Analiza Matematyczna część 3

Transkrypt

1 [wersja z 9 I 9] Aaliza Matematycza część 3 Kospekt wykładu dla studetów fizyki/iformatyki Akademia Świętokrzyska 7/8 Wojciech Broiowski

2 Różiczkowalość

3 Pochoda fukcji jedej zmieej Pochoda f : ( a, b) R w pukcie ( a, b) f f( +Δ) f( ) f( ) f( ) '( ) = lim = lim Δ Δ Δ Δ przyrost argumetu fukcji Δ f = f( +Δ) f( ) przyrost wartosci fukcji df ( ) Ia otacja: f '( ) = d df ( ) różiczka f odpowiadająca przyrostowi argumetu d Fukcja o ( ) jest malą wyższego rzędu iż w sąsiedztwie = o ( ) jeżeli lim = f( +Δ) f( ) = f '( ) Δ + o( Δ) 3

4 Tw. f różiczkowala w jest ciagla w D: f( ) = f( +Δ ) = f( ) + f '( ) Δ + o( Δ) lim f ( ) = lim f( +Δ ) = lim( f( ) + f '( ) Δ + o( Δ )) = f( ) Δ Δ 3, ciągle w =, a ie różiczkowale Iterpretacja geometrycza pochodej stycza w pukcie ma achyleie α 4

5 o małe, O duże,... (*) [ f ( ) >, g( ) > ] f( ) = O( g( )) C > > : Cg( ) f( ) f( ) =Ω( g( )) c> > : f( ) cg( ) f( ) =Θ( g( )) c> C > > : Cg( ) f( ) cg( ) f( ) f( ) = o( g( )) w otoczeiu lim = g ( ) f( ) f( ) ~ g( ) w otoczeiu lim = c, ( c>, u iektórych c = ) g ( ) 5

6 f ( ) = Og ( ( )) f( ) =Ω ( g ( )) f( ) =Θ( g ( )) [ C =, c = ] 6

7 Obliczaie pochodych ( cf )'( ) = cf '( ), ( f + g)'( ) = f '( ) + g '( ) ( fig)'( ) = f '( ) g( ) + f( ) g'( ) f '( ) g( ) f( ) g'( ) ( f / g)'( ) = ( g ( )) ( f g)'( ) = f '( g( )) g'( ) ( f )'( y) = f '( ) 7

8 Wyprowadzeia: f( ) g( ) f( ) g( ) = ( f( ) f( )) g( ) + f( )( g( ) g( )) ( f( ) f( )) g( ) f( )( g( ) g( )) ( fig)'( ) lim lim = + = = f '( ) g( ) + f( ) g'( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f '( ) '( ) lim lim f = = = f( ) f( )( ) f ( ) f( g( )) f( g( )) f( g( )) f( g( )) g( ) g( ) ( f g)'( ) = lim = lim g ( ) g ( ) f( y) f( y ) g( ) g( ) = = f g g lim lim '( ( )) '( ) y y y y f y = ( )'( ) lim y y ( ) ( y) = lim = = y y f ( ) f ( ) f '( ) f '( f ( y )) f y f 8

9 + si cos si si si + (si )' = lim = lim = lim cos = cos si si cos cos = = = (cos )' lim lim si (l = + = = + +Δ l Δ = = = + = + = Δ Δ l( ) l Δ +Δ Δ Δ )' lim lim lim l lim l Δ Δ Δ Δ ' = = Δ l lim Δ l e Δ l (log a )' l a l a ( a )' = = = y la = a la (log a y)' y l a ( e )' = e 9

10 (arcsi )' = = = =, y ( π, π ) (arccos a al ( )' ( )' (si y)' cos y si y )' = = (cos y )' (arc tg )' = = cos y = = (tg y)' + tg y + (arcctg )' = = si y = = (ctg y)' + ctg y + = e = e ( al )' = a = a al a a

11 Przykłady: Od wewątrz do zewątrz si(tg( )) ' = cos(tg( )) ( ) ( ) ( l ) cos l ' ' ( l )' (l ) = e = e = + Od zewątrz do wewątrz = + + = ' + ' ' = y y yy y y y + Różiczkowaie po obu stroach

12 Stycza do krzywej + y =, A= (, ) 3 + yy' = y ' = = = 3 y y = + b b y = = = + b Zajdź styczą do okręgu w pkt. A Różiczkowaie po obu stroach Wartość pochodej Rówaie styczej z parametrem b Wyzaczeie b pkt. A ależy do styczej Rówaie styczej

