ (aα + bγ)z + (aβ + bδ) = + d (cα + gγ)z + (cβ + dδ) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

103 Homografie Homografie Homografie mają bardzo szczególne własności: składają się tak jak macierze mnożą f (z) = az + b cz + d h(z) = αz + β γz + δ f (h(z)) = a αz+β γz+δ + b (aα + bγ)z + (aβ + bδ) c αz+β = γz+δ + d (cα + gγ)z + (cβ + dδ) [ ] [ ] [ ] a b α β (aα + bγ) (aβ + bδ) = c d γ δ (cα + gγ) (cβ + dδ) Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

104 Homografie Homografie przeprowadzają proste i okręgi na proste i okręgi Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

105 Homografie Homografie Ćwiczenie Niech przeprowadzają proste i okręgi na proste i okręgi f (z) = z + (1 + ı). z ı Znaleźć obraz prostych Iz = 1 oraz Iz = 2 w odwzorowaniu f. Znaleźć także obrazy okręgów z = 1 i z = 2 w tym samym odwzorowaniu Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

106 Homografie Homografie Ćwiczenie Niech przeprowadzają proste i okręgi na proste i okręgi f (z) = z + (1 + ı). z ı Znaleźć obraz prostych Iz = 1 oraz Iz = 2 w odwzorowaniu f. Znaleźć także obrazy okręgów z = 1 i z = 2 w tym samym odwzorowaniu zachowują kąty Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

107 Homografie Homografie Ćwiczenie Niech przeprowadzają proste i okręgi na proste i okręgi f (z) = z + (1 + ı). z ı Znaleźć obraz prostych Iz = 1 oraz Iz = 2 w odwzorowaniu f. Znaleźć także obrazy okręgów z = 1 i z = 2 w tym samym odwzorowaniu zachowują kąty Ćwiczenie Znaleźć kąty między obrazami prostych y = x 1 i y = x + 1 w odwzorowaniu f Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

108 Homografie Homografie w=x+iy z=a+ib y b 1 2 +ı3 2 b=a 1 (x 3 4 )2 +(y 3 4 )2 = 5 8 1b= a+1 a 1 y= 3x+3 x Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

109 Sfera Riemanna Homografie Co mają ze sobą wspólnego proste i okręgi w C? Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

110 Sfera Riemanna Homografie Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41

111 Homografie y C a>0 b<1 b=1 b>1 f (z) = z + (1 + ı) z ı a=0 a<0 0 x b C ı 1 a Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF / 41