1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012"

Damian Zawadzki
8 lat temu
Przeglądów:

1 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Postać kanoniczna liczby zespolonej Postać trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych

.............. 1. Postać trygonometryczna liczby zespolonej........... 6 1.

2 1 Liczby zespolone 1.1 Definicja liczby zespolonej Wiadomo, że równanie x nie ma pierwiastków rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Rozszerzamy więc ciało liczb rzeczywistych R w taki sposób, aby równanie x miało w nowym ciele rozwiązanie. Ciało liczb rzeczywistych utożsamiamy z prostą liczbową, na której ustalono punkt odpowiadający liczbie 0 i odcinek jednostkowy, którego koniec utożsamiamy z liczbą 1. Niestety, na prostej nie można już znaleźć miejsca dla nowych liczb. W tym celu do geometrycznej konstrukcji ciała liczb zespolonych zastosujemy płaszczyznę, którą będziemy nazywali płaszczyzną zespoloną. Niech C oznacza zbiór R 2, czyli C {a, b : a R b R}. W zbiorze tym określamy działania + i w sposób następujący: a, b + c, d a, b c, d a + c, b + d, ac bd, ad + bc. Zwróćmy tu jednak uwagę na fakt, że symbole + oraz zostały użyte w dwóch znaczeniach; raz dla oznaczenia działań w zbiorze liczb rzeczywistych, a drugi raz dla oznaczenia nowych działań w zbiorze C. Parę a, b będziemy nazywali liczbą zespoloną, a zgodnie z własnościami par uporządkowanych, liczby a, b i c, d są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a c i b d. Liczby zespolone będziemy oznaczali krótko jako z, z 1 lub podobnie. Wtedy mamy: z a, b. 2

Rozszerzamy więc ciało liczb rzeczywistych R w taki sposób, aby równanie x 2 + 1 0 miało w nowym ciele rozwiązanie.

3 W naturalny sposób każdej liczbie zespolonej jest więc przypisany punkt na płaszczyźnie, oraz odwrotnie, każdemu punktowi płaszczyzny jest przypisana pewna liczba zespolona. Liczbie zespolonej z równej parze a, b odpowiada na płaszczyźnie punkt o współrzędnych a, b. Twierdzenie 1 Zbiór C wraz z działaniami określonymi powyżej spełnia następujące warunki: Przemienność Łączność działań Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Para 0, 0 jest, jak łatwo zauważyć, elementem zerowym, natomiast para 1, 0 jest jedynką w zbiorze C. Elementem przeciwnym do pary a, b jest para a, b, gdyż a, b + a, b a + a, b + b 0, 0. Jeśli para a, b jest różna od zera, czyli różna od pary 0, 0, to a 0 lub b 0, więc a 2 + b 2 > 0. Z równości a wynika, że para a, b. a, b a a 2 + b 2 b a a 2 + b, b 2 a 2 + b 2 b a 2 + b 2, a a 2 + b 2 a 2 + b, ab + ab 2 a 2 + b 2 a a 2 + b 2, b a 2 + b 2 b a 2 + b 2 + b 1, 0 a a 2 + b 2 jest elementem odwrotnym do pary Warunki powyższe pozwalają stwierdzić, że C, +, tworzy ciało.

Twierdzenie 1 Zbiór C wraz z działaniami określonymi powyżej spełnia następujące warunki: Przemienność Łączność działań Rozdzielność mnożenia względem dodawania.