13 Kąt przecięcia krzywych tgβ tgα tgγ = tg( β α) = = + tgαtgβ g'( ) f '( ) = + g'( ) f '( ) Krzywa parametrycza (*) t (), yt () wspólrzęde zależe od czasu dy d dy d dy dt y = yt (( )) = = dt = d dt d d dt 3

14 Fukcja pochoda f :( a, b) R f ':( a, b) R f '( ) Fukcja pochoda przyporządkowuje puktowi z przedziału otwartego (a,b) wartość pochodej fukcji w tym pukcie 4

15 f( ) = si f () = f '( ) = si cos, dla si f '() = lim =, dla = Pochoda istieje, ale jest ieciągla w = Fukcje klasy C a przedziale [a,b] mają -tą pochoda ciąglą. C,C,C,...,C 5

16 Pochode wyższych rzędów Jeśli fukcja f jest różiczkowala, to możemy zdefiiować jej pochodą, itd. f ''( ) = ( f '( ))' f '''( ) = ( f ''( ))' ( ) = ( ( ))' ( ) ( ) f f fukcje klasy C - -ta pochoda ciągla C - ma wszystkie pochode ( k ) kπ (si ) = si( + ) ( k ) kπ = + ( k) (cos ) cos( ) ( e ) = e f () ( ) = f ( ) ( ) ( w( )) =! a 4 (4) 3 (3) () ( ) (4 ) (4 3 ) (4 3 )' 4! = = = = 6

17 Wzór Leibiza ( fg)'( ) = f '( ) g( ) + f ( ) g '( ) ( fg)''( ) = f ''( ) g( ) + f '( ) g'( ) + f( ) g''( ) (3) (3) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )... fg = f g + f g + + f g + f g () () () (3) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) fg = f g k= k ( ) ( k) ( k) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = ( e ) ( ) e e e = e + e+ ( ) e 7

18 Tw. o ekstremach Jeżeli f : ( a, b) R jest różiczkowala w c ( a, b) i ma ma w tym pukcie ekstremum lokale, to f '( c)= D (maksimum): δ > : ( c- δ, c+ δ) f( ) f( c) f( )- f( c) f( )- f( c) dla < c f ' ( c) = lim -c c -c f( )- f( c) podobie f ' + ( c) = lim. + c - c Poieważ f '( c) = f ' ( c) = f ' ( c), f '( c) =. + 8

19 Tw. Rolle a f : [ a, b] R ciagla i różiczkowala w ( a, b) oraz f( a) = f( b) c ( a, b): f '( c) = D: Jeżeli f = cost. to f'(c)=. W przeciwym razie c ( a, b) dla którego f osiąga ekstremum lokale f '( c) = Kotrprzykłady: fukcja ieciągła i ieróżiczkowala 9

20 Tw. Cauchy ego, :[, ], różiczkowale w (, ) f g C a b R a b c ( a, b):( f( b) f( a)) g'( c) = ( g( b) g( a)) f '( c) D: h ( ) = ( f( b) f( a)) g ( ) ( gb ( ) ga ( )) f( ) + tw. Rolle'a Tw. Lagrage a f C :[ a, b] R, różiczkowala w ( a, b) f( b) f( a) c ( a, b): f '( c) = b a D: tw. Cauchy'ego z g ( ) = (prędkość średia i chwilowa)

21 Przykład (tw. Lagrage a): f( ) = l, f '( ) = l b l a l b l a = < < b a c b b a a b a b b a < l < b a a

22 Tw. Taylora f C + h R + h : [, ], -krotie różiczkowala w (, ) c (, + h): f( + h) = S ( h) + R ( h) f '( ) f ''( ) f ( ) S( h) = f( ) + h+ h h!! ( )! ( ) ( ) f ( c) R ( h) = h (reszta w postaci Lagrage'a)! D: = + h k =, ( ) ( - ) f '( )( ) f ( )( ) g( ) = f( ) f( )...! ( )! ( )

23 Z tw. Cauchy'ego: (, ) : g( ) g( ) g '( c) k( ) k( ) k'( c) c = S( h) f( ) f ( c) f ( c) = = ( h)!( c )! ( ) f ( c) f( ) = S( h) + h! ( ) ( ) ( ) Zaczeie tw. Taylora: dość łatwe przybliżaie fukcji -krotie różiczkowalych wielomiaem stopia -. Dla regularych fukcji reszta jest mała i metoda jest tym dokładiejsza, im większe jest. 3

24 (RR) Przybliżaie fukcji ep(-) z pomocą wzoru Taylora dla kolejych 4

25 f()=si() = =5 = = 5

26 Szereg (rozwiięcie) Taylora ( ) f ( ) f C :[, + h] R. Jeżeli ciąg fukcji r ( ) = h jest! zbieży jedostajie do a przedziale [, + h], to f ( ) w f ( k ) k ( ) = ( ) jest zbieży jedostajie do. k = k! Tw: Jeżeli fukcja ma a daym przedziale wszystkie pochode ( ) ograiczoe, ( ), to ma w tym przedziale rozwiięcie Taylora. f M 6

27 Przykład fukcji mającej wszystkie pochode i ie posiadającej rozwiięcia Taylora wokół =: ep(-/ ). Pochode ie są ograiczoe! Wszystkie pochode w = zikają. f () f () f () 7

28 e 3 4 k = =!! 3! 4! k! k= 3 4 k k l( + ) = = ( ), (,] 3 4 k k= k= k = 4 6 k k cos = +... = ( )! 4! 6! ( k)! 3 5 k+ k si = +... = ( )! 3! 5! (k + )! iz e = cos z+ isi z cos z = e iz + e e e, siz = i iz iz iz 8

29 Fukcje hiperbolicze 4 6 k cosh = ch = =! 4! 6! ( k)! k= k= (krzywa lańcuchowa) 3 5 k+ sih = sh = =! 3! 5! (k + )! z z e = cosh z+ sih z, e = cosh z sih z, z z z e + e e e cosh z =, sih z = cosh z sih z = z (cosh z)' = sih z, (sih z)' = cosh z, 9

30 cosh sih tah=sih/cosh 3

31 Tw. o ekstremach sile maksimum lokale w δ > : S(, δ ) f( ) > f( ) sile miimum lokale w δ > : S(, δ) f( ) < f( ) Tw. f '( ) =, f '' ciagla w. f ''( ) < (sile) maksimum f D: Z tw. Taylora dla = ''( ) > (sile) miimum f( ) = f( ) + f '( )( ) + f ''( )( ) f '( ) =, z ciąglosci r > : K(, r) f ''( ) jest tego samego zaku, co f ''( ), skąd wyika teza. Przyklad: f( ) = 3 3 = = f '( ) 3 = 3 ( ) 3 f ''( ) = 6 f ''() = (miimum) f ''( ) = (maksimum) 3

32 Tw. f różiczkowala w ( ab, ) f '( ) > dla ( a, b) f( ) (silie) rosąca f '( ) < dla ( a, b) f( ) (silie) malejąca D:, ( a, b), < Z tw. Lagrage'a c ( a, b) : f( ) f( ) = f '( c)( ) Tw. f różiczkowala w ( ab, ), ( ab, ) f '( ) > dla ( a, ) i f '( ) < dla (, b) (sile) maksimum w f '( ) < dla ( a, ) i f '( ) > dla (, b) (sile) miimum w f 6 ( ) = + f 5 '( ) = 6, = f f 4 ''( ) = 3, ''( ) = f '( ) < > > '( ) < f mi w 3

33 Wypukłość Fukcja różiczkowala f : ( a, b) R jest wypukla (wklęsla), jeżeli y ( a, b) ( a, b), y: f( ) > ( < ) f( y) + f '( y)( y) - ad (pod) styczą Tw. Fukcja dwukrotie różiczkowala w (a,b) jest wypukla w tym przedziale, jeżeli f ''( ) >, a wklęsla jeżeli f ''( ) <. D: Z tw. Taylora dla =. Jeżeli dla wypukla, a dla wklęsla (lub a odwrót), to azywamy puktem przegięcia. < > 33

34 Reguła de L Hospitala f, g - różiczkowale a ( a, b), g'( ), ) lim f( ) = lim g( ) =, f '( ) f( ) r { R,, }: lim = r lim = r + + a g'( ) a g( ) + + a a D: Uzupelijmy f( a) = g( a) =. Wtedy z tw. Cauchy'ego c (a,): f( ) f( )- f( a) f '( c) =. Gdy + + = a rówież c a, zatem g ( ) g ( )- ga ( ) g'( c) f( ) f '( c) lim = lim = r a + g ( ) c a + g'( c) si cos lim = lim = cos si cos lim = lim = lim = 34