4 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej Ponieważ oraz 0, b b, 0 0, 1 a, b a, 0 + 0, b a, 0 + b, 0 0, 1, więc możemy utożsamić parę, mającą postać a, 0 z liczbą a oraz oznaczając parę 0, 1 symbolem i, otrzymujemy przedstawienie liczby zespolonej a, b w postaci a + bi. Taki zapis liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną lub postacią algebraiczną. Oczywiście, i 2 1. Zauważmy teraz, jak łatwo jest wykonywać działania na liczbach zespolonych, jeśli przedstawiamy je w postaci kanonicznej. Na przykład: a + bi c + di ac + adi + bic + bdi 2 ac bd + ad + bci. a + bi : c + di a + bi c + di ac + bd + ad + bc i c 2 + d 2 a + bi c di c + di c di ac + bd ad + bc + i c 2 + d2 c 2 + d 2 Definicja 1 Częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, mającej postać z a, b a + bi, nazywamy liczbę rzeczywistą a. Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy symbolem re z. Definicja 2 Częścią urojoną liczby zespolonej z, mającej postać z a, b a + bi nazywamy liczbę rzeczywistą b. Część urojoną liczby zespolonej z oznaczamy symbolem im z.

Zauważmy teraz, jak łatwo jest wykonywać działania na liczbach zespolonych, jeśli przedstawiamy je w postaci kanonicznej. Na przykład: a + bi c + di ac + adi + bic + bdi 2 ac bd + ad + bci.

5 Często liczby zespolone będziemy zapisywali w postaci a + ib. Tak więc liczbę z równą a + ib możemy przedstawić w postaci z re z + i im z. Liczbę zespoloną, mającą postać yi, gdzie rzecz jasna y jest liczbą rzeczywistą, nazywamy liczbą czysto urojoną. Jeśli z x + iy, to liczbę z, mającą postać z x iy, nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z. Twierdzenie 2 Dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 spełnione są warunki: z 1 + z 2 z 1 + z 2, i z 1 z 2 z 1 z 2, z1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2, z 1 z 2, gdy z 2 0. Przykład 1 Oto kilka przykładów działań na liczbach zespolonych. 1 + i + 2 5i i, 2 + i 6i 8 12i + 12i , + 2i + 2i1 i + 2 i + 2i i 1 + i1 i i. Przykład 2 Przykłady wyznaczania części rzeczywistej i urojonej. re + i, im + i, re 7i, im 7i 7, i 21 1i, 21 1i i. 5

Jeśli z x + iy, to liczbę z, mającą postać z x iy, nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z.

6 1. Postać trygonometryczna liczby zespolonej Liczby zespolone możemy przedstawiać na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Wtedy liczbie zespolonej x + iy odpowiada punkt o współrzędnych x, y. Liczbę zespoloną będziemy najczęściej utożsamiać z odpowiadającym jej punktem na płaszczyźnie zespolonej. Im x z 0 1 y 1 Re Oś odciętych nazywamy zwykle osią rzeczywistą, oś rzędnych osią urojoną. Definicja Modułem liczby zespolonej z, gdzie z a + ib, nazywamy liczbę z, określoną wzorem z a 2 + b 2. Geometrycznie, moduł liczby zespolonej z oznacza jej odległość od początku układu współrzędnych. Jest też długością wektora, którego początkiem jest początek układu współrzędnych, a końcem punkt z. Wektor ten często nosi nazwę wektora wodzącego liczby z. 6

Im x z 0 1 y 1 Re Oś odciętych nazywamy zwykle osią rzeczywistą, oś rzędnych osią urojoną.

7 Definicja Argumentem liczby zespolonej z różnej od zera nazywamy liczbę rzeczywistą φ, spełniającą układ równań: cos φ re z, z sin φ im z. z Argument liczby zespolonej nie jest wyznaczony więc jednoznacznie. Każde dwie wartości argumentu liczby zespolonej różnią się o wielokrotność liczby 2π. Argumentem liczby zespolonej jest więc miara zorientowanego kąta uogólnionego, utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący liczby z. Argument liczby zespolonej z oznaczamy symbolem arg z. Niech r będzie modułem niezerowej liczby zespolonej z, gdzie z a + ib, zaś φ jednym z jej argumentów. Wtedy a r cos φ i b r sin φ Zatem liczbę z można przedstawić w postaci z r cos φ + i sin φ. To przedstawienie liczby z nazywamy postacią trygonometryczną liczby z. Im 1 a φ 1 r 0 z b Re 7

Argumentem liczby zespolonej jest więc miara zorientowanego kąta uogólnionego, utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący liczby z.