35 f '( ) f( ) ) lim f( ) = lim g( ) =, r { R,, }: lim = r lim = r g'( ) g( ) D: φ( ) = f( ), γ( ) = g( ), y = f( y) f( ) ( ) '( ) '( )( ) φ φ f lim = lim = lim = lim = lim y g( y) g( ) ( ) '( ) γ + γ + g'( )( ) f '( ) f '( y) = lim = lim + g'( ) y g'( y) = f '( ) f( ) 3) lim f( ) = lim g( ) =, r { R,, }: lim = r lim = r a a a g'( ) a g( ) ' g '( ) f( ) ( ) g ( ) g D: lim lim lim g ( ) g'( ) f( ) = = = lim = lim lim ' + + a g ( ) a a a f '( ) a f '( ) + a g( ) f( ) f( ) f( ) g ( ) g'( ) f( ) f'( ) lim = lim lim = lim a f( ) a f '( ) a g( ) a g'( ) 35

36 4) = = l = = lim l = lim = lim = lim = si cos 5) = lim lim lim + = = + + si si si + cos g ( ) f( ) si tg f( ) g( ) = = lim = lim = + + cos si tg f( ) g( ) = l lim l lim 6),, lim = lim e = e = e = e = f( ) g( ) g( )l f ( ) = e 36

37 Badaie fukcji ) Dziedzia ) Miejsca zerowe ) Parzystość, ieparzystość, okresowość 3) Ciągłość, graice w puktach ieciągłości i a krańcach przedziałów określoości 4) Asymptoty 5) Różiczkowalość 6) Mootoiczość i ekstrema 7) Druga pochoda, wypukłość, pukty przegięcia 8) Tabela przebiegu fukcji 9) Szkic wykresu ) Zbiór wartości (kolejość dowola!) 37

38 4 4 f( ) = 3 38

39 Całkowaie 39

40 Całka ieozaczoa (fukcja pierwota) f :( a, b) R, F różiczkowala w (a,b). Jeżeli F'( ) = f( ) dla ( a, b), to F jest fukcją pierwotą fukcji f. Fukcja pierwota określoa jest z dokładością do stałej, tz. jeśli F() jest fukcją piewrotą, to F()+C jest rówież fukcją pierwotą, poieważ (F()+C) =F ()=f(). Całkowaie: operacja odwrota do różiczkowaia af ( d ) = a f ( d ) ( f( ) + g( )) d = = f ( d ) + g( d ) 4

41 d = l + C, bo ( l )' = ' = sg( ) = d = d l C + + = d = d = + C = + C + + 4

42 Całkowaie przez części Wyprowadzeie: ( fg)'( d ) = f ( ) g( ) ( f '( ) g( ) + f ( ) g '( )) d = f ( ) g( ) f'( gd ) ( ) = f( g ) ( ) f( g ) '( d ) f( ) =, g( ) = l l d= 'l d= l (l )' d= = l d = l d = l + C d cos = d (si )' = si dsi = si + cos + C ( ) Sprawdzeie: si + cos + C ' = si + cos si = cos 4

43 Całkowaie przez podstawieie f :( ab, ) R, g:( st, ) ( ab, ) różiczkowala, F- pierwota dla f F g jest pierwota dla f( g( )) g'( ), tj. f( g( )) g'( ) d = f( y) dy = F( g( )), y = g( ) D: Z tw. o pochodej fukcji zlożoej [ F( g( ))]' = F'( g( )) g'( ) = f( g( )) g'( ) I = d, f( y) =, y = g( ) = 3+, g'( ) = 3 3+ y 3 g'( ) I = d = d = dy = l y + C = l C g( ) 3 y 3 43

44 dy Prostszy zapis: dyf ( y) = d f ( y( )) d dy dg( ) bo dy = d, lub dg( ) = d d d dy I = d, y = 4 +, dy = 8 d d = dy I = = l y + C = l 4 + +C 8 y 8 8 I = d + y = + 3 ( ),, dy = d I = 8 8( ) y dy = y + C = + + C f '( ) Tw. d = l f ( ) + C f( ) cos( ) d = l si( ) si( ) 44

45 Wzory rekurecyje d 3 I =, I = + I,, I ( + ) ( + ) = J = dsi, J = cos si + J,, J = K = dcos, K = si cos + K,, K = (użytecze w wielu obliczeiach) 45

46 Całkowaie fukcji wymierych Ulamki proste A B+ C i a + p+ q ( ) ( ) Al a, = Ad = A ( a), > ( )( a) B + C B + p Bp d d = d + C + p+ q + p+ q + p+ q + p dy d y p q ( + p+ q) Δ= p 4q< y ( ) ( ) ( ). =, = + +, p Δ Δ p Δ Δ. + p + q = + = ( t + ), + = t, d = dt / d Δ dt = ( + p+ q) 4 ( + t ) 46

47 Rozkład fukcji wymierej a ułamki proste P ( ) Fukcja wymiera ma postać f( ) =, gdzie P i Q są wielomiaami. Q ( ) Jeżeli stopień P jest wyższy lub rówy stopiowi Q, to wykoujemy dzieleie, otrzymując P ( ) = WQ ( ) ( ) + R ( ), gdzie stopień Rjest iższy od Q. Mamy R ( ) f( ) = W( ) +. Q ( ) Wielomia W( ) calkujemy trywialie. Q( ) ma rozklad k km l ( ) = ( - )...( - ) ( )...( l ), atomiast dl Q c a a + p+ q + p+ q m częsci iewymierej mamy astępujący rozklad a ulamki proste: R ( ) A B + C Q ( ) ( a) ( p q) m ki li ik, jl, jl, = + k i= k= i j= l= + j + j co calkujemy z pomocą wczesiejszych wzorów. l, a 47

48 Metoda : Sprowadzamy prawą stroę do wspólego miaowika i porówujemy wspólczyiki przy tych samych potęgach, co daje uklad rówań liiowych a A, B, C. ik, jl, jl, Metoda (prostsza): f( ) A = + r ( ), gdzie miaowik r ( ) zawiera ( - a) s ( - a) s s w potędze co ajwyżej s -. Wtedy f( )( - a) = A+ r( )( - a) = A. = = ki ( ki m) Ogólie Aim, [ f( )( - ai) ] /( ki m)!, m,..., ki B + C Dla przypadku f( ) = + r( ) rozkladamy + p+ q= ( z)( z), + + -p+ i -Δ gdzie z =, a wtedy l ( p q) = a = a f p q Bz C f p q Bz C ( )( + + ) = +, ( )( + + ) = +, = z = z skąd wyzaczamy B i C. Metoda 3: Symbolicze maipulacje z pomocą komputera (Mathematica, Maple, MatLab, Form,...) 48

49 Całkowaie fukcji iewymierych Ry (, ) fukcja wymiera dwóch zmieych (iloraz wielomiaów dwóch zmieych) a + b a + b. R, d, ad bc, t = c + d c + d ( ) R a b c d t a a b c., + +, a>, ( - ) = + + b Δ a<, (+ ) = + + a 4a t a b c a a t a a t, = cosh, +, = sih podstawieia Eulera t t + t + t a) Ruv (, ) = R( uv, ), t= cos b) Ruv (, ) = Ru (, v), t = si prostsze podstawieia c) Ruv (, ) = R( u, v), t= tg 3. R ( si,cos ) d, t = tg, si =, cos =, dt = ( + t ) 49

50 f :[ ab, ] R, m = if{ f( ), [ a, b]}, M = sup{ f( ), [ a, b]} Dzielimy [ ab, ] a częsci: a = < < <... < < = b Π= {,..., }, Δ =, i =,..., i=,..., i i i δ = ma Δ sredica podzialu Π i mi = if{ f( ) : [ i, i ]}, M = sup{ f( ) : [, ]} s i i i = Δm i= i= i i suma dola, S = ΔM suma góra i i Z kostrukcji mb ( - a) s S M( b- a) Całka ozaczoa Riemaa 5

51 Rozważamy ormaly ciąg podzialów ( Π ), tj. taki, że limδ =. s i S ozaczają sumę dolą i górą dla podzialu Π. Tw. f : [ a, b] R ograiczoa dla dowolego ormalego ciągu ( Π ) istieją graice lim s i lim S, oraz ie zależą od wyboru podzaialów. b lim s = f( ) d calka dola, lim S = f( ) d calka góra a b a Fukcja jest calkowala w sesie Riemaa jeżeli calka góra rówa się dolej. b b b f ( d ) = f( d ) = f( d ) calka ozaczoa (Riemaa) a a a 5

52 Tw. Fukcja ciągla w [ ab, ] jest calkowala w sesie Riemaa Tw. Fukcja mootoicza w [ ab, ] jest calkowala w sesie Riemaa b b b b b ( f + g)( ) = f( ) + g( ), cf( ) = c f( ) a a a a a f, g calkowale iloczy fg calkowaly b c c b a a f( ) + f( ) = f( ), f( ) = f( ), f( ) = a b a a b a f( ) g( ), [ a, b] f( ) g( ) b a b f( ) f( ) a b a b a 5

53 Tw. f i g - ciągle w [ a, b], f( ) g( ), : f( ) < g( ) b f( ) d< g( ) d a b a Tw. f- calkowala w sesie Riemaa w [ a, b], [ a, b] df( ) F( ) = f( t) dt F ciągla, oraz = f( ) d a dla, w których f jest ciągla. Tw. (podstawowe twierdzeie rachuku calkowego) f- ciągla posiada fukcję pierwotą F, oraz b a f( ) d = F( b) F( a), zapis: f( ) d = F( ) Tw. (o wartosci srediej) f - ciągla w [ a, b] : f( b a b = a ) = f( ) d b a b a 53

54 Zastosowaia całek Geometria: pole figury, objętość bryły, długość krzywej Miara Jordaa (fiz.) zbioru (tu: -wymiarowego): ) otaczamy zbiór ograiczoy A prostokątem S o bokach a,b ) dzielimy S a miejszych prostokątów jak a rysuku (pole każdego prostokąta wyosi ab/ 3) zliczamy wszystkie prostokąty zawarte w A i ozaczamy ich pole jako s 4) zliczamy wszystkie prostokąty, które zawierają jakiś pukt zbioru A i ozaczamy ich pole jako S 6) Jeżeli s*=s*=p, to A jest mierzaly w miara dola: s* = sup s sesie Jordaa, a P azywamy jego N polem miara góra: S* = if S s S s* S* N Uwaga: miara Jordaa brzegu, S*-s*, wyosi dla zbioru mierzalego 54

55 Przykłady zbiorów iemierzalych w sesie Jordaa (przejście graicze z liczbą wierzchołków przed pomiarem w sesie Jordaa) Ie: trójkąt Sierpińskiego, fraktale 55

56 Uwagi: W trzech wymiarach kostrukcja miary Jordaa jest aalogicza używamy prostopadłościaów. W większej liczbie wymiarów używamy hiperkostek. W jedym wymiarze (do pomiaru zbioru leżącego a prostej) używamy odcików. Przy zmiaie skali długości, L, pole zmieia się jak L, objętość jak L 3, hiperobjętość jak L d, gdzie d jest liczbą wymiarów przestrzei 56

57 Pole figury płaskiej Tw. f :[ ab, ] Rciągla i ieujema pole figury utworzoej przez krzywą y = f( ) oraz odciki AB, AC, BD, gdzie A= ( a,), B = ( b,), C = ( a, f( a)), D = ( b, f( b)) wyosi P b = a f( ) d (mówimy: pole obszaru pod wykresem f( )) Dowód wyika atychmiast z aalogii kostrukcji miary Jordaa i całki Riemaa Tw. f, g:[ a, b] R ciągle, f( ) g( ) pole obszaru między wykresami y = f( ) i y = g( y) wyosi b P = ( g( ) f( )) d a 57

58 58

59 Przyklad: pole kola g ( ) = r, f( ) = r r r P = ( g( ) f( )) d = r d r = rcos t, d = rsi t dt π P r r cos t rsi t dt r si t dt = r ( t sitcost) = π r π π si tdt= cos tdt= a a+ π a+ π a π [sredia wartosć si t i cos t w ich okresie: r = = = a+ π a+ π si tdt cos tdt ] π = = π a a 59

60 Objętość bryły obrotowej k= b ( k), π a V = π f Δ V = f ( ) d Przyklad: objętosć kuli r ( ) π ( ) V= π r d = r d = r r = π r = πr 3 3 r 6

61 Pole poboczicy bryły obrotowej Δf( ) P = π f( ) ( Δ ) + ( Δ f( )) = π f( ) + Δ k= k= Δ b P = f + f d π ( ) ( '( )) a Przyklad: pole sfery f = r f = ( ), '( ) r r r r P = π r + d = πr d = 4πr r r 6

62 Długość krzywej Krzywa daa jest rówaiem parametryczym = (), t y = y(), t t ( t, t ) t L= t + y t dt Δt ( k) Δyt ( k) L = ( ( tk) ( tk )) + ( y( tk) y( tk )) = + Δt k= k= Δt Δt t ( '( )) ( '( )) Przyklad: dlugosć okręgu t () = cos t, y( t) = si( t), t =, t = π π π L= si t+ cos tdt = dt = π 6

63 Całki iewłaściwe f :[ a, b) R, b R b=, β ( a, b) I β β a f( ) d Calka prawostroie iewlasciwa: f( ) d = lim I Aalogiczie defiiujemy calkę lewostroie iewlasciwą: f :( c, a] R, c R c =, γ ( c, a) γ = a I = f( d ), f( d ) = γ a c lim I γ c γ b a β b b a b Calka obustroie iewlasciwa: f ( d ) = f( d ) + f( d ) c c a β 63

64 3 β β γ γ γ d = lim = lim + = β d + d = lim = lim π π = arctg = = π p p α γ γ γ log d = lim( log ) = lim( γ log γ) = d β = lim = p p α p β p γ dla p < dla p β d dla p > = lim = p p dla p 64

65 Kryterium całkowe zbieżości szeregu Podstawowa idea: 65

66 Jesli f : [, ) R, ciagla, ieujema, ierosąca, to f( ) zbieży f( ) d zbieża = + Dowód: Ozaczmy a = f( ) d, wtedy a f( ) a oraz (patrz rysuek) a f() a + a f() + f() f() + a... a + a a f() + f() f( ) f() + a a, czyli + f( ) d f( k) f() + f( ) d f() + f( ) d k= ) Jeżeli istieje calka, to ciąg sum częsciowych jest ograiczoy, poadto jest rosący, bo f( k), a zatem szereg jest zbieży. ) W graicy mamy f( ) d f( k), zatem jesli calka jest rozbieża, to szereg też jest rozbieży k= 66

67 Wiosek: mamy góre i dole ograiczeia f( ) d f( k) f() + f( ) d k= Dla sumowaia od k = m mamy m f( ) d f( k) f( m) + f( ) d k= m m Przyklad: ma tę samą wlasosć zbieżosci p l co d p l = = p p l du u, p > = = p p ( u = l ) u p l l, p 67

68 Stała Eulera-Mascheroiego d γ = lim = lim log k k = = k= k Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierą czy iewymierą! Występuje w wielu całkach i szeregach, p. d e log = γ 68

69 Graica pod całką Tw. f calkowale a [ a, b], ( f ) zbieży jedostajie do f. b b b Wtedy lim f ( ) d = lim f ( ) = f( ) i zbieżosć jest a a a jedostaja [moża zmieić kolejosć graicy i calkowaia] Wiosek: Poieważ szereg jest graicą ciągu sum częciowych, to jeżeli s ( ) = f( ) i zbieżosć jest jedostaja, to b a b = ds( ) = d f ( ) i zbiezosć jest jedostaja = a [moża calkować wyraz po wyrazie] 69

70 = = = ( ) t = zb. jedostajie w kole zbieżosci t < + t y ( ) dt t = dt zb. jedostajie dla y t < + t ( ) y + + y = l( + y) zb. jedostajie dla y < y y y y l( + y) = y Waruek jedostajej zbieżosci jest koieczy. Kotrprzyklad: f = f = f = ( ) ep( ), ( ) lim ( ) ( ) = ep( ) = ( ep( )) d f lim d f ( ) = d f ( ) = 7

71 Różiczkowaie po parametrze Tw. f (, p) ciagla dla zmieej [ a, b] oraz dla parametru p [ r, s], f poadto ma ciągla pochodą przy ustaloym. Ozaczmy p b di(p) f(, p) I( p) = d f(, p). Wtedy = d. dp p a Przyklad: I( p) = y d e y - p = d (- ) e = b( p) b( p) a( p) a( p) - p py di( p) e ( + py) dp p [moża kotyuować róziczkowaie] Uogólieie: = e p py d f(, p) f (, p) d d b'( p) f ( b( p), p) a'( p) f ( a( p), p). dp = + p b a Bardzo użytecza sztuczka! 7

72 Całkowaie fukcji oscylujących f( ) mootoicza a [ a, ), lim f( ) = f( )si( + φ) d zbieża a si 3 4 d = Γ 4 π si( ) cos( ) calki Fresela d = d = 7