8 Twierdzenie Niech z r cos φ + i sin φ i z r cos φ + i sin φ. Wtedy i z z r r cos φ + φ + i sin φ + φ z r z r cos φ φ + i sin φ φ. Twierdzenie Wzór de Moivre a. Dla każdej liczby rzeczywistej φ i dla każdej liczby naturalnej n spełniony jest warunek cos φ + i sin φ n cosnφ + i sinnφ. Wniosek 1 Jeśli z jest liczbą zespoloną różną od zera, to dla każdej liczby naturalnej n, z n z n i arg z n n arg z. Oczywiście, drugi z powyższych wzorów należy rozumieć w taki sposób, że jeden z argumentów należy dobrać do drugiego tak, aby była spełniona odpowiednia równość. Czasami stosuje się oznaczenie e iφ cos φ + i sin φ. Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Eulera. Każdą liczbę zespoloną z różną od zera można więc przedstawić w postaci gdzie φ jest argumentem liczby z. z z e iφ, Przykład Przedstawmy liczbę 1 + i w postaci trygonometrycznej. 8

Wniosek 1 Jeśli z jest liczbą zespoloną różną od zera, to dla każdej liczby naturalnej n, z n z n i arg z n n arg z.

9 Ponieważ re 1 + i 1 oraz im 1 + i, więc Zatem cos φ 1 2 Wnioskujemy stąd, że φ π. Teraz możemy zapisać 1 + i i 2 Przykład Obliczmy 1 + i 10. i sin φ 2. cos π + i sin π. Ponieważ 1 + i 2 cos π + i sin π, więc korzystając ze wzoru de Moivre a otrzymujemy: 1 + i 10 2 cos π + i sin π cos π + i sin π cos 5π + i sin 5π 2 70 cos π + i sin π Pierwiastkowanie liczb zespolonych Jedną z pierwszych własności, która istotnie wyróżnia zbiór liczb zespolonych, jest możliwość pierwiastkowania. Zgodnie ze zwyczajem definiowania pierwiastków przyjmujemy następującą definicję. Definicja 5 Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy liczbę zespoloną w taką, że w n z. 9

1. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Jedną z pierwszych własności, która istotnie wyróżnia zbiór liczb zespolonych, jest możliwość pierwiastkowania.

10 Oczywiście, jedynym pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby 0 jest 0. Twierdzenie 5 Niech liczba zespolona z, różna od zera, ma postać z rcos φ + i sin φ. Wtedy każda liczba w k, mająca postać w k n r cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ, n gdzie k jest liczbą całkowitą, jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z oraz każdy pierwiastek n-tego stopnia z liczby z jest jedną z liczb w k. Zauważmy, że różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z jest n. Są to liczby w k, gdy k jest jedną z liczb 0, 1,..., n 1. Wynika to z okresowości funkcji sin i cos. Przykład 5 Znajdźmy pierwiastki -tego stopnia z liczby 1. Ponieważ 1 1 cos 0 + i sin 0, więc pierwiastkami czwartego stopnia z liczby 1 są liczby, mające postać gdzie k jest liczbą całkowitą, w k 1 cos 2kπ 2kπ + i sin, zatem różnymi pierwiastkami czwartego stopnia są: w 0 1, w 1 i, w 2 1, w i. Przykład 6 Znajdźmy pierwiastki -go stopnia z liczby 8 + 8i. Ponieważ 8 + 8i 128 cos π + i sin π, więc pierwiastki -go stopnia z tej liczby mają postać w k π 128 cos + 2kπ π + i sin + 2kπ, 10

liczby z jest jedną z liczb w k. Zauważmy, że różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z jest n. Są to liczby w k, gdy k jest jedną z liczb 0, 1,..., n 1.

11 czyli w k gdzie k jest jedną z liczb 0, 1, 2. cos π + 8kπ 12 + i sin π + 8kπ, 12 11

Podobne dokumenty

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +